江苏省扬州市江都区大桥高级中学2015-2016学年高一下学期第一次月考数学试题（答案不全）

2015—2016学年度第二学期学情调研（一）
高一数学
命题人：唐鹏 审核人： 2016.3.26
一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1、求值= ▲ ．
2、在中，若，则 ▲ ．
3、在中，，，，则的面积为 ▲ ．
4、,,则= ▲ ．
5、若sin，则 ▲ ．
6、在等差数列中，若，，则＝ ▲ ．
7、已知等差数列的前项和为，若，，则公差等于 ▲ ．
8、在等比数列中，且，则= ▲ ．
9、若数列满足，则 ▲ ．
10、已知，，则＝ ▲ ．
11、已知等比数列中，公比，且，，则＝ ▲ ．
12、如果满足，，的有两个，那么实数的取值范围
是 ▲ ．
13、在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：
①若，则；
②若，则为等边三角形；
③必存在，使成立；
④若，则必有两解．
其中，结论正确的编号为 ▲ （写出所有正确结论的编号）．
14、已知等比数列中，，在与两项之间依次插入个正整数，得到数列，即：．则数列的前项之和 ▲ (用数字作答)．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
计算⑴ ⑵
16、（本题满分14分）
设函数,其中向量，
(1)求的最小正周期；(2)在中，分别是角的对边，求的值。
17、（本题满分15分）在中，角的对边分别为.
(1)若，求的值； (2)若，，求的值．
18、（本题满分15分） 如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°.若此舰不改变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？
19、（本题满分16分）已知是递增的等差数列，满足
(1)求数列的通项公式和前项和公式；
(2)设数列对均有成立，求数列的通项公式．
20、（本题满分16分）设数列的前n项和为，已知，，数列是公差为的等差数列，
(1)求的值； (2)求数列的通项公式；
备用和参考答案
二、解答题：
15、求值：⑴由tan(70°－10°)＝＝，
故tan70°－tan10°＝(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：
＝＝＝.
⑵·cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°.
解：原式＝＋－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝－2cos40°
＝＝2.
16、
17、解：(1)因为cos ＝sin A，
即cos Acos－sin Asin＝sin A，
所以cos A＝sin A.
显然cos A≠0，否则由cos A＝0得sin A＝0，与sin2 A＋cos2 A＝1矛盾，所以tan A＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.……………………………………………… 7分
(2)因为cos A＝，4b＝c，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝15b2，所以a＝b.
因为cos A＝，所以sin A＝＝.
由正弦定理得＝，所以sin B＝. ………………………………………… 14分
18、
19、已知是递增的等差数列，满足
(1)求数列的通项公式和前项和公式；
(2)设数列对均有成立，求数列的通项公式．
解：(1)∵a1＋a5＝a2＋a4＝4，再由a2·a4＝3，
可解得a2＝1，a4＝3或a2＝3，a4＝1(舍去)．
∴d＝＝1，∴an＝1＋1·(n－2)＝n－1，
Sn＝(a2＋an－1)＝.
(2)由＋＋…＋＝an＋1得，
当n≥2时，＋＋…＋＝an，
两式相减，得＝an＋1－an＝1(n≥2)，
∴bn＝3n(n≥2)，
当n＝1时，＝a2，∵a2＝1，∴b1＝3，也适合上式．
∴bn＝3n.
20、设数列的前n项和为，已知，，数列是公差为的等差数列，
(1)求的值； (2)求数列的通项公式；
(3)求证：
解：(1)因为a1＝a2＝1，所以b1＝S1＋3a1＝4，b2＝2S2＋4a2＝8，
所以d＝b2－b1＝4. ……… 4分
(2)因为数列{bn}是等差数列，所以bn＝4n，
所以nSn＋(n＋2)an＝4n，即
Sn＋an＝4. ①
当n≥2时，Sn－1＋an－1＝4. ②
由①－②得(Sn－Sn－1)＋an－an－1＝0.
所以an＋an＝an－1，即＝·.
则＝·，＝·，…，＝·.
以上各式两边分别相乘，得＝·n.
因为a1＝1，所以an＝. …………………… 10分
(3)证明：因为Sn＋an＝4，an＞0，Sn＞0，
所以 ≤＝2.
则0＜anSn≤4·.所以(a1a2·…·an)·(S1S2·…·Sn)≤4n·.③
因为n＝1时，Sn≠an，所以③式等号取不到．
则(a1a2·…·an)·(S1S2·…·Sn)＜. …………………… 16分
7、在等差数列中，若，，则＝________.
12、已知数列中，，前项和，则的通项公式
为 ．
13、已知函数的图像过点，令，.记数列的前项和为，则＝________.
16、设数列是一个公差为的等差数列，已知它的前10项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和 ．
解：（1）设数列{an}的前项和为，
∵S10 = 110，∴．
则．① ……………… 2分
∵a1，a2，a4 成等比数列，
∴，即．∴．
∵d 0，∴a1 = d．② ……………… 5分
由①，②解得，∴． ……………… 7分
（2）
∵=，
∴． ……………… 10分
∴ ……… 12分
． ……………… 14分
备用：(1)已知数列{an}的首项a1＝14，前n项和Sn＝an2＋bn，等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n＋1＋a，求Sn的最大值．
(2)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列的通项公式．
[解]　(1)等比数列{bn}的前n项和Tn＝2n＋1＋a＝2×2n＋a，
∴a＝－2，Sn＝－2n2＋bn.
又a1＝14，∴－2＋b＝14，b＝16，
∴Sn＝－2n2＋16n的对称轴为n＝4，
∴n＝4时，Sn的最大值是32.
(2)∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
∴a4＝5，a2＋a6＝10，a2a6＝9，
解得或
当时，d＝2，an＝2n－3，
当时，d＝－2，an＝13－2n.
故an＝2n－3或an＝13－2n.
8. 如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°.若此舰不改变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？
解：
过点B作BD⊥AE交AE于D，
由已知，AC＝8，∠ABD＝75°，∠CBD＝60°，
在Rt△ABD中，
AD＝BD·tan∠ABD＝BD·tan 75°，
在Rt△CBD中，
CD＝BD·tan∠CBD＝BD·tan 60°，
AD－CD＝BD(tan 75°－tan 60°)＝AC＝8，
BD＝＝4＞3.8.
因此该军舰没有触礁的危险．