课题：基本不等式
授课教师：林芬芳
授课班级：高二（3）班
授课时间：2015年11月5日第10周星期四第3节
[三维目标]
知识与技能
应用数形结合的思想理解基本不等式，理解掌握基本不等式求最值的三个条件，会用基本不等式解决简单的最值问题。
2．过程与方法：
按照创设情景，提出问题→归纳证明→ 几何解释→ 应用（实际问题的解决，最值的求法）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，通过反例辨析深化认知。
3．情感、态度与价值观
通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。
[教学重、难点]
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题。
难点：充分领会利用基本不等式求最值的条件。
[教学过程]
一、创设情境，导入新课
该图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，体现了中国古代数学的成就，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
探究1：
问1：这会标中含有怎样的几何图形？
问2：观察变化的弦图，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式，特别强调等号成立的条件。
问3：如何证明这个不等式？学生口答，幻灯片展示
（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）
小结：重要不等式：一般的，如果，则当且仅当时，等号成立.
文字叙述：两个数的平方和不小于它们乘积的两倍
探究2：
问1：当，时，在不等式中，以分别代替，得到什么？
学生口答，教师强调等号成立条件归纳基本不等式
小结：基本不等式：当，， 当且仅当时，等号成立.
称为的算术平均数，称为的几何平均数.
所以基本不等式的代数意义是：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
问2、联想数列的知识，基本不等式表达了什么意思？
两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
问3、你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗？
如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．
引导学生发现：表示圆的半经，表示半弦长CD,
得到不等关系：
教师强调等号成立的条件，得出结论
基本不等式的几何意义是：半径长不小于半弦长
利用表格综合比较两个公式
?
?
适用范围
?
?，
文字叙述
?两个数的平方和不小于它们乘积的两倍
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
“=”成立条件
?
?
问4、公式结构：体现了_____与______这两种运算结构间一种不等关系，特别情况下存在_______关系
二，基本不等式的重要应用：求最值
例1 ：由实际生活背景引入应用基本不等式求最值
（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
学生阅读课本的解答，思考归纳本题具备什么特点可以用基本不等式解决最值问题
小结：当x，y是正实数
1．如果积为定值时，则当时，和有最______值____
2. 如果和为定值时，则当时，积有最______值____.
应用练习1、根据运算结构，认识应用基本不等式求最值的典型结构，巩固新知。
⑴时，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？
变式: 下面说法正确是哪几个？
①， 的最小值是4
②对于
③对于，，
④的最小值是4
设计意图：根据反例，引导学生注意并归纳应用基本不等式求最值的3个条件，
教学形式：给学生思考，同桌讨论，并提问
小结：在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一___二____三_______.
应用练习1、根据运算结构，认识应用基本不等式求最值的典型结构，巩固新知。
⑵，，且求的最大值
应用练习2：在原始结构不符合基本不等式的条件时学会基本的构造，配凑创设条件
⑴、若，求的最大值.
推广： 的值域是___________________
⑵求(x>5)的最小值.
提高练习：已知，满足，求的最小值.
本课小节：
1、数形结合理解两个不等式
2、基本不等式应用的结构特点和三个条件
（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用条件：一正，二定，三相等
3、数形结合的思想方法，寓数于形，赋形于数，相得溢彰。
作业布置：优化设计P73，例1，例2及变式
课件16张PPT。§3.4基本不等式晋江一中 林芬芳2002年第24届国际数学家大会
在北京举行 会标的设计源中国
古代三国时期数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。
它既标志着中国古代的
数学成就，又象一只转
动的风车，欢迎来自世
界各地的数学精英们。 欣 赏探究1思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？思考：这会标中含有怎样的几何图形？ 你能给出不等式 的证明吗？证明：（作差法） 结论探究2思考:（当且仅当a=b时，等号成立）基本不等式所以基本不等式又叫均值不等式你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.ADBEOCab思考:CD=______a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈Ra>0,b>0填表比较： 体现了 ____与_____这两种运算结构间一种不等关系，特别情况下存在 _________ 关系和积相等公式结构： 例1 (1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？AD例1 (2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 应用发现运算结构，应用不等式 深化认知小结 应用发现运算结构，应用不等式小结1、本节课主要内容？你会了吗？四、小结2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。应用条件：一正，二定，三相等 更进一步构造转化，创设条件应用不等式小结Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO
