第六单元 《比的认识》 单元复习讲义(讲义)
六年级数学上册专项精练(结构导图+素养目标+知识梳理+典例精讲+专项精练)
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一、核心素养目标:
1、能够理解比的概念,掌握比的基本性质,并能正确地运用比来描述两个量之间的关系。
2、培养学生的逻辑推理能力,通过比的性质解决实际问题。
3、增强学生运用数学语言准确表达数学思想的能力。
4、通过比的应用,提高学生解决实际问题的能力,培养学生的数学应用意识。
二、学习目标:
1、学生能够理解比的含义,掌握比与分数、除法的关系,学会化简比和求比值。
2、通过实例引导学生探究比的性质,培养学生通过观察、比较、归纳等方法自主学习的能力。
3、激发学生学习数学的兴趣,培养学生的合作精神和探究精神,增强学生解决实际问题的信心。
1、解答这部分题目时可以运用分数的意义进行解答。如果阴影部分是大圆面积的 ,即大圆面积是8份。
2、比、分数、除法的区别:除法是一种运算,分数是一种数,比表示两个数之间的关系。
化简比的方法:
①比的前后项都是整数,前后项同时除以它们的最大公因数;
②比的前后项都是分数,前后项同时乘分母的最小公倍数,再按方法①进行化简;
③比的前后项都是小数,先同时乘10,100,…化成整数,再按方法①进行化简。
1、按比分配先求出总量一共平均分成了几份,再用相应的分数来表示各部分量,最后用分数乘法来解答。
2、解答比的应用问题的一般方法:
①把比看成份数来解答;
②把比转化成求一个数的几分之几来解答。
【典例精讲1】(23-24六年级上·陕西西安·期末)求比值。
18∶45 0.72∶1.2 ∶
【答案】0.4;0.6;
【分析】求比值直接用比的前项÷后项即可,求比值的结果是一个数,据此求比值。
【详解】18∶45=18÷45=0.4
0.72∶1.2=0.72÷1.2=0.6
∶=÷==×=
【典例精讲2】(23-24六年级上·陕西西安·期末)化简下列各比。
0.6∶0.2 ∶2.4 1.2时∶45分
【答案】3∶1;1∶8;8∶5
【分析】比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
如果比的前项和后项的单位不统一,先根据进率换算单位,再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。
【详解】(1)0.6∶0.2
=(0.6÷0.2)∶(0.2÷0.2)
=3∶1
(2)∶2.4
=(×10)∶(2.4×10)
=3∶24
=(3÷3)∶(24÷3)
=1∶8
(3)1.2时∶45分
=(1.2×60)分∶45分
=72∶45
=(72÷9)∶(45÷9)
=8∶5
学校:___________ 姓名:___________ 班级:___________
计算题
1. 求比值。
【答案】25;
【分析】求比值直接用比的前项÷后项即可,求比值的结果是一个数,据此求比值。
【详解】
2. 化简比。
【答案】6∶7;3∶25
【分析】化简比要依据比的基本性质,即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0 除外),比值不变。对于 ∶ ,需要先将两个分数通分,找到分母的最小公倍数,化为同分母分数再进行比的化简;对于 0.24 ∶ 2 ,先把 0.24 化为分数,再进行化简。据此解答。
【详解】∶,分母4和8的最小公倍数是8,所以∶=∶=6∶7。
0.24∶2 ,0.24 =,∶2=×25∶2×25=6∶50=3∶25。
3. 化简比。
0.8∶0.16
【答案】5∶1;6∶7;35∶12
【分析】根据比的基本性质,比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变。据此进行计算即可。
【详解】0.8∶0.16
=(0.8×100)∶(0.16×100)
=80∶16
=(80÷16)∶(16÷16)
=5∶1
=()∶()
=30∶35
=(30÷5)∶(35÷5)
=6∶7
=()∶(0.6×4)
=7∶2.4
=(7×10)∶(2.4×10)
=70∶24
=(70÷2)∶(24÷2)
=35∶12
4. 求比值。
40∶12 0.25∶0.55 ∶
【答案】;;6
【分析】用比的前项除以比的后项所得的商,叫做比值。
求比值的结果是一个数值,可以是整数、小数或最简分数。
【详解】(1)40∶12
=40÷12
=
(2)0.25∶0.55
=0.25÷0.55
=
(3)∶
=÷
=×
=6
5. 化简下列比。
36∶24 0.8∶0.12 45分∶1.5时
【答案】3∶2;4∶1;20∶3;1∶2
【分析】根据比的基本性质,比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变,据此化简比即可。
【详解】36∶24
=(36÷12)∶(24÷12)
=3∶2
=(1.5×8)∶()
=12∶3
=(12÷3)∶(3÷3)
=4∶1
0.8∶0.12
=(0.8×100)∶(0.12×100)
=80∶12
=(80÷4)∶(12÷4)
=20∶3
45分∶1.5时
=45分∶90分
=(45÷45)∶(90÷45)
=1∶2
6. 化简下面各比并求比值。
125∶1000 ∶ 0.6∶
【答案】1∶8,0.125;6∶1,6;4∶1,4
【分析】根据比的基本性质,即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变,进而把比化成最简比,再用比的前项除以后项,所得的商即为比值。
【详解】由分析可得:
125∶1000
=(125÷125)∶(1000÷125)
=1∶8
1∶8=1÷8=0.125
∶
=(×9)∶(×9)
=6∶1
6∶1=6÷1=6
0.6∶
=(0.6×20)∶(×20)
=12∶3
=(12÷3)∶(3÷3)
=4∶1
4∶1=4÷1=4
7. 化简。
0.18∶0.4 6∶ ∶
【答案】9∶20;16∶1;4∶5
【分析】根据比的基本性质,比的前项和后项同时乘或除以同一个不是0的数,比值不变。据此解答。
【详解】0.18∶0.4
=(0.18×100)∶(0.4×100)
=18∶4
=(18÷2)∶(40÷2)
=9∶20
6∶
=(6×8)∶(×8)
=48∶3
=(48÷3)∶(3÷3)
=16∶1
∶
=(×6)∶(×6)
=4∶5
8. 化简比。
40分∶2小时
【答案】2∶7;1∶3
【分析】化简比是把两个数的比根据比的基本性质化成最简单的整数比,把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数,变成整数比,再进行化简;单位名称不同的两个数化简:先换算成相同的单位,再化简。
【详解】
=
=
=
=
40分∶2小时
=40分∶120分
=40∶120
=(40÷40)∶(120÷40)
=1∶3
9. 化简比。
15平方分米∶2.5平方米
【答案】28∶15;5∶6;3∶50
【分析】根据比的基本性质,即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变,进而把比化成最简比。
【详解】(1)∶
=(×40)∶(×40)
=28∶15
(2)∶2.1
=(×)∶(×)
=5∶6
(3)15平方分米∶2.5平方米
=15平方分米∶250平方分米
=(15÷5)∶(250÷5)
=3∶50
10. 求比值。
1.5米∶5厘米
【答案】3;;30
【分析】用比的前项除以后项,所得的商即为比值。
【详解】75%∶25%
=75%÷25%
=3
0.7∶
=÷
=×
=
1.5米∶5厘米
=150厘米∶5厘米
=150÷5
=30
11. 化简下面各比。
(1)32∶24 (2)0.16∶1.2 (3)21∶54 (4)0.8∶
【答案】(1)4∶3;(2)2∶15;(3)7∶18;(4)6∶5
【分析】根据比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数,比值不变,据此解答。
【详解】(1)32∶24
=(32÷8)∶(24÷6)
=4∶3
(2)0.16∶1.2
=(0.16×100)∶(1.2×100)
=16∶120
=(16÷8)∶(120÷8)
=2∶15
(3)21∶54
=(21÷3)∶(54÷3)
=7∶18
(4)0.8∶
=(0.8×3)∶(×3)
=2.4∶2
=(2.4×10)∶(2×10)
=24∶20
=(24÷4)∶(20÷4)
=6∶5
12. 把下面各比化成最简单的整数比。
【答案】8∶3;13∶3;25∶24
【分析】根据比的基本性质,即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外)比值不变,进而把比化成最简比。
【详解】(1)
=(32÷4)∶(12÷4)
=8∶3
(2)
=(0.65÷0.05)∶(0.15÷0.05)
=13∶3
(3)
=(×30)∶(×30)
=25∶24
13. 化简。
(1)5.6∶7 (2)5∶ (3)∶
【答案】(1)4∶5;(2)9∶1;(3)3∶4
【分析】比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变,依据比的基本性质化简比。
【详解】(1)5.6∶7
=(5.6×10÷7)∶(7×10÷7)
=8∶10
=4∶5
(2)5∶
=(5×9)∶(×9)
=45∶5
=9∶1
(3)
=(×21)∶(×21)
=12∶16
=3∶4
14. 将下列各比化成最简整数比。
15∶18= 0.6∶= 3.4∶5.1=
【答案】5∶6;3∶2;2∶3
【分析】根据比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数,比值不变,据此解答。
【详解】15∶18
=(15÷3)∶(18÷3)
=5∶6
0.6∶
=0.6∶0.4
=(0.6×10)∶(0.4×10)
=6∶4
=(6÷2)∶(4÷2)
=3∶2
3.4∶5.1
=(3.4×10)∶(5.1×10)
=34∶51
=(34÷17)∶(51÷17)
=2∶3
15. 化简比并求比值。
3吨:750千克
【答案】12∶1;12;24∶25;;4∶1;4
【分析】根据比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数,比值不变,据此化简,再用比的前项除以比的后项,即可求出比值;注意单位名数要统一。
【详解】3∶
=(3×4)∶(×4)
=12∶1
12∶1
=12÷1
=12
∶
=(×40)∶(×40)
=24∶25
24∶25
=24÷25
=
3吨∶750千克
3吨=3000千克
3000∶750
=(3000÷750)∶(750÷750)
=4∶1
4∶1
=4÷1
=4
16. 按要求计算,求比值。
时∶12分
【答案】2;
【分析】根据比的基本性质,即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外)比值不变,进而把比化成最简比;用比的前项除以后项,所得的商即为比值。
【详解】(1)时∶12分
=24分∶12分
=2∶1
2∶1
=2÷1
=2
(2)0.75∶
= 0.75÷
=×
=
17. 按要求计算,化简比。
75厘米∶0.6米
【答案】8∶9;5∶4
【分析】根据比的基本性质,即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外)比值不变,进而把比化成最简比;再根据求比值的方法,就用最简比的前项除以后项即得比值。
【详解】
=×12∶×12
=8∶9
0.6米=60厘米
75厘米∶60厘米
=(75÷15)∶(60÷15)
=5∶4
18. 化简比。
【答案】3∶20;5∶6
【分析】根据比的性质:比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)比值不变,据此即可化简。
【详解】0.75∶5
=(0.75×4)∶(5×4)
=3∶20
=(×15)∶(×15)
=10∶12
=(10÷2)∶(12÷2)
=5∶6
19. 求比值。
【答案】;
【分析】用比的前项除以比的后项,即可求出比值。
【详解】24∶32
=24÷32
=
∶
=÷
=×2
=
20. 化简比。
∶7.2
25∶ 1.2米∶200厘米
【答案】10∶81;4∶5
125∶1;3∶5
【分析】根据比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数比值不变,据此化简,单位名数要统一。
【详解】∶7.2
=(×9)∶(7.2×9)
=8∶64.8
=(8×10)∶(64.8×10)
=80∶648
=(80÷8)∶(648÷8)
=10∶81
∶
=(×6)∶(×6)
=4∶5
25∶
=(25×5)∶(×5)
=125∶1
1.2米∶200厘米
1.2米=120厘米
120∶200
=(120÷40)∶(200÷40)
=3∶5
21. 化简比,并求比值。
3∶0.5
【答案】25∶3,;6∶1,6;1∶5,
【分析】利用比的基本性质化简比,比的前项除以比的后项求比值,由此方法计算得出即可,单位不统一的要先同一单位。
【详解】(1)=×30∶×30=25∶3
比值是:====;
(2)3∶0.5=×2∶0.5×2=6∶1
比值是:3∶0.5=3÷0.5=6;
(3)=0.25×4∶1.25×4=1∶5
比值是:==
22. 求比值。
0.2∶0.4 18∶24 ∶
【答案】0.5;0.75;
【分析】根据比值的求法:用比的前项÷比的后项,得到的结果即是比值。
【详解】0.2∶0.4
=0.2÷0.4
=0.5
18∶24
=18÷24
=0.75
∶
=÷
=×
=
23. 先化简比,再求比值。
51∶17 ∶0.25 1.6∶2.4
【答案】3∶1,3;
16∶9,;
2∶3,
【分析】根据比的性质:比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)比值不变,据此即可化简;求比值的方法:用比的前项除以比的后项得到的结果即是比值。
【详解】51∶17
=(51÷17)∶(17÷17)
=3∶1
比值:3∶1=3÷1=3
∶0.25
=(×36)∶(0.25×36)
=16∶9
比值:16∶9=16÷9=
1.6∶2.4
=(1.6÷0.8)∶(2.4÷0.8)
=2∶3
比值:2∶3=2÷3=
24. 化简比。
2.4∶56 ∶
【答案】3∶70;9∶19
【分析】根据比的基本性质作答,即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数(0除外)比值不变。
【详解】(1)2.4∶56
=(2.4÷0.8)∶(56÷0.8)
=3∶70
(2)∶
=(×21)∶(×21)
=9∶19
25. 化简比。
【答案】7∶3;14∶25;1∶60
【分析】根据比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数,比值不变,据此解答。
【详解】63∶27
=(63÷9)∶(27÷9)
=7∶3
∶
=(×35)∶(×35)
=14∶25
0.07∶4.2
=(0.07×100)∶(4.2×100)
=7∶420
=(7÷7)∶(420÷7)
=1∶60
26. 解方程。
1-40%x=0.7
【答案】x=3;
【分析】(1)根据比与除法的关系,把原方程化为,再根据等式的性质,在方程两边同时乘x,再同时除以即可;
(2)根据等式的性质,在方程两边同时加上40%x,再同时减去0.7,最后再同时除以40%即可。
【详解】
解:
1-40%x=0.7
解:1-40%x+40%x=0.7+40%x
0.7+40%x=1
0.7+40%x-0.7=1-0.7
40%x=0.3
40%x÷40%=0.3÷40%
27. 求未知数的值。
【答案】;x=0.34
【分析】(1)根据等式的基本性质,等号的左右两边同时乘,即可解答;
(2)根据等式的基本性质,等号的左右两边同时减去1.2,再除以10,即可解答。
【详解】
解:
解:10x=3.4
x=0.34
28. 解方程。
75%x=150 30+120x=45
∶x=50 x+x=44
【答案】x=200;x=0.125;
x=;x=40
【分析】根据等式的性质2,方程的两边同时除以75%即可;
根据等式的性质1,方程的两边同时减去30,再根据等式的性质2,方程的两边同时除以120即可;
原式化为50x=,再根据等式的性质2,方程的两边同时除以50即可;
化简方程为(+)x=44,再根据等式的性质2,方程的两边同时除以(+)即可。
【详解】75%x=150
解:75%x÷75%=150÷75%
x=200
30+120x=45
解:30+120x-30=45-30
120x=15
120x÷120=15÷120
x=0.125
∶x=50
解:50x=
50x÷50=÷50
x=
x+x=44
解:(+)x=44
x÷=44÷
x=44×
x=40
29. 解方程。
【答案】;;
【分析】(1)根据等式的性质,方程的两边先同时加上2.2,再同时乘,解方程即可;
(2)把原方程化简为:,根据等式的性质,方程的两边同时除以2,解方程即可;
(3)把原方程化简为:,根据等式的性质,方程的两边同时除以2.3,解方程即可;
【详解】
解:
解:
解:
30. 解方程。
x∶40 50%x-2.4×5=8 x-60%x=160
【答案】x=32;x=40;x=400
【分析】x∶=40,根据除法与比的关系,原式化为:x÷=40,再根据等式的性质2,方程两边同时乘即可;
50%x-2.4×5=8,先计算出2.4×5的积,再根据等式的性质1,方程两边同时加上2.4×5的积,再根据等式的性质2,方程两边同时除以50%即可;
x-60%x=160,先化简方程左边含有x的算式,即求出1-60%的差,再根据等式的性质2,方程两边同时除以1-60%的差即可。
【详解】x∶=40
解:x÷=40
x÷×=40×
x=32
50%x-2.4×5=8
解:50%x-12=8
50%x-12+12=8+12
50%x=20
50%x÷50%=20÷50%
x=40
x-60%x=160
解:40%x=160
40%x÷40%=160÷40%
x=400
31. 解方程。
160-25%x=100 20%x+1.8×4=8 0.2∶X=×30%
【答案】240;4;5
【分析】根据等式的性质方程两边同时加上25%x,再同时减去100,然后再同时除以25%即可;
先对方程的左边进行化简,根据等式的性质方程两边同时减去7.2,再同时除以20%即可;
根据比和除法的关系将0.2∶x化成除式为0.2÷x,同时将先对方程的右边进行化简,方程变为0.2÷x=0.04,再根据根据等式的性质方程两边同时乘x,然后同时除以0.04即可。
【详解】160-25%x=100
解:160-25%x+25%x=100+25%x
160-100=100+25%x-100
25%x=60
25%x÷25%=60÷25%
x=240
20%x+1.8×4=8
解:20%x+7.2=8
20%x+7.2-7.2=8-7.2
20%x=0.8
20%x÷20%=0.8÷20%
x=4
0.2∶X=×30%
解:0.2÷x=0.04
0.2÷x×x=0.04×x
0.04x=0.2
0.04x÷0.04=0.2÷0.04
x=5
32. 解方程。
【答案】;;
【分析】合并方程左边同类项,再根据等式的性质2,方程的两边同时除以(1+25%)即可;
根据等式的性质1,方程的两边同时加上70%x,再同时减去5.6,移项,最后根据等式的性质2,方程的两边同时除以70%即可;
原式化为÷x=,再根据等式的性质2,方程的两边同时乘x,移项后,再同时除以即可。
【详解】
解:(1+25%)x=2.8
x=2.8÷1.25
x=2.24
解:70%x=19.6-5.6
x=14÷0.7
x=20
解:x=
x=÷
x=3
33. 解方程。
【答案】;;
【分析】根据比的后项=前项÷比值,计算即可;把百分数化成分数,计算等号左边的算式,再方程两边同时除以 ;方程两边同时除以 ,再同时加6。
【详解】
解:= ÷
解: =42
解: =30
34. 解方程。
【答案】;;
【分析】等式的性质1:等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。
等式的性质2:等式两边乘或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等。
(1)先化简方程得到,等号左右两边同时除以,即可解出方程;
(2)方程等号左右两边先同时乘,然后等号左右两边同时除以,即可解出方程;
(3)根据比与除法的关系,把方程改写成,方程等号左右两边先同时乘,然后等号左右两边同时除以,解出方程即可。
【详解】(1)
解:
(2)
解:
(3)
解:
35. 解方程。
12%x+20%x=9.6
【答案】;30;1.2
【详解】略
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一、核心素养目标:
1、能够理解比的概念,掌握比的基本性质,并能正确地运用比来描述两个量之间的关系。
2、培养学生的逻辑推理能力,通过比的性质解决实际问题。
3、增强学生运用数学语言准确表达数学思想的能力。
4、通过比的应用,提高学生解决实际问题的能力,培养学生的数学应用意识。
二、学习目标:
1、学生能够理解比的含义,掌握比与分数、除法的关系,学会化简比和求比值。
2、通过实例引导学生探究比的性质,培养学生通过观察、比较、归纳等方法自主学习的能力。
3、激发学生学习数学的兴趣,培养学生的合作精神和探究精神,增强学生解决实际问题的信心。
1、解答这部分题目时可以运用分数的意义进行解答。如果阴影部分是大圆面积的 ,即大圆面积是8份。
2、比、分数、除法的区别:除法是一种运算,分数是一种数,比表示两个数之间的关系。
化简比的方法:
①比的前后项都是整数,前后项同时除以它们的最大公因数;
②比的前后项都是分数,前后项同时乘分母的最小公倍数,再按方法①进行化简;
③比的前后项都是小数,先同时乘10,100,…化成整数,再按方法①进行化简。
1、按比分配先求出总量一共平均分成了几份,再用相应的分数来表示各部分量,最后用分数乘法来解答。
2、解答比的应用问题的一般方法:
①把比看成份数来解答;
②把比转化成求一个数的几分之几来解答。
【典例精讲1】(23-24六年级上·陕西西安·期末)求比值。
18∶45 0.72∶1.2 ∶
【答案】0.4;0.6;
【分析】求比值直接用比的前项÷后项即可,求比值的结果是一个数,据此求比值。
【详解】18∶45=18÷45=0.4
0.72∶1.2=0.72÷1.2=0.6
∶=÷==×=
【典例精讲2】(23-24六年级上·陕西西安·期末)化简下列各比。
0.6∶0.2 ∶2.4 1.2时∶45分
【答案】3∶1;1∶8;8∶5
【分析】比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
如果比的前项和后项的单位不统一,先根据进率换算单位,再利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。
【详解】(1)0.6∶0.2
=(0.6÷0.2)∶(0.2÷0.2)
=3∶1
(2)∶2.4
=(×10)∶(2.4×10)
=3∶24
=(3÷3)∶(24÷3)
=1∶8
(3)1.2时∶45分
=(1.2×60)分∶45分
=72∶45
=(72÷9)∶(45÷9)
=8∶5
学校:___________ 姓名:___________ 班级:___________
计算题
1. 求比值。
2. 化简比。
3. 化简比。
0.8∶0.16
4. 求比值。
40∶12 0.25∶0.55 ∶
5. 化简下列比。
36∶24 0.8∶0.12 45分∶1.5时
6. 化简下面各比并求比值。
125∶1000 ∶ 0.6∶
7. 化简。
0.18∶0.4 6∶ ∶
8. 化简比。
40分∶2小时
9. 化简比。
15平方分米∶2.5平方米
10. 求比值。
1.5米∶5厘米
11. 化简下面各比。
(1)32∶24 (2)0.16∶1.2 (3)21∶54 (4)0.8∶
12. 把下面各比化成最简单的整数比。
13. 化简。
(1)5.6∶7 (2)5∶ (3)∶
14. 将下列各比化成最简整数比。
15∶18= 0.6∶= 3.4∶5.1=
15. 化简比并求比值。
3吨:750千克
16. 按要求计算,求比值。
时∶12分
17. 按要求计算,化简比。
75厘米∶0.6米
18. 化简比。
19. 求比值。
20. 化简比。
∶7.2
25∶ 1.2米∶200厘米
21. 化简比,并求比值。
3∶0.5
22. 求比值。
0.2∶0.4 18∶24 ∶
23. 先化简比,再求比值。
51∶17 ∶0.25 1.6∶2.4
24. 化简比。
2.4∶56 ∶
25. 化简比。
26. 解方程。
1-40%x=0.7
27. 求未知数的值。
28. 解方程。
75%x=150 30+120x=45
∶x=50 x+x=44
29. 解方程。
30. 解方程。
x∶40 50%x-2.4×5=8 x-60%x=160
31. 解方程。
160-25%x=100 20%x+1.8×4=8 0.2∶X=×30%
32. 解方程。
33. 解方程。
34. 解方程。
35. 解方程。
12%x+20%x=9.6
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