第三单元 《倍数与因数》 单元复习讲义（讲义）
五年级数学上册专项精练（结构导图+素养目标+知识梳理+易错集锦+典例精讲+专项精练）
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一、核心素养目标：
1、发展学生的数学抽象能力，理解倍数与因数的概念，并能运用这些概念解决实际问题。
2、培养学生的逻辑推理能力，通过探究倍数与因数的性质，形成严谨的数学思维。
3、增强学生的数学运算能力，熟练掌握倍数与因数的计算方法。
4、提升学生的数学应用意识，能够将倍数与因数的知识应用到日常生活和学习中。
二、学习目标：
1、知识与技能：学生能够准确理解倍数与因数的定义，掌握找一个数的倍数和因数的方法。
2、过程与方法：通过实例探究，学生能够归纳总结倍数与因数的性质，并能灵活运用这些性质进行计算和推理。
3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生在学习过程中主动探索、合作交流的精神。
4、实践应用：学生能够将倍数与因数的知识应用到解决实际问题中，如时间计算、物品分配等，提高解决实际问题的能力。
1、找一个数的倍数就是将这个数依次乘1，2，3，4，5······
2、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数就是它本身。
1、5的倍数个位上是0或5。
2、2的倍数个位上是0、2、4、6、8。
3、既是2的倍数又是5的倍数的数个位上的数字一定是0。
4、是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。
3的倍数好判断，计算各位数字和，只要是3的倍数，此数定是3的倍数。
1、找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找。
2、最小因数都是1；最大因数是自己。
1、质数的因数只有1和它本身；
2、合数除1和它本身以外还有别的因数；
3、除0和2以外，所有的偶数都是合数。
误区点拨：
（1）因数和倍数是新接触的知识，同以前认识的算式中的因数有区别，在一些特征上往往产生错误。
（2）因数的个数是有限的、倍数的个数是无限的；一个数的因数的多少，和这个数本身的大小没有必然的关系。例如，6的因数有1，2，3，6；9的因数有1，3，9。
（3）一个数的因数最小是1，最大是它本身，所以这个数等于或大于它的因数；一个数乘个自然数，就得到这个数的倍数，最小乘1，所以这个数的最小的倍数是它本身。这个数等于或小于它的倍。
误区点拨：
（1）在判断奇偶数时，常常会不考虑0，误认为最小的偶数是2。
（2）在自然数范围内，最小的奇数是1，最小的偶数是0。
误区点拨：
（1）判断3的倍数的特征时，往往会根据2和5的倍数的特征形成错误的认识。
（2）3的倍数的特征：-个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
误区点拨：
（1）误认为自然数可以分为质数和合数。
（2）所有的自然数可以分为奇数和偶数，但不能分为质数和合数。质数和合数是按照因数的个数来分的：一个数如果只有1和它本身两个因数，就是质数，若还有其他的因数则是合数。1既不是质数也不是合数，所以除了0以外的自然数分为质数、合数和1。
误区点拨：
（1）受奇数加奇数的和是偶数的影响，误认为几个连续奇数相加的和也一定是偶数。
（2）奇数、偶数相加和的变化规律：偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数。
（3）几个奇数连续相加，当奇数的个数是奇数时，和为奇数；当奇数的个数是偶数时，和为偶数。
【典例精讲1】（22-23五年级上·辽宁·期末）8×5＝40，40是8和5的( )，8和5是40的( )。
【答案】 倍数 因数
【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数；据此解答。
【详解】因为8×5＝40，所以40是8和5的倍数，8和5是40的因数。
【点睛】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在。
【典例精讲2】（23-24五年级上·陕西咸阳·期末）40的因数有( )，这些因数中，是2的倍数的有( )个，是5的倍数的有( )个，奇数有( )个。
【答案】 1、2、4、5、8、10、20、40 6/六 4/四 2/二
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数．因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，这些因数中，是2的倍数的有2、4、8、10、20、40，共计6个，是5的倍数的有5、10、20、40，共计4个，奇数有1、5，共计2个。
【点睛】本题主要考查了因数、奇数的意义及能够被2、5整除数的特征，要灵活掌握。
【典例精讲3】（23-24五年级上·广东湛江·期末）三个连续偶数的和是42，这三个偶数分别是( )、( )和( )。
【答案】 12 14 16
【分析】相邻的偶数之间相差2，三个连续偶数的和÷3＝中间偶数，中间偶数－2＝较小偶数，中间偶数＋2＝较大偶数，据此分析。
【详解】42÷3＝14、14－2＝12、14＋2＝16
三个连续偶数的和是42，这三个偶数分别是12、14和16。
【典例精讲4】（23-24五年级上·福建南平·期末）心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，小娟用仪器测得自己的心率是M次/分。M是一个同时是2、3和5的倍数的最大两位数。小娟这次测得的心率是( )次/分。
【答案】90
【分析】
2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此可知，M是一个同时是2、3和5的倍数的最大两位数。则M的个位是0，十位是9，这个数是90。
【详解】一个同时是2、3和5的倍数的最大两位数是90。
所以，小娟这次测得的心率是90次/分。
【典例精讲5】（24-25五年级上·安徽亳州·期中）在2，4，8，10，20，24，30，40中，( )是60的因数，( )是8的倍数。
【答案】 2，4，10，20，30 8，24，40
【分析】通过列乘法算式，根据求一个数的因数、倍数的方法，依次进行列举从已知数中找到60的因数、8的倍数。8的倍数找小于40的即可。
【详解】60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。
小于40的8的倍数有：8、16、24、32、40。
在2，4，8，10，20，24，30，40中，2，4，10，20，30是60的因数，8，24，40是8的倍数。
【典例精讲6】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数最大是( )，它有( )个因数。
【答案】 24 8
【分析】先分别列举出8的倍数和24的因数，再从中找出既是8的倍数又是24的因数的最大数，并数一数它的因数的个数。
【详解】8的倍数有：8，16，24，32…；
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。
一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数最大是24，它有8个因数。
【典例精讲7】（22-23五年级上·安徽阜阳·期中）猜数游戏。
我俩是（ ）和（ ）。
【答案】 5 7
【分析】根据题意，两个质数的积是35，则这两个数是35的质因数，那么把35分解质因数即可解答。
【详解】35＝5×7，而5＋7＝12，则这两个数是5和7。
【点睛】掌握质因数和分解质因数的意义是解题的关键。
【典例精讲8】（24-25五年级上·辽宁营口·期中）36的所有因数有( )，这些因数中最小的质数是( )，最小的合数是( )，( )既是合数又是奇数，( )既是质数又是偶数，( )既不是质数也不是合数。
【答案】 1，2，3，4，6，9，12，18，36 2 4 9 2 1
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
【详解】36的所有因数有（1，2，3，4，6，9，12，18，36），这些因数中最小的质数是（2），最小的合数是（4），（9）既是合数又是奇数，（2）既是质数又是偶数，（1）既不是质数也不是合数。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
填空题
1．在1、2、0、12、0.8中，( )是质数，( )是合数，( )是自然数。
【答案】 2 12 1、2、0、12
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
用来表示物体个数的0，1，2，3，4，…都叫自然数。
【详解】在1、2、0、12、0.8中，（2）是质数，（12）是合数，（1、2、0、12）是自然数。
2．两个质数的和是99，这两个质数的乘积是( )；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是( )。
【答案】 194 2257
【分析】质数中，除2以外都是奇数。因为99是奇数，“奇数＋偶数＝奇数”，故这两个质数中一定有一个是2，则另一个是99－2＝97，因此这两个质数的乘积是2×97＝194；
两个质数的和是98，找出和和98的两个质数，再分别计算出两个数的积，最后比较积的大小。
【详解】99＝2＋97，则2×97＝194；
98＝19＋79＝31＋67＝37＋61
19×79＝1501，31×67＝2077，37×61＝2257
1501＜2077＜2257
两个质数的和是99，这两个质数的乘积是194；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是2257。
3．在﹣0.5，2，0，，6，﹢3这些数中，自然数有( )，质数有( )。
【答案】 2；0；6；﹢3 2；﹢3
【分析】自然数是表示物体个数的数，质数是只有1和本身两个因数的数，据此解答即可。
【详解】在﹣0.5，2，0，，6，﹢3这些数中，自然数有2；0；6；﹢3，质数有2；﹢3。
4．一个三位数，它是3和5的倍数，百位上的数字既不是质数也不是合数，十位上的数字既是奇数又是合数，这个三位数是( )。
【答案】195
【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
【详解】百位上的数字既不是质数也不是合数，则百位上的数字是1；十位上的数字既是奇数也是合数，则十位上的数字是9；因为这个三位数是3和5的倍数，故这个数个位上是0或5且各数位上的数字之和是3的倍数，因为1＋9＋0＝10，不是3的倍数，1＋9＋5＝15是3的倍数，所以这个三位数是195。
5．下面括号中最大能填几？（括号里只能填1个数字）
这个数是3的倍数：( )7 这个数含有因数2：53( )
这是一个质数：3( ) 4.5( )≈4.6
【答案】 8 8 7 9
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
根据“四舍五入”求近似数的方法，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。
【详解】（ ）7，这个数是3的倍数：27、57、87，所以括号里最大能填8；
53（ ），这个数含有因数2：530、532、534、536、538，所以括号里最大能填8；
3（ ），这是一个质数：31、37；所以括号里最大能填7；
4.5（ ）≈4.6，那么符合要求的两位小数有4.55、4.56、4.57、4.58、4.59，所以括号里最大能填9。
6．在7，16，25，29，60，120这几个数中：
(1)偶数有哪些？( )
(2)同时含有因数2、3和5的数有哪些？( )
【答案】(1)16，60，120
(2)60，120
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】（1）偶数有：16，60，120。
（2）同时含有因数2、3和5的数有：60，120。
7．12的全部因数中，一共有( )个合数。
【答案】3
【分析】先列举出12的所有因数，再从这些因数中找出合数，数出个数即可。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】12的因数：1，2，3，4，6，12；
其中合数有：4，6，12；
一共有3个合数。
8．1－10的自然数中，最小的合数是( )，( )既是奇数，又是合数，( )既是偶数，又是质数。
【答案】 4 9 2
【分析】质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；
合数：一个数，除了1和它本身两个因数，还有其它因数，这样的数叫做合数；
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数，据此解答。
【详解】1－10的自然数中，合数有：4，6，8，9，10，最小的合数是4；
1－10的自然数中奇数有：1，3，5，7，9；9既是奇数，也是合数；
1－10的自然数中，质数有：2，3，5，7；
1－10的自然数中，偶数有：0，2，4，6，8，10；2既是偶数，又是质数。
1－10的自然数中，最小的合数是4，9既是奇数，又是合数，2既是偶数，又是质数。
9．一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是( )。
【答案】18
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；
一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
【详解】18的因数：1，2，3，6，9，18；
18的倍数：18，36，54，…；
一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是18。
10．在0、4、6、8、9这5个数中选出3个数字组成一个三位数，使它既是2的倍数，又有因数3，同时能被5整除，这个数最大是( )，最小是( )。
【答案】 960 480
【分析】根据2、3、5倍数的特征，这个数的个位为0，且各数位数字之和是3的倍数。由此可知，这个三位数的十位和百位上的数的和是3的倍数，找出最大的数和最小的数，即可解答。
【详解】根据分析可知，要想数最大，选9为百位；
9＋8＝17，17不是3的倍数；
9＋6＝15，15是3的倍数，十位上的数字是6，这个数是960；
要想数最小，选4为百位；
4＋6＝10，10不是3的倍数；
4＋8＝12，12是3的倍数，十位上的数字是8，这个数是480；
所以在0、4、6、8、9这5个数中选出3个数字组成一个三位数，使它既是2的倍数，又有因数3，同时能被5整除，这个数最大是960，最小是480。
11．填质数：65＝( )×( )。
【答案】 13 5
【分析】根据质数的意义：一个数如果只用1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此解答。
【详解】由分析可知：
65＝13×5
12．197至少加上( )是5的倍数，至少减去( )是3的倍数。
【答案】 3 2
【分析】各个数位上的数字之和能被3整数的数，是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数。据此解答。
【详解】200是大于197的数中最小的5的倍数，
200－197＝3
1＋9＋7＝17
17－2＝15
15是小于17的最大的3的倍数，
197－2＝195
195÷3＝65
所以197至少加上3是5的倍数，至少减去2是3的倍数。
13．在36、0、、6.32、2、﹣8、9中，自然数有( )，质数有( )，合数有( )。( )是( )的因数。
【答案】 36、0、2、9 2 36、9 2、9 36
【分析】用来表示物体个数的0、1、2、3、4……都叫自然数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。1既不是质数也不是合数。
列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
【详解】36＝1×36＝2×18＝4×9＝6×6
在36、0、、6.32、2、﹣8、9中，自然数有36、0、2、9，质数有2，合数有36、9，2、9是36的因数。
14．一个数既是24的因数，又是12的倍数，这个数可能是( )。
【答案】12或24
【分析】一个数既是12的倍数又是24的因数，即求24以内的12的倍数，那就先求出24的因数和12的倍数，再找共同的数即可。
【详解】24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。
12的倍数有：12，24。
一个数既是24的因数，又是12的倍数，这个数可能是12或24。
15．淘气认为：所有非0自然数，不是质数就是合数。笑笑认为不对，还有一个数，既不是质数，也不是合数。笑笑说的数是( )，这个数既不是质数，也不是合数的道理是( )。
【答案】 1 1的因数只有1
【分析】
除了1和它本身以外不再有其它因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其它因数，这样的数叫合数。质数只有2个因数，合数至少有3个因数，据此分析。
【详解】淘气认为：所有非0自然数，不是质数就是合数。笑笑认为不对，还有一个数，既不是质数，也不是合数。笑笑说的数是1，这个数既不是质数，也不是合数的道理是1的因数只有1。
16．老师为参加运动会的同学们准备了272瓶饮用水，要平均分给3个班级至少减去( )瓶；要平均分给5个班级至少加上( )瓶。
【答案】 2 3
【分析】
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
【详解】2＋7＋2＝11，11不是3的倍数；
11－2＝9，9是3的倍数；
272＋3＝275，275是5的倍数；
所以，要平均分给3个班级至少减去2瓶，要平均分给5个班级至少加上3瓶。
17．校运会开始了，王叔叔为运动员们买了96瓶饮料，选用第( )号包装正好能把饮料装完，选择这种包装方式需要( )个包装盒。
【答案】 ② 12
【分析】先列举出96的所有因数，再看7、8、10是不是96的因数，如果是96的因数，就可以用这种包装正好把饮料装完，反之，就不能正好把饮料装完。
再用饮料的总瓶数除以每个包装盒装饮料的瓶数，即可求出选择这种包装方式需要包装盒的个数。
【详解】96的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，32，48，96；
7和10不是96的因数，8是96的因数，所以用装8瓶的包装盒正好能把饮料装完。
96÷8＝12（个）
选用第②号包装正好能把饮料装完，选择这种包装方式需要12个包装盒。
18．张老师的电脑登录密码是一个四位数：个位上的数是最小的合数，十位上的数是最大的一位数，百位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是8的最大因数，这个密码是( )。
【答案】8194
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
一个数的最大因数是它本身。
【详解】个位上的数是最小的合数，即4；
十位上的数是最大的一位数，即9；
百位上的数既不是质数也不是合数，即1；
千位上的数是8的最大因数，即8；
这个密码是8194。
19．如果三位数67□既是2的倍数，又是5的倍数，□可以填( )；如果它既是2的倍数，又是3的倍数，□最大可以填( )。
【答案】 0 8
【分析】既是2的倍数又是5的倍数，说明这个数的个位是0；
既是2的倍数又是3的倍数，说明这个数的个位可能是0、2、4、6、8且各个位数的数字之和能被3整除，据此解答。
【详解】670÷2＝335；670÷5＝134
如果三位数67□既是2的倍数，又是5的倍数，□可以填0；
6＋7＋8＝21，21÷3＝7
所以，如果它既是2的倍数，又是3的倍数，□最大可以填8。
20．如果两个质数的和是18，积是65，那么它们是( )和( )。
【答案】 13 5
【分析】根据题意得：两个质数的和是18，积是65，可通过分解质因数的方法，可计算得出答案。
【详解】将65分解质因数为：，两个质因数之和为：，符合题干中的条件。即这两个数是13和5。
21．413至少加上( )后是3的倍数，至少加上( )后是5的倍数，至少加上( )后同时是2、3、5的倍数。
【答案】 1 2 7
【分析】一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就是3的倍数；个位上0或5的数，是5的倍数；个位上0、2、4、6、8的数是2的倍数。
【详解】4＋1＋3＝8
8＋1＝9
9是3的倍数，413至少加上（1）是3的倍数。
413＋2＝415
415个位上是5，是5的倍数，所以413至少加上（2）后是 5的倍数。
既是2的倍数，又是5的倍数，个位只能是0，且满足各个数位上的数字相加的和是3的倍数，
413＋7＝420
4＋2＋0＝6
420个位是0，是2和5的倍数，各个数位上的和是6，是3的倍数。
413至少加上（7）后同时是2、3、5的倍数。
22．一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，到这串数的第1000个数为止，共有( )个偶数。
【答案】333
【分析】首先分析这串数的组成规律和奇、偶情况。1＋1＝2，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，……，这串数的规律是：从第三项起，每一个数等于前两个数的和。这串数的奇偶性是：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的；用1000÷3，取整数部分即可求出这串数中偶数的个数。
【详解】由分析可得：
1000÷3＝333……1，
这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。
23．两个正整数A和B满足：①A（A＋1）是B（B＋1）的倍数；②A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数；那么A＋B的最小值是( )。
【答案】34
【分析】A（A＋1）是B（B＋1）的倍数，A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数，则A、（A＋1）、B、（B＋1）四个数都不是质数。连续的两个自然数都不是质数的有：8和9、9和10、14和15、15和16、20和21、21和22、24和25……。其中，当B是8或9时，A、（A＋1）无法找到符合题意的值；当B是14时，（B＋1）是15，14×15＝2×7×3×5，A（A＋1）是B（B＋1）的倍数，则A（A＋1）最小是2×7×3×5×2＝20×21，即A最小是20，（A＋1）最小是21。据此求出A＋B的最小值。
【详解】通过分析可得：A、（A＋1）、B、（B＋1）四个数都不是质数，A最小是20，B最小是14，那么A＋B的最小值是20＋14＝34。
【点睛】明确四个数都不是质数，据此找出不是质数的连续自然数，从而确定A和B的值。
24．一个五位数，万位上是最小的奇数，百位上是最小的合数，个位上是最小的质数，其余各位上都是0，这个数写作( )，这个数( )（填“是”或“不是”）3的倍数。
【答案】 10402 不是
【分析】最小的奇数是1，则万位上的数字是1；最小的合数是4，则百位上的数字是4；最小的质数是2，则个位上的数字是2；其余各位上的数字是0，则千位和十位上的数字是0，所以这个数是10402。再结合3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数。
【详解】一个五位数，万位上是最小的奇数，百位上是最小的合数，个位上是最小的质数，其余各位上都是0，这个数写作10402，这个数不是3的倍数。
25．在1－10的自然数中，质数有( )个，奇数有( )个。
【答案】 4 5
【分析】根据质数、奇数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；整数中，不能2整除的数叫奇数。由此解答。
【详解】在1－10的自然数中，是质数的数是：2、3、5、7；是奇数的数是1、3、5、7、9。
在1－10的自然数中，质数有（4）个，奇数有（5）个。
26．一个三位数43□，如果既是3的倍数也是5的倍数，□里应填( )；如果既是2的倍数也是3的倍数，□里最大填( )。
【答案】 5 8
【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；既是3的倍数也是5的倍数特征：个位数是0或5，且各个数位上的数字和是3的倍数；既是2的倍数也是3的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8，且各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
【详解】4＋3＋0＝7
4＋3＋5＝12
12是3的倍数，所以435既是3的倍数也是5的倍数，□里应填5；
4＋3＋8＝15
15是3的倍数，所以如果43□既是2的倍数也是3的倍数，□里最大填8。
27．要使三位数40同时是2，3，5的倍数，“”可以填的数字有( )个。
【答案】3
【分析】同时是2、3、5的倍数的数的特征：个位上是0；各数位上的数字的和是3的倍数。据此解答。
【详解】40的个位上是0；百位和个位的数字之和是4＋0＝4，而4＋2＝6，4＋5＝9，4＋8＝12，6、9、12是3的倍数，则“”可以填的数字有2、5、8，一共有3个。
28．127至少增加( )才是3的倍数，至少减少( )才是5的倍数，最少增加( )才是2的倍数。
【答案】 2 2 1
【分析】3的倍数的特征：一个数的各个数位上的数字加起来能够被3整除则这个数也能被3整除。
5的倍数特征：一个数的末尾是0或者5，则这个数能被5整除。
2的倍数特征：一个数的末尾是0、2、4、6、8，则这个数就能被2整除。
127各个数位上的数加起来和是10，当加上2等于12的时候能被3整除，这个数就能被3整除。127的末尾是7，当减去2的时候末尾是5，则就能被5整除；当末尾加上1时末尾是8，则就能被2整除。
【详解】
则127至少增加2才是3的倍数；
则127至少减少2才是5的倍数；
则最少增加1才是2的倍数。
29．一个三位数既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小是( )，最大是( )。
【答案】 120 990
【分析】一个数同时是2、3和5的倍数需要满足的条件是个位是0且各个数位上的数字之和能被3整除，据此解答。
【详解】一个三位数既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小时，个位是0，百位是1，十位是2时，各个数位上的数字之和为：1＋2＋0＝3，3÷3＝1，符合题意；
一个三位数既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最大时，个位是0，百位是9，十位是9时，各个数位上的数字之和为：9＋9＋0＝18，18÷3＝6，符合题意；
所以，一个三位数既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小是120，最大是990。
30．最小的质数是( )，最小的合数与最小的奇数的和是( )。
【答案】 2 5
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。即最小的质数是2，最小的合数是4，最小的奇数是1。
【详解】4＋1＝5
即最小的质数是2，最小的合数与最小的奇数的和是5。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第三单元 《倍数与因数》 单元复习讲义（讲义）
五年级数学上册专项精练（结构导图+素养目标+知识梳理+易错集锦+典例精讲+专项精练）
（高清导图，放大更清晰。）
一、核心素养目标：
1、发展学生的数学抽象能力，理解倍数与因数的概念，并能运用这些概念解决实际问题。
2、培养学生的逻辑推理能力，通过探究倍数与因数的性质，形成严谨的数学思维。
3、增强学生的数学运算能力，熟练掌握倍数与因数的计算方法。
4、提升学生的数学应用意识，能够将倍数与因数的知识应用到日常生活和学习中。
二、学习目标：
1、知识与技能：学生能够准确理解倍数与因数的定义，掌握找一个数的倍数和因数的方法。
2、过程与方法：通过实例探究，学生能够归纳总结倍数与因数的性质，并能灵活运用这些性质进行计算和推理。
3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生在学习过程中主动探索、合作交流的精神。
4、实践应用：学生能够将倍数与因数的知识应用到解决实际问题中，如时间计算、物品分配等，提高解决实际问题的能力。
1、找一个数的倍数就是将这个数依次乘1，2，3，4，5······
2、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数就是它本身。
1、5的倍数个位上是0或5。
2、2的倍数个位上是0、2、4、6、8。
3、既是2的倍数又是5的倍数的数个位上的数字一定是0。
4、是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。
3的倍数好判断，计算各位数字和，只要是3的倍数，此数定是3的倍数。
1、找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找。
2、最小因数都是1；最大因数是自己。
1、质数的因数只有1和它本身；
2、合数除1和它本身以外还有别的因数；
3、除0和2以外，所有的偶数都是合数。
误区点拨：
（1）因数和倍数是新接触的知识，同以前认识的算式中的因数有区别，在一些特征上往往产生错误。
（2）因数的个数是有限的、倍数的个数是无限的；一个数的因数的多少，和这个数本身的大小没有必然的关系。例如，6的因数有1，2，3，6；9的因数有1，3，9。
（3）一个数的因数最小是1，最大是它本身，所以这个数等于或大于它的因数；一个数乘个自然数，就得到这个数的倍数，最小乘1，所以这个数的最小的倍数是它本身。这个数等于或小于它的倍。
误区点拨：
（1）在判断奇偶数时，常常会不考虑0，误认为最小的偶数是2。
（2）在自然数范围内，最小的奇数是1，最小的偶数是0。
误区点拨：
（1）判断3的倍数的特征时，往往会根据2和5的倍数的特征形成错误的认识。
（2）3的倍数的特征：-个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
误区点拨：
（1）误认为自然数可以分为质数和合数。
（2）所有的自然数可以分为奇数和偶数，但不能分为质数和合数。质数和合数是按照因数的个数来分的：一个数如果只有1和它本身两个因数，就是质数，若还有其他的因数则是合数。1既不是质数也不是合数，所以除了0以外的自然数分为质数、合数和1。
误区点拨：
（1）受奇数加奇数的和是偶数的影响，误认为几个连续奇数相加的和也一定是偶数。
（2）奇数、偶数相加和的变化规律：偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数。
（3）几个奇数连续相加，当奇数的个数是奇数时，和为奇数；当奇数的个数是偶数时，和为偶数。
【典例精讲1】（22-23五年级上·辽宁·期末）8×5＝40，40是8和5的( )，8和5是40的( )。
【答案】 倍数 因数
【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数；据此解答。
【详解】因为8×5＝40，所以40是8和5的倍数，8和5是40的因数。
【点睛】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在。
【典例精讲2】（23-24五年级上·陕西咸阳·期末）40的因数有( )，这些因数中，是2的倍数的有( )个，是5的倍数的有( )个，奇数有( )个。
【答案】 1、2、4、5、8、10、20、40 6/六 4/四 2/二
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数．因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，这些因数中，是2的倍数的有2、4、8、10、20、40，共计6个，是5的倍数的有5、10、20、40，共计4个，奇数有1、5，共计2个。
【点睛】本题主要考查了因数、奇数的意义及能够被2、5整除数的特征，要灵活掌握。
【典例精讲3】（23-24五年级上·广东湛江·期末）三个连续偶数的和是42，这三个偶数分别是( )、( )和( )。
【答案】 12 14 16
【分析】相邻的偶数之间相差2，三个连续偶数的和÷3＝中间偶数，中间偶数－2＝较小偶数，中间偶数＋2＝较大偶数，据此分析。
【详解】42÷3＝14、14－2＝12、14＋2＝16
三个连续偶数的和是42，这三个偶数分别是12、14和16。
【典例精讲4】（23-24五年级上·福建南平·期末）心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，小娟用仪器测得自己的心率是M次/分。M是一个同时是2、3和5的倍数的最大两位数。小娟这次测得的心率是( )次/分。
【答案】90
【分析】
2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此可知，M是一个同时是2、3和5的倍数的最大两位数。则M的个位是0，十位是9，这个数是90。
【详解】一个同时是2、3和5的倍数的最大两位数是90。
所以，小娟这次测得的心率是90次/分。
【典例精讲5】（24-25五年级上·安徽亳州·期中）在2，4，8，10，20，24，30，40中，( )是60的因数，( )是8的倍数。
【答案】 2，4，10，20，30 8，24，40
【分析】通过列乘法算式，根据求一个数的因数、倍数的方法，依次进行列举从已知数中找到60的因数、8的倍数。8的倍数找小于40的即可。
【详解】60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。
小于40的8的倍数有：8、16、24、32、40。
在2，4，8，10，20，24，30，40中，2，4，10，20，30是60的因数，8，24，40是8的倍数。
【典例精讲6】（23-24五年级上·浙江衢州·期末）一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数最大是( )，它有( )个因数。
【答案】 24 8
【分析】先分别列举出8的倍数和24的因数，再从中找出既是8的倍数又是24的因数的最大数，并数一数它的因数的个数。
【详解】8的倍数有：8，16，24，32…；
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。
一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数最大是24，它有8个因数。
【典例精讲7】（22-23五年级上·安徽阜阳·期中）猜数游戏。
我俩是（ ）和（ ）。
【答案】 5 7
【分析】根据题意，两个质数的积是35，则这两个数是35的质因数，那么把35分解质因数即可解答。
【详解】35＝5×7，而5＋7＝12，则这两个数是5和7。
【点睛】掌握质因数和分解质因数的意义是解题的关键。
【典例精讲8】（24-25五年级上·辽宁营口·期中）36的所有因数有( )，这些因数中最小的质数是( )，最小的合数是( )，( )既是合数又是奇数，( )既是质数又是偶数，( )既不是质数也不是合数。
【答案】 1，2，3，4，6，9，12，18，36 2 4 9 2 1
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
【详解】36的所有因数有（1，2，3，4，6，9，12，18，36），这些因数中最小的质数是（2），最小的合数是（4），（9）既是合数又是奇数，（2）既是质数又是偶数，（1）既不是质数也不是合数。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
填空题
1．在1、2、0、12、0.8中，( )是质数，( )是合数，( )是自然数。
2．两个质数的和是99，这两个质数的乘积是( )；两个质数的和是98，这两个质数的乘积最大是( )。
3．在﹣0.5，2，0，，6，﹢3这些数中，自然数有( )，质数有( )。
4．一个三位数，它是3和5的倍数，百位上的数字既不是质数也不是合数，十位上的数字既是奇数又是合数，这个三位数是( )。
5．下面括号中最大能填几？（括号里只能填1个数字）
这个数是3的倍数：( )7 这个数含有因数2：53( )
这是一个质数：3( ) 4.5( )≈4.6
6．在7，16，25，29，60，120这几个数中：
(1)偶数有哪些？( )
(2)同时含有因数2、3和5的数有哪些？( )
7．12的全部因数中，一共有( )个合数。
8．1－10的自然数中，最小的合数是( )，( )既是奇数，又是合数，( )既是偶数，又是质数。
9．一个数是18的因数，同时也是18的倍数，这个数是( )。
10．在0、4、6、8、9这5个数中选出3个数字组成一个三位数，使它既是2的倍数，又有因数3，同时能被5整除，这个数最大是( )，最小是( )。
11．填质数：65＝( )×( )。
12．197至少加上( )是5的倍数，至少减去( )是3的倍数。
13．在36、0、、6.32、2、﹣8、9中，自然数有( )，质数有( )，合数有( )。( )是( )的因数。
14．一个数既是24的因数，又是12的倍数，这个数可能是( )。
15．淘气认为：所有非0自然数，不是质数就是合数。笑笑认为不对，还有一个数，既不是质数，也不是合数。笑笑说的数是( )，这个数既不是质数，也不是合数的道理是( )。
16．老师为参加运动会的同学们准备了272瓶饮用水，要平均分给3个班级至少减去( )瓶；要平均分给5个班级至少加上( )瓶。
17．校运会开始了，王叔叔为运动员们买了96瓶饮料，选用第( )号包装正好能把饮料装完，选择这种包装方式需要( )个包装盒。
18．张老师的电脑登录密码是一个四位数：个位上的数是最小的合数，十位上的数是最大的一位数，百位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是8的最大因数，这个密码是( )。
19．如果三位数67□既是2的倍数，又是5的倍数，□可以填( )；如果它既是2的倍数，又是3的倍数，□最大可以填( )。
20．如果两个质数的和是18，积是65，那么它们是( )和( )。
21．413至少加上( )后是3的倍数，至少加上( )后是5的倍数，至少加上( )后同时是2、3、5的倍数。
22．一串数排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，到这串数的第1000个数为止，共有( )个偶数。
23．两个正整数A和B满足：①A（A＋1）是B（B＋1）的倍数；②A和（A＋1）都不是B或者（B＋1）的倍数；那么A＋B的最小值是( )。
24．一个五位数，万位上是最小的奇数，百位上是最小的合数，个位上是最小的质数，其余各位上都是0，这个数写作( )，这个数( )（填“是”或“不是”）3的倍数。
25．在1－10的自然数中，质数有( )个，奇数有( )个。
26．一个三位数43□，如果既是3的倍数也是5的倍数，□里应填( )；如果既是2的倍数也是3的倍数，□里最大填( )。
27．要使三位数40同时是2，3，5的倍数，“”可以填的数字有( )个。
28．127至少增加( )才是3的倍数，至少减少( )才是5的倍数，最少增加( )才是2的倍数。
29．一个三位数既是2和3的倍数，又有因数5，这个数最小是( )，最大是( )。
30．最小的质数是( )，最小的合数与最小的奇数的和是( )。
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