专题一 三角与平面向量 小题探究2 平面向量与解三角形-2025届高考数学二轮复习（含解析）

小题探究2 平面向量与解三角形
(总分:82分　建议用时:45分钟)
1.(5分)在△ABC中,已知A=,B=,a=1,则b=(　　).
A.2 B.1
C. D.
2.(5分)如果|a|=2,|b|=3,a·b=4,那么|a-2b|的值是(　　).
A.24 B.2
C.-24 D.-2
3.(5分)已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法一定正确的是(　　).
A.a+b=0 B.a=b
C.a与b共线且反向 D.存在正实数λ,使得a=λb
4.(5分)已知在边长为3的等边三角形ABC中,=,则·=(　　).
A. B.
C. D.
5.(5分)已知向量a=(1,2),b=(-1,3),向量c满足a·c=3,b·c=2,则|c|=(　　).
A. B.
C. D.
6.(5分)(2023·北京卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=(　　).
A. B.
C. D.
7.(5分)(2024·广东江门高三一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=30°,b=2,c=2,则A的大小为(　　).
A.45° B.105°
C.15° D.105°或15°
8.(5分)已知向量a=(2,2),b=(x,-3),则“x<3”是“a与b的夹角为钝角”的(　　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.(5分)(2024·广东韶关高三模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tan A=,tan B=.若△ABC的最长边的长为,则最短边的长为(　　).
A. B.
C.2 D.
10.(6分) 已知向量a=(1,),b=(cos α,sin α),则下列结论正确的是(　　).
A.若a∥b,则tan α=
B.若a⊥b,则tan α=-
C.若a与b的夹角为,则|a-b|=3
D.若a与b方向相反,则b在a上的投影向量的坐标是-,-
11.(6分) 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asin =bsin 2A,且B=,则(　　).
A.A=
B.A=
C.若a=,则△ABC的外接圆面积为π
D.若b=2,则△ABC的内切圆半径为
12.(5分)(人教A版必修第二册P48练习2(2)改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则△ABC的面积为　　　　.
13.(5分)(人教A版必修第二册P61T13(4)改编)若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=e1+e2与b=e1-2e2的夹角为　　　　.
14.(5分)如图,为测量山高MN,选择点A和另一座山的山顶点C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=30°,点C的仰角∠CAB=60°,以及∠MAC=75°.从点C测得∠MCA=45°,已知山高BC=300 m,则山高MN=　　　　 m.
15.(5分)在△ABC中,若∠BAC=60°,AB=2AC=2,D为BC的中点,=2,则·=　　　　.
16.(5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其外接圆的半径为2,且cos 2B=2-5cos(A+C),则B的大小为　　　　;若点D在边AC上,DC=2AD,BD=2,则△ABC的面积为　　　　.
参考答案
1.D　解析　由正弦定理=,得b==.故选D.
2.B　解析　由|a|=2,|b|=3,a·b=4,得|a-2b|====2.故选B.
3.D　解析　因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,所以a与b共线且同向.故选D.
4.B　解析　因为=,所以=,
所以·=·=||||cos=×3×3×=.故选B.
5. A　解析　设c=(x,y),由题意知解得x=1,y=1,所以c=(1,1),则|c|=.故选A.
6.B　解析　因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),
所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2,则a2+b2-c2=ab,
故cos C===,
又0故选B.
7.D　解析　由题意知,在△ABC中,B=30°,b=2,c=2,
由=,得sin C===,
由于c>b,故C>B=30°,则C=45°或C=135°,
故A的大小为180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=15°.
故选D.
8.B　解析　若x<3,则a·b=2x-6<0,可得cos<0,
当x=-3时,a与b的方向相反,其夹角为180°,
即a与b的夹角为钝角或平角,充分性不成立;
若a与b的夹角为钝角,则a·b=2x-6<0,解得x<3,必要性成立.
因此“x<3”是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选B.
9.A　解析　因为tan C=-tan(A+B)=-=-1<0,且tan A>0,tan B>0,所以A,B为锐角,C为钝角,故c=.
因为y=tan x在0,上单调递增,tan A所以A由tan A==,sin2A+cos2A=1,
解得sin A=,同理可得sin C=,
由正弦定理=,解得a=.
故选A.
10.ABD　解析　向量a=(1,),b=(cos α,sin α).
对于A,由a∥b,得sin α=cos α,因此tan α=,A正确;
对于B,由a⊥b,得 sin α+cos α=0,因此tan α=-,B正确;
对于C,由a与b的夹角为,|a|=2,|b|=1,得a·b=2×1×=1,因此|a-b|==,C错误;
对于D,a与b方向相反,则b在a上的投影向量为a=-a=-,-,D正确.
故选ABD.
11.ACD　解析　在△ABC中,A+C=π-B,所以=-,则sin=cos,所以acos=2bsin Acos A,由正弦定理,得sin Acos=2sin Bsin Acos A,
即cos=2sin Bcos A,所以cos=4sincoscos A,即cos Asin=,由B=,可得cos A=,则A=,即△ABC为等边三角形,A正确,B错误;
设△ABC的外接圆半径为R,则=2R,解得R=1,
所以△ABC的外接圆面积为π,C正确;
设△ABC内切圆的半径为r,则(a+b+c)r=S△ABC,又b=2,
所以△ABC的内切圆半径为,D正确.
故选ACD.
12.　解析　在△ABC中,A=45°,C=75°,
sin C=sin(45°+30°)=,
由三角形的内角和定理得B=60°.
由正弦定理=,得a==,
所以△ABC的面积为absin C=.
13.120°　解析　因为e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,
所以e1·e2=1×1×cos 60°=,
故a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=|e1|2-e1·e2-2|e2|2=1--2=-,
|a|====,
|b|====,
故cos===-.
由于0°≤≤180°,故=120°.
14.100　解析　在△ABC中,因为∠CAB=60°,∠ABC=90°,BC=300 m,所以AC==200(m),
在△AMC中,因为∠MAC=75°,∠MCA=45°,
所以∠AMC=60°,
由正弦定理=,
得AM==200(m),
故在Rt△AMN中,MN=AM·sin∠MAN=200×sin 30°=100(m).
15.-　解析　
如图,==×(+)=(+),
·=(+)·(+)
=--+·--+
=-·-+=--+·=-×22-×12+×2×1×cos 60°=-.
16.　3　解析　如图,△ABC中,cos 2B=2-5cos(A+C)=2-5cos(π-B)=2+5cos B,
即2cos2B-1=2+5cos B,得2cos2B-5cos B-3=0,解得cos B=-或cos B=3(舍去),
由B∈(0,π),得B=.
又△ABC的外接圆半径为2,所以=2×2,解得b=6,
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得36=a2+c2+ac,
点D在边AC上,DC=2AD,BD=2,
则=+=+=+(-)
=+,
所以=+·+,
得4=a2+accos B+c2=a2-ac+c2,
即36=a2+4c2-2ac,
联立解得a=c=2,
所以S△ABC=acsin B=3.