2024-2025学年浙江省杭州市高三（上）诊断数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市高三（上）诊断数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，，若，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知奇函数在上是减函数，则可以是( )
A. B. C. D.
6.已知是等比数列，且，，是数列的前项和，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知的三个顶点在半径为的球的球面上，，，，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调，在上存在极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知中，角，，所对的边分别是，，且，，，则下列结论正确的是( )
A. 是锐角三角形 B. C. 的面积为 D. 的中线长为
10.已知定义域为的函数满足对于任意，，都有，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称 D.
11.已知直三棱柱中，，，与平面和平面所成角均为，则下列结论正确的是( )
A. 直线与平面所成角为 B. 直线与平面所成角为
C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是等差数列的前项和，且，，则 ______．
13.已知函数的图象经过点，则不等式的解集为______．
14.如图，扇形的半径为，圆心角，是扇形弧上的动点，
矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，
求；
若是奇函数，当时，求的值域．
16.本小题分
已知单调递增的等比数列满足，．
求的通项公式；
设，是数列的前项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，，设锐角三个角，，的对边分别为，，．
若，，，求，的值；
将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若，，，求的取值范围．
18.本小题分
如图，三棱锥中，，，，为中点，点满足．
证明：平面；
求二面角的大小；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，令，过点作曲线的切线，交轴于点，再过作曲线的切线，交轴于点，，以此类推，得到数列
证明：数列为等差数列；
若数列的前项和为，求实数的值；
当时，若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：由题意得，，
；
由题意得的定义域为，且是奇函数，
，，，经检验合题意，
在上单调递增，，，
当时，的值域为．
16.解：设单调递增的等比数列的公比为，
由，，可得，，
解得或，舍去，
；
由可得，
，
，
上面两式相减可得，
整理得，
所以对于任意的，不等式恒成立，
即不等式对于任意的恒成立，
，解得，
实数的取值范围是．
17.解：由题意得，
，
，，
，由正弦定理可得，
，由余弦定理得，
，；
由题意得，
，
，，
，
而，故，，，
的取值范围为．
18.解：证明：连接，
，，
是正三角形，得，
同理可得，
，又，，
，，
，
，结合，
得，
，
，
，，在平面内，
平面；
由得，，，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
即，取，得，
，
由题意知二面角为钝角，故二面角的大小为；
假设存在点，设，则，
，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
或舍去，
．
19.解：证明：根据已知得曲线在点处的切线方程为，
所以，
设，所以，那么，所以，
因此是以为公差，为首项的等差数列；
根据第一问已知可得，
因此，
因此是以为公比，为首项的等比数列，
其前项的和为，
因此实数；
原不等式等价于在上恒成立，
设函数，，则导函数，
设函数，，所以导函数，
因此函数在上递减，因此，
设，所以；设导函数，所以，
因此函数在上递增，在上递减，因此，
因此实数的取值范围为．
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