第一单元 《圆》 单元复习讲义（讲义）
（结构导图+素养目标+知识梳理+易错集锦+典例精讲+专项精练）
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一、核心素养目标：
1、发展学生的空间观念，理解圆的几何特性及其在空间中的位置和关系。
2、培养学生的逻辑推理能力，通过探究圆的性质，学会运用数学语言进行准确表达。
3、强化学生的数学应用意识，能够将圆的知识应用到实际问题的解决中。
4、激发学生的创新思维，鼓励学生在学习圆的过程中发现和提出问题，进行探究和创造。
二、学习目标：
1、认识圆的基本元素（圆心、半径、直径），掌握圆的定义及其表示方法。
2、学会使用圆规作圆，理解并掌握圆的对称性质。
3、掌握圆周角定理，能够计算圆周角和圆心角。
4、掌握弧、弦、扇形等圆的基本概念，并能进行相关的计算。
5、能够解决计算圆的周长和面积的实际问题，。
1.初步感受圆的特征
圆上每一点到圆的中心的距离都相等。
2.画圆的方法及圆各部分的名称
（1）用圆规画圆的步骤：①把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离；②把有针尖的一脚固定在一点上；③把有铅笔的一脚旋转一周，就画出了一个圆。
（2）圆的各部分名称：
3.圆中的半径、直径以及半径与直径之间的关系
在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，并且直径长是半径的 2倍，用字母表示为 d=2r。
4.圆心和半径的作用
5.圆在生活中的作用
圆和其他图形的区别：
1.圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
2.圆有无数条直径，沿着任意一条直径对折圆，直径两侧的部分都能够完全重合，所以圆有无数条对称轴。
3.确定中心重合的圆与正多边形组成的组合图形的对称轴的方法: 经过圆心的正多边形的对称轴就是这个组合图形的对称轴。
1.画由圆组成的图案时的步骤:(1)分析图案的形成;(2)确定好圆心和半径明确是要画整圆还是半圆; (3) 按原图案涂色。
2.用圆设计图案时，可以单独或综合运用平移、旋转和轴对称的知识设计，定圆心位置和半径是关键。
1.圆周长的意义及测量方法
（1）圆的周长: 围成圆的曲线的长度。
（2）周长的测量方法
2.认识圆周率
实际上，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数，而=3.1415926535···，计算时通常取3.14，计算结果用“=”连接。
3.圆的周长的计算公式及应用
如果用C表示圆的周长，那么用字母表示圆的周长的计算公式为 C=d或C=2r。
1.圆可以通过剪拼转化成一个近似平行四边形，从而求出它的面积；
2.圆的面积计算公式用字母表示为 S=r2。
知识点06：圆的面积（二）-圆的面积计算公式的应用
在圆的半径r、周长C、面积S中，知道其中一个量，可求出其他两个量：
（1）已知r，求C，直接用C=2r计算；求S，直接用S=r2计算。
（2）已知C，求r，用r=C÷÷2计算；求S，先求r，再用S=r2计算。
（3）已知S，求r，先用r2=S÷求r2，再求r；求C，先求r，再用C=2r计算。
误区点拨：
（1）容易简单地认为直径是半径的2倍，直径就是对称轴。
（2）在同圆或等圆中，直径是半径的2倍。圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。
误区点拨：
（1）容易说成Π就是3.14或Π=3.14。
（2）圆周率是一个无限不循环小数，计算时一般保留两位小数，取它的近似值3.14。
误区点拨：
（1）容易忘记加上圆的直径，只计算了圆周长的一半。
（2）半圆的周长包括两部分，一部分是圆周长的一半，另一部分是直径的长，所以求出圆周长的一半后，不要忘记加上直径的长。
误区点拨：
（1）容易用错公式，用了S=Π（R一r）2。
（2）对于圆环面积的计算，要找出外圆的半径和内圆的半径，运用公式S=Π（R2—r2）计算。
【典例精讲1】（23-24六年级上·安徽亳州·期末）求阴影部分的周长。（π取3.14）
【答案】49.12m
【分析】所求图形的周长包括一个整圆的周长和两条线段的长度，分别计算最后相加即可。
【详解】阴影部分的周长：
（m）
【典例精讲2】（23-24六年级上·浙江金华·期中）求下图中阴影部分的周长。
【答案】28.56cm
【分析】根据图示，该阴影的周长等于正方形的两条边加上圆的周长；圆的周长＝2πr，代入数据解答即可。
【详解】8＋8＋3.14×8×2×
＝16＋25.12×2×
＝16＋50.24×
＝16＋12.56
＝28.56（cm）
图中阴影部分的周长28.56cm。
【典例精讲3】（23-24六年级上·陕西西安·期中）下图半圆的直径是6厘米，求涂色部分的面积。
【答案】5.13平方厘米
【分析】半圆的直径是6厘米，根据圆的直径是半径的2倍，可用除法求出半径，再根据，用圆的面积除以2得半圆的面积，再根据，用半圆面积减去底为6厘米，高为圆的半径的三角形的面积，即可得解。
【详解】
（平方厘米）
（平方厘米）
涂色部分的面积是5.13平方厘米。
【典例精讲4】（23-24六年级上·陕西西安·期末）计算下面图形的周长与面积。
【答案】71.4cm；257cm2
【分析】组合图形的周长＝圆周长的一半＋正方形周长，圆周长的一半＝圆周率×半径，正方形周长＝边长×4；
组合图形的面积＝半圆面积＋正方形面积，半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2，正方形面积＝边长×边长。
【详解】3.14×10＋10×4
＝31.4＋40
＝71.4（cm）
3.14×102÷2＋10×10
＝3.14×100÷2＋100
＝157＋100
＝257（cm2）
组合图形的周长是71.4cm，面积是257cm2。
【典例精讲5】（23-24六年级上·陕西宝鸡·期末）如图，圆内有一个正方形，圆的直径是6厘米。求阴影部分面积。
【答案】10.26平方厘米
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积。
根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积；用一条对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径；根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积；再用圆的面积减去正方形的面积即可求解。
【详解】圆的半径：6÷2＝3（厘米）
圆的面积：
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
正方形的面积：
6×3÷2×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积：
28.26－18＝10.26（平方厘米）
阴影部分面积是10.26平方厘米。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
计算题
1．计算下面图形的周长。
【答案】14.28米
【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，圆的周长＝2πr，根据观察图形特征，该图形的周长为（长＋宽）×2－长＋2πr×，据此解答。
【详解】
（米）
则该图形的周长为14.28米。
2．求下面图形中阴影部分的面积。
【答案】12.56cm2
【分析】由图可知，阴影部分的面积＝半圆的面积－空白部分圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2即可求解。
【详解】
＝
＝3.14×8－3.14×4
＝
＝12.56（cm2）
3．求阴影部分的面积。（单位：cm）
【答案】24cm2
【分析】把三角形外的阴影部分移到长方形内，如图：，阴影部分面积＝长是8cm，宽是4cm的长方形面积－底是4cm，高是4cm的三角形面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。
【详解】8×4－4×4÷2
＝32－16÷2
＝32－8
＝24（cm2）
4．求下图阴影部分的面积。
【答案】45.76cm2
【分析】根据图示分析，阴影面积＝长方形面积－圆面积，利用长方形的面积公式：S＝ab，圆的面积公式：S＝πr2，将相关数据代入计算即可。
【详解】长方形的面积：12×8＝96（cm2）
圆的面积：3.14×（8÷2）2
＝3.14×16
＝50.24（cm2）
阴影部分的面积：96－50.24＝45.76（cm2）
5．计算下面图形中阴影部分的面积。
【答案】27.44cm2
【分析】观察图形可知，用长方形的面积减去圆的面积的即可求出阴影部分的面积。长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，据此解答。
【详解】10×4－3.14×42×
＝40－12.56
＝27.44（cm2）
6．已知圆的周长是18.84dm。求阴影部分的面积。（单位：分米）
【答案】13.5dm2
【分析】根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的半径，即梯形的上底与高的长度，然后根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2解答即可。
【详解】18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（dm）
（3＋6）×3÷2
＝9×3÷2
＝27÷2
＝13.5（dm2）
7．求图影部分的面积。
【答案】436cm2
【分析】由题意可知：阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积，利用长方形的面积公式（S＝ab）和圆的面积公式（S＝πr2）即可求解。
【详解】30×25－3.14×102
＝750－3.14×100
＝750－314
＝436（cm2）
图阴影部分面积是436cm2。
8．计算下面圆的面积和周长。
圆的周长：
圆的面积：
【答案】周长：18.84cm；面积：28.26cm2
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出圆的周长；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积。
【详解】圆的周长：3.14×6＝18.84（cm）
圆的面积：3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（cm2）
9．求下面图形的周长和面积
【答案】周长397米；面积7962.5平方米
【分析】通过观察图形可知，它的周长等于直径是50米的圆的周长加上长方形的两条长，它的面积等于直径是50米的圆的面积加上长方形的面积。根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答即可。
【详解】3.14×50＋120×2
＝157＋240
＝397（米）
3.14×（50÷2）2＋120×50
＝3.14×625＋6000
＝1962.5＋6000
＝7962.5（平方米）
它的周长是397米，面积是7962.5平方米。
10．求阴影部分的周长和面积。
【答案】阴影部分的面积是21.5平方厘米；周长是51.4厘米
【分析】根据题意可知，阴影部分的面积相当于正方形的面积减去2个半圆的面积，2个半圆的面积等于1个圆的面积，已知正方形的边长等于圆直径，也就是10厘米，根据正方形的面积公式和圆面积公式，用10×10即可求出正方形的面积，用3.14×（10÷2）2即可求出圆面积，然后用正方形的面积减去圆面积，即可求出阴影部分的面积；又已知阴影部分的周长相当于一个圆周长加上正方形的2条边长，根据圆周长公式，用3.14×10＋10×2即可求出阴影部分的周长。
【详解】10×10＝100（平方厘米）
3.14×（10÷2）2
＝3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
100－78.5＝21.5（平方厘米）
3.14×10＋10×2
＝31.4＋20
＝51.4（厘米）
阴影部分的面积是21.5平方厘米；周长是51.4厘米。
11．求涂色部分的周长和面积。
【答案】周长25.12厘米，面积25.12平方厘米
【分析】观察图形可知，涂色部分的周长包括以4厘米为半径的半圆和两个以4厘米为直径的小半圆的周长之和，而两个半径相等的小半圆可以组成一个整圆。根据圆的周长＝πd＝2πr即可解答。
涂色的小半圆可以填补到空白的小半圆处，这样涂色部分的面积转化为半圆的面积。根据圆的面积＝πr2即可解答。
【详解】周长：2×4×3.14÷2＋3.14×4
＝12.56＋12.56
＝25.12（厘米）
面积：3.14×42÷2
＝3.14×16÷2
＝50.24÷2
＝25.12（平方厘米）
则涂色部分的周长是25.12厘米，面积是25.12平方厘米。
12．求阴影部分的周长和面积。
【答案】半圆的周长是25.12厘米，半圆的面积是25.12平方厘米。
【分析】看图可知，根据割补法，把下面多出来的阴影部分的半圆补到上面空白处的半圆，这样就变成一个完整的半圆，再根据圆的周长公式：，先求出大圆的周长，用大圆的周长除以2，再加上小圆的周长，即为阴影部分的周长；根据圆的面积公式：，先求出圆的面积，再用圆的面积除以2，即可计算出阴影部分的面积。
【详解】圆的周长：2×3.14×4
＝6.28×4
＝25.12（厘米）
半圆的周长：25.12÷2＋3.14×4
＝12.56＋12.56
＝25.12（厘米）
圆的面积：
＝3.14×4×4
＝12.56×4
＝50.24（平方厘米）
半圆的面积：50.24÷2＝25.12（平方厘米）
13．求图中阴影部分面积。
【答案】2.28cm2
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝半圆的面积－三角形的面积，已知圆的半径是2cm，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×22÷2即可求出半圆的面积；三角形的底是（2×2）cm，高是2cm，根据三角形的面积＝底×高÷2，用2×2×2÷2即可求出三角形的面积，再用半圆的面积减去三角形的面积，即可求出阴影部分的面积。
【详解】3.14×22÷2
＝3.14×4÷2
＝6.28（cm2）
2×2×2÷2＝4（cm2）
6.28－4＝2.28（cm2）
阴影部分的面积是2.28cm2。
14．求阴影部分的面积。
【答案】42.39cm2
【分析】阴影部分的面积＝大半圆的面积－小半圆的面积，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，据此列式计算。
【详解】3.14×62÷2－3.14×（6÷2）2÷2
＝3.14×36÷2－3.14×32÷2
＝56.52－3.14×9÷2
＝56.52－14.13
＝42.39（cm2）
15．求阴影部分的周长。（单位：厘米）
【答案】20.56厘米
【分析】阴影部分的周长包括两个半圆弧组成的整圆的周长和正方形的两条边长，根据圆的周长＝πd，求出整圆的周长，再加上正方形的两条边长即可。
【详解】3.14×4＋4×2
＝12.56＋8
＝20.56（厘米）
16．求下图图形阴影部分的周长和面积。
【答案】周长：28.56厘米；面积：6.88平方厘米
【分析】阴影部分的周长＝长方形的长＋两条宽＋半径是4厘米的圆的周长一半，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答；
阴影部分的面积＝长是8厘米，宽是4厘米长方形面积－半径是4厘米圆的面积的一半，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】周长：8＋4×2＋3.14×8÷2
＝8＋8＋25.12÷2
＝16＋12.56
＝28.56（厘米）
面积：8×4－3.14×42÷2
＝32－3.14×16÷2
＝32－50.24÷2
＝32－25.12
＝6.88（平方厘米）
17．求阴影部分的周长和面积。（单位：cm）
【答案】周长：21.42cm；面积：3.87cm2
【分析】阴影部分周长＝半径是3cm圆的周长一半＋长方形的长＋长方形的宽×2，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答；
阴影部分面积＝长是（3×2）cm，宽是3cm的长方形面积－半径是3cm圆的面积的一半；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】周长：
3.14×3×2÷2＋3×2＋3×2
＝9.42×2÷2＋6＋6
＝18.81÷2＋6＋6
＝9.42＋6＋6
＝15.42＋6
＝21.42（cm）
面积：
（3×2）×3－3.14×32÷2
＝6×3－3.14×9÷2
＝18－28.26÷2
＝18－14.13
＝3.87（cm2）
18．如图，正方形的边长是8米，求涂色部分的面积。
【答案】13.76平方米
【分析】观察图形可知，涂色部分的面积＝正方形的面积－半径为8米的圆的面积的，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。
【详解】8×8－3.14×82×
＝8×8－3.14×64×
＝64－50.24
＝13.76（平方米）
则涂色部分的面积是13.76平方米。
19．算下面图形阴影部分的周长与面积。
【答案】周长：21.42cm；面积：28.26cm2
【分析】阴影部分的周长＝直径是12cm的圆的周长的＋两条半径的和，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可求出阴影部分周长；
阴影部分面积＝半径是（12÷2）cm的圆的面积的，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】周长：
3.14×12×＋（12÷2）×2
＝37.68×＋6×2
＝9.42＋12
＝21.42（cm）
面积：
3.14×（12÷2）2×
＝3.14×62×
＝3.14×36×
＝113.04×
＝28.26（cm2）
20．求下面图形①的周长和图形②圆环的面积。
【答案】18.84cm；122.46 cm
【分析】（1）圆的直径是6厘米，根据圆的周长公式：C＝πd，把直径的数据代入圆的周长公式计算即可。
（2）圆环的外直径是16厘米，内半径是5厘米，先求出外半径，根据圆环的面积公式：S环＝π（R2－r2），把外半径、内半径的数据代入圆环的面积公式计算即可。
【详解】左图：6×3.14＝18.84（cm）
右图：16÷2＝8（cm）
＝
（cm）
21．计算图中阴影部分的周长和面积。
【答案】周长38.84厘米；面积60平方厘米
【分析】由图可知，阴影部分的周长是由2个直径为6厘米的圆周长的一半和2条长10厘米的线段组成，即阴影部分的周长等于直径为6厘米的圆周长加上2条长10厘米的线段，根据圆的周长＝圆周率×直径，代入数据计算，即可解答；
由于左边的半圆与右边的半圆大小相等，所以阴影部分的面积可以看作一个长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可解答。
【详解】周长：
3.14×6＋2×10
＝18.84＋20
＝38.84（厘米）
面积：10×6＝60（平方厘米）
22．求阴影部分的面积（单位：厘米）。
【答案】60.75平方厘米
【分析】观察图形可知，阴影部分由两部分组成，下半部分是一个直径10厘米的半圆，上半部分是一个边长10厘米的正方形去掉一个半径10厘米的圆所剩下的部分。再根据圆的面积＝，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可解答。
【详解】10÷2＝5（厘米）
（平方厘米）
阴影图形的面积为60.75平方厘米。
23．在图中的长方形里画一个最大的半圆并计算这个半圆的周长和面积。
【答案】见详解
【分析】在长方形中画最大的半圆，半圆的直径等于长方形的长，据此画出半圆。半圆的周长等于直径是6厘米的圆的周长的一半加上一条直径，先根据圆的周长公式：C＝πd，求出直径是6厘米的圆的周长，进而求出圆周长的一半，再加上一条直径，结果就是这个半圆的周长；再根据圆的面积公式：S＝πr2，求出圆的面积，再除以2，即可求出半圆的面积。
【详解】
半圆的周长：
3.14×6÷2＋6
＝18.84÷2＋6
＝9.42＋6
＝15.42（厘米）
半圆的面积：
3.14×（6÷2）2÷2
＝3.14×32÷2
＝3.14×9÷2
＝28.26÷2
＝14.13（平方厘米）
24．求正方形中阴影部分的面积。
【答案】13.76平方分米
【分析】观察题意可知，空白部分的面积相当于一个直径是8分米的圆面积，阴影部分的面积等于一个边长为8分米的正方形面积减去空白部分的面积，根据正方形的面积＝边长×边长、圆面积公式：S＝πr2，代入数据分别求出正方形的面积和空白部分的面积，最后求出它们的差即可。
【详解】8÷2＝4（分米）
8×8－3.14×42
＝8×8－3.14×16
＝64－50.24
＝13.76（平方分米）
阴影部分的面积是13.76平方分米。
25．计算下面图形的周长与面积。
【答案】周长：125.6cm；面积：314cm2
【分析】周长等于大圆周长的一半加上两个半圆的周长（即一个小圆的周长）；面积等于大圆面积的一半减去两个小圆面积的一半（即一个小圆的面积），据此解答。
【详解】周长：
3.14×40÷2＋3.14×（40÷2）
＝125.6÷2＋3.14×20
＝62.8＋62.8
＝125.6（cm）
面积：
3.14×（40÷2） 2÷2－3.14×（40÷4） 2
＝3.14×202÷2－3.14×10 2
＝3.14×400÷2－3.14×100
＝1256÷2－314
＝628－314
＝314（cm2）
26．计算如图中阴影部分的面积。
【答案】30.96cm2
【分析】阴影部分的面积＝正方形面积－圆的面积，正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式计算。
【详解】
27．求下面各图中阴影部分的周长和面积。
（1） （2）
【答案】（1）20.7cm；29.4375cm2
（2）50.24cm；50.24cm2
【分析】（1）阴影部分周长等于半径为5cm圆周长的与直径是5cm圆周长的和5cm的和；
阴影部分面积等于半径为5cm圆面积的与直径是5cm圆面积的的差；灵活应用C＝πd，C＝2πr，S＝πr2计算解答。
（2）阴影部分由四条曲线组成，其中2条较短曲线可组成直径是8cm的圆，另外2条较长曲线可组成半径是8cm的半圆，据此求阴影部分的周长；
阴影部分的面积等于半径是8cm的半圆面积减去直径是8cm的整圆面积；灵活应用C＝πd，C＝2πr，S＝πr2计算解答。
【详解】（1）2×3.14×5÷4＋3.14×5÷2＋5
＝3.14×（2×5÷4＋5÷2）＋5
＝3.14×（2.5＋2.5）＋5
＝3.14×5＋5
＝15.7＋5
＝20.7（cm）
3.14×52÷4－3.14×（5÷2）2÷2
＝3.14×（25÷4－2.52÷2）
＝3.14×（6.25＋6.25÷2）
＝3.14×（6.25＋3.125）
＝3.14×9.375
＝29.4375（cm2）
（2）3.14×8＋2×3.14×8÷2
＝3.14×（8＋2×8÷2）
＝3.14×（8＋8）
＝3.14×16
＝50.24（cm）
3.14×82÷2－3.14×（8÷2）2
＝3.14×（64÷2－42）
＝3.14×（32－16）
＝3.14×16
＝50.24（cm2）
28．求下面各图中阴影部分的面积。
（1） （2）
【答案】（1）28.5平方厘米
（2）3.72平方厘米
【分析】（1）阴影部分的面积＝圆的面积－正方形面积，将正方形对折成两个完全相等的三角形，则三角形的底长等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，再根据圆的面积＝，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可；
（2）阴影部分的面积＝梯形的面积－圆面积的一半，圆的直径为4厘米，梯形的高等于圆的半径，然后根据梯形面积公式和圆的面积公式进行计算即可；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝。
【详解】（1）（厘米）
（平方厘米）
（2）（厘米）
（平方厘米）
29．求阴影部分的面积。
【答案】37.68dm2
【分析】阴影部分面积＝直径是8dm的圆的面积－直径是（8÷2）dm圆的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（8÷2）2－3.14×（8÷2÷2）2
＝3.14×42－3.14÷（4÷2）2
＝3.14×16－3.14×22
＝50.24－3.14×4
＝50.24－12.56
＝37.68（dm2）
阴影部分面积是37.68dm2。
30．计算下面图形的周长与面积。
【答案】71.4cm；257cm2
【分析】组合图形的周长＝圆周长的一半＋正方形周长，圆周长的一半＝圆周率×半径，正方形周长＝边长×4；
组合图形的面积＝半圆面积＋正方形面积，半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2，正方形面积＝边长×边长。
【详解】3.14×10＋10×4
＝31.4＋40
＝71.4（cm）
3.14×102÷2＋10×10
＝3.14×100÷2＋100
＝157＋100
＝257（cm2）
组合图形的周长是71.4cm，面积是257cm2。
31．求阴影部分的面积和周长。
【答案】面积：344cm2；周长：205.6cm
【分析】两个圆的半径相等均为20cm，阴影部分的面积可以看作是一个边长为40cm的正方形面积减去一个半径为20cm的圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入数值计算。阴影部分的周长可以看作是一个半径为20cm的圆的周长加上2条40cm的线段长度，根据圆的周长＝2πr，代入数值计算，据此解答。
【详解】40×40－3.14×202
＝1600－3.14×400
＝1600－1256
＝344（cm2）
2×3.14×20＋40×2
＝6.28×20＋80
＝125.6＋80
＝205.6（cm）
因此阴影部分的面积是344cm2，周长是205.6cm。
32．已知两个圆的半径都是10厘米，请求出下面阴影部分的周长和面积。
【答案】周长是102.8厘米；面积是86平方厘米
【分析】通过观察可知，阴影部分的周长相当于一个半径是10厘米的圆周长加上2条（10×2）厘米的长度，阴影部分的面积相当于一个边长为（10×2）厘米的正方形面积减去一个半径是10厘米的圆面积；根据圆周长公式：C＝2πr、圆的面积公式S＝πr2，以及正方形的面积＝边长×边长，代入数据即可求出结果。
【详解】3.14×10×2＋10×2×2
＝62.8＋40
＝102.8（厘米）
10×2＝20（厘米）
20×20－3.14×102
＝20×20－3.14×100
＝400－314
＝86（平方厘米）
阴影部分的周长是102.8厘米，面积是86平方厘米。
33．如图所示，求阴影部分的面积与周长。
【答案】面积3.87平方厘米，周长21.42厘米
【分析】从图片中分析，阴影部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积。其中半圆的半径是3厘米，则面积＝，长方形的长是半圆的直径是6厘米，宽是半圆的半径是3厘米，长方形的面积＝长×宽，再相减即可。
阴影部分的周长＝长方形的长＋2个宽＋半弧＝半圆的周长＋2个宽。半圆的周长＝。
【详解】面积：（2×3）×3－×3.14×32
＝6×3－×3.14×9
＝18－14.13
＝3.87（平方厘米）
周长：3.14×3＋2×3＋2×3
＝9.42＋6＋6
＝21.42（厘米）
则阴影部分的面积是3.87平方厘米，周长是21.42厘米。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一单元 《圆》 单元复习讲义（讲义）
（结构导图+素养目标+知识梳理+易错集锦+典例精讲+专项精练）
（高清导图，放大更清晰。）
一、核心素养目标：
1、发展学生的空间观念，理解圆的几何特性及其在空间中的位置和关系。
2、培养学生的逻辑推理能力，通过探究圆的性质，学会运用数学语言进行准确表达。
3、强化学生的数学应用意识，能够将圆的知识应用到实际问题的解决中。
4、激发学生的创新思维，鼓励学生在学习圆的过程中发现和提出问题，进行探究和创造。
二、学习目标：
1、认识圆的基本元素（圆心、半径、直径），掌握圆的定义及其表示方法。
2、学会使用圆规作圆，理解并掌握圆的对称性质。
3、掌握圆周角定理，能够计算圆周角和圆心角。
4、掌握弧、弦、扇形等圆的基本概念，并能进行相关的计算。
5、能够解决计算圆的周长和面积的实际问题，。
1.初步感受圆的特征
圆上每一点到圆的中心的距离都相等。
2.画圆的方法及圆各部分的名称
（1）用圆规画圆的步骤：①把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离；②把有针尖的一脚固定在一点上；③把有铅笔的一脚旋转一周，就画出了一个圆。
（2）圆的各部分名称：
3.圆中的半径、直径以及半径与直径之间的关系
在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，并且直径长是半径的 2倍，用字母表示为 d=2r。
4.圆心和半径的作用
5.圆在生活中的作用
圆和其他图形的区别：
1.圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
2.圆有无数条直径，沿着任意一条直径对折圆，直径两侧的部分都能够完全重合，所以圆有无数条对称轴。
3.确定中心重合的圆与正多边形组成的组合图形的对称轴的方法: 经过圆心的正多边形的对称轴就是这个组合图形的对称轴。
1.画由圆组成的图案时的步骤:(1)分析图案的形成;(2)确定好圆心和半径明确是要画整圆还是半圆; (3) 按原图案涂色。
2.用圆设计图案时，可以单独或综合运用平移、旋转和轴对称的知识设计，定圆心位置和半径是关键。
1.圆周长的意义及测量方法
（1）圆的周长: 围成圆的曲线的长度。
（2）周长的测量方法
2.认识圆周率
实际上，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数，而=3.1415926535···，计算时通常取3.14，计算结果用“=”连接。
3.圆的周长的计算公式及应用
如果用C表示圆的周长，那么用字母表示圆的周长的计算公式为 C=d或C=2r。
1.圆可以通过剪拼转化成一个近似平行四边形，从而求出它的面积；
2.圆的面积计算公式用字母表示为 S=r2。
知识点06：圆的面积（二）-圆的面积计算公式的应用
在圆的半径r、周长C、面积S中，知道其中一个量，可求出其他两个量：
（1）已知r，求C，直接用C=2r计算；求S，直接用S=r2计算。
（2）已知C，求r，用r=C÷÷2计算；求S，先求r，再用S=r2计算。
（3）已知S，求r，先用r2=S÷求r2，再求r；求C，先求r，再用C=2r计算。
误区点拨：
（1）容易简单地认为直径是半径的2倍，直径就是对称轴。
（2）在同圆或等圆中，直径是半径的2倍。圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。
误区点拨：
（1）容易说成Π就是3.14或Π=3.14。
（2）圆周率是一个无限不循环小数，计算时一般保留两位小数，取它的近似值3.14。
误区点拨：
（1）容易忘记加上圆的直径，只计算了圆周长的一半。
（2）半圆的周长包括两部分，一部分是圆周长的一半，另一部分是直径的长，所以求出圆周长的一半后，不要忘记加上直径的长。
误区点拨：
（1）容易用错公式，用了S=Π（R一r）2。
（2）对于圆环面积的计算，要找出外圆的半径和内圆的半径，运用公式S=Π（R2—r2）计算。
【典例精讲1】（23-24六年级上·安徽亳州·期末）求阴影部分的周长。（π取3.14）
【答案】49.12m
【分析】所求图形的周长包括一个整圆的周长和两条线段的长度，分别计算最后相加即可。
【详解】阴影部分的周长：
（m）
【典例精讲2】（23-24六年级上·浙江金华·期中）求下图中阴影部分的周长。
【答案】28.56cm
【分析】根据图示，该阴影的周长等于正方形的两条边加上圆的周长；圆的周长＝2πr，代入数据解答即可。
【详解】8＋8＋3.14×8×2×
＝16＋25.12×2×
＝16＋50.24×
＝16＋12.56
＝28.56（cm）
图中阴影部分的周长28.56cm。
【典例精讲3】（23-24六年级上·陕西西安·期中）下图半圆的直径是6厘米，求涂色部分的面积。
【答案】5.13平方厘米
【分析】半圆的直径是6厘米，根据圆的直径是半径的2倍，可用除法求出半径，再根据，用圆的面积除以2得半圆的面积，再根据，用半圆面积减去底为6厘米，高为圆的半径的三角形的面积，即可得解。
【详解】
（平方厘米）
（平方厘米）
涂色部分的面积是5.13平方厘米。
【典例精讲4】（23-24六年级上·陕西西安·期末）计算下面图形的周长与面积。
【答案】71.4cm；257cm2
【分析】组合图形的周长＝圆周长的一半＋正方形周长，圆周长的一半＝圆周率×半径，正方形周长＝边长×4；
组合图形的面积＝半圆面积＋正方形面积，半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2，正方形面积＝边长×边长。
【详解】3.14×10＋10×4
＝31.4＋40
＝71.4（cm）
3.14×102÷2＋10×10
＝3.14×100÷2＋100
＝157＋100
＝257（cm2）
组合图形的周长是71.4cm，面积是257cm2。
【典例精讲5】（23-24六年级上·陕西宝鸡·期末）如图，圆内有一个正方形，圆的直径是6厘米。求阴影部分面积。
【答案】10.26平方厘米
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积。
根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积；用一条对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径；根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积；再用圆的面积减去正方形的面积即可求解。
【详解】圆的半径：6÷2＝3（厘米）
圆的面积：
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
正方形的面积：
6×3÷2×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积：
28.26－18＝10.26（平方厘米）
阴影部分面积是10.26平方厘米。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
计算题
1．计算下面图形的周长。
2．求下面图形中阴影部分的面积。
3．求阴影部分的面积。（单位：cm）
4．求下图阴影部分的面积。
5．计算下面图形中阴影部分的面积。
6．已知圆的周长是18.84dm。求阴影部分的面积。（单位：分米）
7．求图影部分的面积。
8．计算下面圆的面积和周长。
圆的周长：
圆的面积：
9．求下面图形的周长和面积
10．求阴影部分的周长和面积。
11．求涂色部分的周长和面积。
12．求阴影部分的周长和面积。
13．求图中阴影部分面积。
14．求阴影部分的面积。
15．求阴影部分的周长。（单位：厘米）
16．求下图图形阴影部分的周长和面积。
17．求阴影部分的周长和面积。（单位：cm）
18．如图，正方形的边长是8米，求涂色部分的面积。
19．算下面图形阴影部分的周长与面积。
20．求下面图形①的周长和图形②圆环的面积。
21．计算图中阴影部分的周长和面积。
22．求阴影部分的面积（单位：厘米）。
23．在图中的长方形里画一个最大的半圆并计算这个半圆的周长和面积。
24．求正方形中阴影部分的面积。
25．计算下面图形的周长与面积。
26．计算如图中阴影部分的面积。
27．求下面各图中阴影部分的周长和面积。
（1） （2）
28．求下面各图中阴影部分的面积。
（1） （2）
29．求阴影部分的面积。
30．计算下面图形的周长与面积。
31．求阴影部分的面积和周长。
32．已知两个圆的半径都是10厘米，请求出下面阴影部分的周长和面积。
33．如图所示，求阴影部分的面积与周长。
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