2024-2025学年天津一中高三（上）统练数学试卷9（含答案）

2024-2025学年天津一中高三（上）统练数学试卷9
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.对于任意实数，，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则曲线在点处切线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.设，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为( )
A. B. C. D.
9.某牧场今年年初牛的存栏数为头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出头牛若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为参考数据：，，，( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知为虚数单位，则 ______．
11.设，那么 ______．
12.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ______．
13.已知，，则的最小值为______．
14.在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为______；若，则的最大值为______．
15.已知函数若，则函数的零点为______；若函数的最小值为，则实数的值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，已知．
求角的大小；
设，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
设函数．
Ⅰ求函数的最小正周期；
Ⅱ求函数的单调递增区间及对称轴；
Ⅲ在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围．
18.本小题分
已知等比数列的公比，，是，的等差中项等差数列满足，．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ，求数列的前项和；
Ⅲ将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ当时，求函数的最小值，并证明；
Ⅲ当时，若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围．
20.本小题分
给定数列，若对任意，且，是中的项，则称为“数列”；若对任意，且，是中的项，则称为“数列”．
Ⅰ设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
Ⅱ设数列既是等比数列又是“数列”，且，，求公比的所有可能值；
Ⅲ设等差数列的前项和为，对任意，是数列中的项，求证：数列是“数列”．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15. 或
16.解：，即，
由正弦定理，可得，即，
，
，结合，化简得，
又，．
，，，可得舍负；
根据正弦定理，得，
根据，可知为锐角，舍负，
可得，，
．
17.解：Ⅰ
，
所以函数的最小正周期为；
Ⅱ令，，
可得，，
所以函数的单调递增区间是；
令，，可得，，
所以函数的对称轴为，；
Ⅲ锐角中，，
所以，解得，
所以，
故，
所以的取值范围是．
18.解：Ⅰ已知等比数列的公比，，是，的等差中项，
则，
因为，
解得：，，
则，
又数列是等差数列，且，，
设其公差为，
则，
解得，
所以；
Ⅱ数列的前项和记为，
则，
因为，
所以，
，
则，
两式相减有，
所以；
Ⅲ因为，，
设新数列为，
因为数列与数列都是递增数列，且，，
又因为，
所以数列的前项由中的前项和中的前项构成，
所以
．
19.解：Ⅰ易知的定义域为．
可得
当时，恒成立，单调递减，
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
Ⅱ证明：当时，，
由Ⅰ可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，函数的最小值为，
因为，
即，
当时，，
即，
此时
令，
可得，，
所以，
则当时，，
即；
Ⅲ若关于的不等式在区间上有解，
即在上有解，
因为，由Ⅰ知当时，即，
令，
此时，
则在上有解，
令，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，极小值，
又，，
所以存在，使得，
所以当或时，，当时，，
此时需满足，
即时，满足题意．
故的取值范围为．
20.解：Ⅰ因为，
当时，，
当时，也成立，
所以，
对任意，且，，
所以是“数列”；
Ⅱ因为，，数列是等比数列，
所以，且，
由已知得也为数列中的项，
令，得，
即，
即得，
所以，
因为且，
故的所有可能值为，，．
Ⅲ证明：设数列的公差为，所以存在，对任意，，
即，
当时，则，故，此时数列为“数列”；
当时，，
取，则，所以，，
当时，均为正整数，符合题意，
当时，均为正整数，符合题意，
所以，，
设，，，即，
所以任意，且，，
显然，所以为数列中的项，
所以是“数列”．
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