第二单元 《分数混合运算》 单元复习讲义（讲义）
（结构导图+素养目标+知识梳理+易错集锦+典例精讲+专项精练）
（高清导图，放大更清晰。）
一、核心素养目标：
1、能够理解分数混合运算的意义，掌握分数四则运算的基本规则。
2、发展逻辑推理能力，能够正确处理分数混合运算中的运算顺序和运算律。
3、培养数学建模能力，将实际问题转化为分数混合运算问题并解决。
4、增强数学应用意识，通过分数混合运算解决生活中的实际问题。
二、学习目标：
1、掌握分数加减乘除的运算规则，能够熟练进行分数的四则运算。
2、理解并应用运算顺序，能够正确处理包含多种运算的数学表达式。
3、能够运用分数混合运算解决涉及比例、百分比等实际问题。
4、学会使用括号改变运算顺序，并能正确运用乘法分配律等运算定律简化计算。
5、培养检查和评估自己运算结果的习惯，确保计算的准确性和合理性。
1、连续求一个数的几分之几是多少及连乘的运算顺序
(1) 解决“连续求一个数的几分之几是多少”的实际问题，用连乘计算。
(2)分数连乘的运算顺序与整数连乘的运算顺序相同：没有括号的，按从左到右的顺序计算；有括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。
2、分数乘除混合运算的运算顺序
(1)分数乘除混合运算的运算顺序与整数乘除混合运算的顺序一样：没有括号的，按从左到右的顺序计算；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。计算过程中，能约分的要先约分，再计算。
(2)根据“除以一个数，等于乘这个数的倒数”，可以把分数乘除混合运算或分数连除直接转化成分数连乘进行计算。
1、求比一个数多几分之几的数是多少
“求比一个数多几分之几的数是多少”的解题方法:
方法1:所求的量=单位“1”的量+单位“1”的量 x 比单位“1”多的分率；
方法2:所求的量=单位“1”的量 x (1+比单位“1”多的分率)。
2、已知总量和其中一部分量占总量的几分之几，求另一部分量
已知总量和其中一部分量所占的分率，求另一部分量有两种方法：
方法 1:另一部分量 = 总量 - 总量X部分量所占的分率;
方法 2:另一部分量=总量X (1-部分量所占的分率)。
3、整数乘法运算律在分数运算中的运用
整数乘法的运算律对于分数运算同样适用。在分数混合运算中，运用运算律可以使计算简便。
1、已知比一个数多 (或少) 几分之几的数是多少，求这个数
“已知比一个数多(或少) 几分之几的数是多少，求这个数”的解题方法：设这个数为 x，根据等量关系列方程求解。
等量关系1: 多 (或少)的几分之几=已知量；
等量关系2:=已知量。
2、已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量
“已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量”的解题方法：
方法1: 设总量为未知数，根据“总量 - 总量×一部分量占总量的几分之几= 另一部分量”列方程解答;
方法 2: 设总量为未知数，根据“总量× (1-一部分量占总量的几分之几)=另一部分量”列方程解答。
误区点拨：
（1）在进行分数四则混合运算时，对运算律理解不透。例如，9 ÷ + 9÷ = 9÷（ + ），错误地将除数合并。
（2）整数的运算律在分数运算中同样适用。对于含有除法的，应先转化为乘法，再计算。例如，9÷ + 9 ÷ =9 × 9 + 9 × =9×（9 + ）= 。
误区点拨：
（1）在有关分数的实际问题中，经常把带单位的具体量当作分率来计算。
（2）带有单位的分数表示具体的数量，不带有单位的分数表示分率。
【典例精讲1】（23-24六年级上·辽宁大连·期末）计算下列各题（能简算的要简算）。
【答案】
【分析】（1）把所有分数通分乘分母为12的分数，然后从左往右依次计算即可；
（2）先把除以通过分数除法的意义换成乘法，然后进行约分计算即可；
（3）把分数全部换成小数，然后先算括号内，再计算括号外；
（4）把除以用分数除法的意义换成乘法，再提取公因数进行简便计算；
（5）把括号内进行通分计算即可；
（6）先把除以换成乘法，然后再添括号进行简便计算即可。
【详解】
【典例精讲2】（23-24六年级上·山西吕梁·期中）看图列出方程或算式。
【答案】144本
【分析】由线段图可知，故事书有360本，文艺书的本数是故事书的，科技书的本数是文艺书的，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。
【详解】
＝288×
＝144（本）
则科技书有144本。
【典例精讲3】（23-24六年级上·广东揭阳·期中）看图列式计算。
【答案】160只
【分析】看图可知，白兔只数是单位“1”，灰兔只数比白兔多了，灰兔只数是白兔的（1＋），白兔只数×灰兔对应分率＝灰兔只数，据此列式计算。
【详解】120×（1＋）
＝120×
＝160（只）
灰兔有160只。
【典例精讲4】（24-25六年级上·福建泉州·期中）用你喜欢的方法计算下列各题。
【答案】；；
【分析】（1）先将除法转换成乘法，再从左向右计算即可；
（2）先将除法转换成乘法，再将提出来，利用乘法分配律进行简便计算；
（3）先算小括号里面的乘法，再算减法，最后算除法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【典例精讲5】（23-24六年级上·吉林长春·期中）看图列式计算。
【答案】300÷（1＋）＝240（面）
【分析】看图，绿旗有300面，比红旗多了。将红旗看作单位“1”，那么绿旗是红旗的（1＋），单位“1”未知，用绿旗除以它对应的分率，即可求出红旗。
【详解】300÷（1＋）
＝300÷
＝300×
＝240（面）
所以，红旗有240面。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
计算题
1．用你喜欢的方法计算下列各题。
2．计算下面各题，能简算的要简算。
3．用你喜欢的方法计算。
4．用你喜欢的方法计算。
5．仔细算一算，怎样简便就怎样计算。
6．仔细算一算，怎样简便就怎样算。
7．用你喜欢的方法计算。
① ② ③
8．计算下面各题，能简算的要简算。
（1） （2）60 （3）
9．计算下面各题，能简算的要简算。
5×＋×6 ×÷ 35÷（÷）
10．能简算的要简算。
11．计算各题能简算的一定要简算。
12．脱式计算。
16÷÷ （1÷－）×0.75
13．用适当的方法递等式计算。
（1） （2） （3）
14．计算，能简算的要简算。
15．仔细计算，怎样简便就怎样计算。
16．计算。
17．能简算的要简算。
（1） （2） （3）
18．脱式计算。
19．脱式计算，能简算的要简算。
×÷（－） 48×（＋－）
20．看图列式并计算。
21．列算式计算。
22．看图列式，不计算。
23．看图列式计算。
24．看图列式计算。
25．看图只列式不计算。
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（高清导图，放大更清晰。）
一、核心素养目标：
1、能够理解分数混合运算的意义，掌握分数四则运算的基本规则。
2、发展逻辑推理能力，能够正确处理分数混合运算中的运算顺序和运算律。
3、培养数学建模能力，将实际问题转化为分数混合运算问题并解决。
4、增强数学应用意识，通过分数混合运算解决生活中的实际问题。
二、学习目标：
1、掌握分数加减乘除的运算规则，能够熟练进行分数的四则运算。
2、理解并应用运算顺序，能够正确处理包含多种运算的数学表达式。
3、能够运用分数混合运算解决涉及比例、百分比等实际问题。
4、学会使用括号改变运算顺序，并能正确运用乘法分配律等运算定律简化计算。
5、培养检查和评估自己运算结果的习惯，确保计算的准确性和合理性。
1、连续求一个数的几分之几是多少及连乘的运算顺序
(1) 解决“连续求一个数的几分之几是多少”的实际问题，用连乘计算。
(2)分数连乘的运算顺序与整数连乘的运算顺序相同：没有括号的，按从左到右的顺序计算；有括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。
2、分数乘除混合运算的运算顺序
(1)分数乘除混合运算的运算顺序与整数乘除混合运算的顺序一样：没有括号的，按从左到右的顺序计算；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。计算过程中，能约分的要先约分，再计算。
(2)根据“除以一个数，等于乘这个数的倒数”，可以把分数乘除混合运算或分数连除直接转化成分数连乘进行计算。
1、求比一个数多几分之几的数是多少
“求比一个数多几分之几的数是多少”的解题方法:
方法1:所求的量=单位“1”的量+单位“1”的量 x 比单位“1”多的分率；
方法2:所求的量=单位“1”的量 x (1+比单位“1”多的分率)。
2、已知总量和其中一部分量占总量的几分之几，求另一部分量
已知总量和其中一部分量所占的分率，求另一部分量有两种方法：
方法 1:另一部分量 = 总量 - 总量X部分量所占的分率;
方法 2:另一部分量=总量X (1-部分量所占的分率)。
3、整数乘法运算律在分数运算中的运用
整数乘法的运算律对于分数运算同样适用。在分数混合运算中，运用运算律可以使计算简便。
1、已知比一个数多 (或少) 几分之几的数是多少，求这个数
“已知比一个数多(或少) 几分之几的数是多少，求这个数”的解题方法：设这个数为 x，根据等量关系列方程求解。
等量关系1: 多 (或少)的几分之几=已知量；
等量关系2:=已知量。
2、已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量
“已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量”的解题方法：
方法1: 设总量为未知数，根据“总量 - 总量×一部分量占总量的几分之几= 另一部分量”列方程解答;
方法 2: 设总量为未知数，根据“总量× (1-一部分量占总量的几分之几)=另一部分量”列方程解答。
误区点拨：
（1）在进行分数四则混合运算时，对运算律理解不透。例如，9 ÷ + 9÷ = 9÷（ + ），错误地将除数合并。
（2）整数的运算律在分数运算中同样适用。对于含有除法的，应先转化为乘法，再计算。例如，9÷ + 9 ÷ =9 × 9 + 9 × =9×（9 + ）= 。
误区点拨：
（1）在有关分数的实际问题中，经常把带单位的具体量当作分率来计算。
（2）带有单位的分数表示具体的数量，不带有单位的分数表示分率。
【典例精讲1】（23-24六年级上·辽宁大连·期末）计算下列各题（能简算的要简算）。
【答案】
【分析】（1）把所有分数通分乘分母为12的分数，然后从左往右依次计算即可；
（2）先把除以通过分数除法的意义换成乘法，然后进行约分计算即可；
（3）把分数全部换成小数，然后先算括号内，再计算括号外；
（4）把除以用分数除法的意义换成乘法，再提取公因数进行简便计算；
（5）把括号内进行通分计算即可；
（6）先把除以换成乘法，然后再添括号进行简便计算即可。
【详解】
【典例精讲2】（23-24六年级上·山西吕梁·期中）看图列出方程或算式。
【答案】144本
【分析】由线段图可知，故事书有360本，文艺书的本数是故事书的，科技书的本数是文艺书的，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。
【详解】
＝288×
＝144（本）
则科技书有144本。
【典例精讲3】（23-24六年级上·广东揭阳·期中）看图列式计算。
【答案】160只
【分析】看图可知，白兔只数是单位“1”，灰兔只数比白兔多了，灰兔只数是白兔的（1＋），白兔只数×灰兔对应分率＝灰兔只数，据此列式计算。
【详解】120×（1＋）
＝120×
＝160（只）
灰兔有160只。
【典例精讲4】（24-25六年级上·福建泉州·期中）用你喜欢的方法计算下列各题。
【答案】；；
【分析】（1）先将除法转换成乘法，再从左向右计算即可；
（2）先将除法转换成乘法，再将提出来，利用乘法分配律进行简便计算；
（3）先算小括号里面的乘法，再算减法，最后算除法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【典例精讲5】（23-24六年级上·吉林长春·期中）看图列式计算。
【答案】300÷（1＋）＝240（面）
【分析】看图，绿旗有300面，比红旗多了。将红旗看作单位“1”，那么绿旗是红旗的（1＋），单位“1”未知，用绿旗除以它对应的分率，即可求出红旗。
【详解】300÷（1＋）
＝300÷
＝300×
＝240（面）
所以，红旗有240面。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
计算题
1．用你喜欢的方法计算下列各题。
【答案】24；27；
【分析】（1）根据分数四则混合运算的顺序，先算加法，再算除法；
（2）运用乘法分配律简算；
（3）先把68分解成67＋1，再运用乘法分配律简算。
【详解】
＝25÷
＝25×
＝24
＝
＝1×27
＝27
＝（67＋1）×
＝67×＋1×
＝43＋
＝
2．计算下面各题，能简算的要简算。
【答案】；98；
【分析】，用乘法分配律进行简算；，先算括号中的除法，再算括号外的除法；，先算乘法，再算减法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝98
＝
＝
＝
3．用你喜欢的方法计算。
【答案】；；98
【分析】（1）逆用乘法分配律简算。
（2）根据加法交换律、减法的性质简算。
（3）运用乘法分配律简算。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝56＋60－18
＝116－18
＝98
4．用你喜欢的方法计算。
【答案】18；；12
【分析】一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，按照从左往右的顺序依次计算，如果含有两级运算，要先算乘除法，再算加减法；在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的。
（1）根据乘法分配律运算，将括号里面的数分别乘24，再按顺序计算。
（2）＝，（a＋b）×c＝a×b＋a×c再按乘法分配逆运算计算。
（3）（a＋b）×c＝a×b＋a×c再按乘法分配逆运算计算。
【详解】（1）
＝
＝14＋20－16
＝18
（2）
＝
＝
＝
＝
（3）
＝
＝12×1
＝12
5．仔细算一算，怎样简便就怎样计算。
【答案】；；
【分析】（1）先算除法，再算加法；
（2）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算；
（3）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算中括号外面的除法。
【详解】（1）
（2）
（3）
6．仔细算一算，怎样简便就怎样算。
【答案】；23；27
【分析】（1）根据乘法交换律，先算即可简便运算；
（2）利用乘法分配律，即可简便运算；
（3）按照四则混合运算顺序，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法。
【详解】（1）
（2）
（3）
7．用你喜欢的方法计算。
① ② ③
【答案】①；②；③
【分析】①分数乘除混合运算，可利用乘法交换律进行简便计算；
②先算乘法，再通分计算异分母分数加法；
③逆用乘法分配律，用乘与的差。
【详解】①
②
③
8．计算下面各题，能简算的要简算。
（1） （2）60 （3）
【答案】（1）；（2）45；（3）
【分析】（1）先把除法改写成乘法，在计算连乘的过程中，分别把分子、分母进行约分；
（2）运用乘法分配律简算；
（3）先把除法改写成乘法，再运用乘法分配律简算。
【详解】（1）
＝
＝
（2）60
＝60×－60×＋60×
＝40－5＋10
＝45
（3）
＝
＝
＝1×
＝
9．计算下面各题，能简算的要简算。
5×＋×6 ×÷ 35÷（÷）
【答案】3；3；
【分析】（1）根据乘法分配律的逆运算，先算5与6的和，再计算它与的乘积即可；
（2）按照除以一个数等于乘这个数的倒数，以及乘除混合运算顺序应从左往右依次运算即可；
（3）按照运算顺序，应先算括号里面的，再计算35与这个商的结果即可得解。
【详解】（1）
（2）
（3）
=
10．能简算的要简算。
【答案】3；；2
【分析】根据乘法分配律，将原式转换成36×＋36×－36×进行简算；
根据乘法分配律，将原式转换成（＋）×，先计算小括号里的加法，再计算小括号外的乘法；
先计算小括号里的加法，再计算小括号外的除法，最后算小括号外的加法。
【详解】
＝36×＋36×－36×
＝24＋6－27
＝30－27
＝3
＝（＋）×
＝1×
＝
＝（＋）÷＋
＝÷＋
＝×2＋
＝＋
＝2
11．计算各题能简算的一定要简算。
【答案】；；1
【分析】，将除法改写成乘法，利用乘法交换结合律进行简算；
，将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算；
，利用乘法分配律进行简算。
【详解】
12．脱式计算。
16÷÷ （1÷－）×0.75
【答案】80；；
【分析】16÷÷，根据除法的性质，将后两个数先乘起来再计算；
，将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算；
（1÷－）×0.75，先算除法，再算减法，最后算乘法。
【详解】16÷÷
＝16÷（×）
＝16÷
＝16×5
＝80
（1÷－）×0.75
＝（1×－）×
＝（－）×
＝×
＝
13．用适当的方法递等式计算。
（1） （2） （3）
【答案】（1）6；（2）；（3）0.4
【分析】
（1）根据乘法分配律，把式子转化为进行简算；
（2）根据运算顺序，先计算括号里的除法，再计算括号外的除法；
（3）根据运算顺序，先计算小括号里的加法，再计算中括号里的乘法，再计算括号外的除法。
【详解】
（1）
（2）
（3）
14．计算，能简算的要简算。
【答案】22；15；9
【分析】（1）运用乘法分配律进行简算；
（2）先把式子的除法改写成乘法即，再运用乘法分配律进行简算；
（3）先把式子改写成，再运用乘法分配律进行简算；
【详解】（1）
（2）
（3）
15．仔细计算，怎样简便就怎样计算。
【答案】；20；
【分析】除以一个数相当于乘这个数的倒数，先将除法转化成乘法，再将能约分的进行约分简便运算；
利用乘法的分配律，括号里面的数分别与括号外面的数相乘，正好可以利用约分得出整数，再用减法得出最后的结果。
根据四则混合运算的法则，先算小括号里面的减法，异分母分数的减法先转化成同分母的减法计算，再算括号里面的减法，最后算括号外面的除法，除以一个分数相当于乘这个分数的倒数。
【详解】
＝
16．计算。
【答案】88；；
【分析】（1）运用乘法分配律：进行简便计算即可；
（2）先算小括号里的加法，再中括号里的减法，最后算括号外的乘法即可；
（3）先算括号里的除法，再算括号外的除法即可。
【详解】（1）
（2）
（3）
17．能简算的要简算。
（1） （2） （3）
【答案】（1）；（2）10；（3）
【分析】（1）根据运算顺序，从左往右进行计算即可；
（2）根据乘法分配律，把式子转化为进行简算；
（3）根据除以一个数等于乘它的倒数，把式子转化为，再根据乘法分配律，把式子转化为进行简算。
【详解】（1）
＝10×
＝
（2）
＝
＝12＋20－22
＝32－22
＝10
（3）
＝
＝
＝
＝
18．脱式计算。
【答案】；；；5
【分析】（1）先把除法转化成乘法，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算；
（2）先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法；
（3）先算乘法，再算加法；
（4）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
19．脱式计算，能简算的要简算。
×÷（－） 48×（＋－）
【答案】；2；62
【分析】根据乘法分配律进行简算；
先算小括号里面的减法，再算乘法，最后算除法；
根据乘法分配律进行简算。
【详解】
＝（＋）×
＝1×
＝
×÷（－）
＝×÷
＝÷
＝2
48×（＋－）
＝48×＋48×－48×
＝28＋64－30
＝62
20．看图列式并计算。
【答案】350千米
【分析】从线段图中可知，300千米比要求的长度少，把要求的长度看作单位“1”，则300千米是它的（1－），单位“1”未知，用除法计算，即可求解。
【详解】300÷（1－）
＝300÷
＝300×
＝350（千米）
21．列算式计算。
【答案】208.8吨
【分析】由图可知，白菜有162.4吨，土豆的质量比白菜多，把白菜的质量看作单位“1”，则土豆的质量相当于白菜的（1＋），根据分数乘法的意义解答即可。
【详解】162.4×（1＋）
＝162.4×
＝208.8（吨）
所以，土豆有208.8吨。
22．看图列式，不计算。
【答案】120×（1＋）＋120
【分析】把甲的质量看作单位“1”，乙的质量相当于甲质量的（1＋），求一个数的几分之几是多少，用乘法，用甲的质量乘（1＋），即可求出乙的质量，再加上甲的质量，即可求出甲和乙的质量之和。
【详解】120×（1＋）＋120
＝120×＋120
＝150＋120
＝270（千克）
即甲和乙一共的质量是270千克。
23．看图列式计算。
【答案】96户
【分析】看图可知，去年户数是单位“1”，今年户数是去年的（1＋），今年户数÷对应分率＝去年户数，据此列式计算。
【详解】120÷（1＋）
＝120÷
＝120×
＝96（户）
24．看图列式计算。
【答案】480棵
【分析】观察可知，把桃树的数量看作单位“1”，已知梨树的数量是360棵，比桃树少，即梨树的数量占桃树的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用梨树的数量除以其对应的分率。据此解答。
【详解】
（棵）
25．看图只列式不计算。
【答案】
【分析】看图可知，本地游客数量是单位“1”，外地游客是本地游客的，外地游客数量÷对应分率＝本地游客数量，据此列式。
【详解】
（万人）
本地游客有40万人。
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