2024-2025学年四川省名校联考高三(上)第一次诊断数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合或,,则( )
A. 或 B.
C. 或 D.
2.在复平面内,复数对应的点位于第二象限,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知,设甲:;乙:,则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知平面向量,,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在年巴黎奥运会上,我国网球选手郑钦文历经场比赛,勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军,书写了中国网球新的历史某学校有名学生,一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查,将数据分组整理后,列表如下:
观看场次
观看人数占调查
人数的百分比
从表中数据可以得出的正确结论为( )
A. 表中的数值为
B. 观看场次不超过场的学生的比例为
C. 估计该校观看场次不超过场的学生约为人
D. 估计该校观看场次不低于场的学生约为人
6.已知的内角,,的对边分别为,,,且,则( )
A. B. C. D.
7.设双曲线的离心率为,实轴长为,则双曲线上任意一点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数,且为偶函数,则满足不等式的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知函数,则( )
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象可由的图象向左平移个单位得到
10.已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线与椭圆相交于,两点,则( )
A. 以椭圆的长轴为直径的圆的方程为
B. 以为直径的圆与椭圆有且仅有个公共点
C. 以为圆心,为半径的圆与椭圆有个公共点
D. 以为直径的圆与直线:相离
11.如图,在正方体中,是线段的中点,点在棱上运动,则( )
A. 点在平面上的射影不可能是点
B. 点在平面上的射影到,两点的距离相等
C. 当点与顶点重合时,直线与平面所成角的正切值为
D. 当点与顶点重合时,点到平面的距离等于
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知,且,则 ______.
13.甲、乙、丙、丁、戊人站成两排照相,前排站人,后排站人,其中甲和乙须左右相邻,丙不站前排,则不同的站法共有______种用数字作答.
14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题,牛顿在流数法一书中,给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法,如图,在横坐标为的点处作的切线,该切线与轴的交点为;在横坐标为的点处的切线与轴的交点为;一直继续下去,得到,,,,,它们越来越逼近的零点在一定精确度下,用四舍五入法取值,当,近似值相等时,该值可作为函数的一个零点用“牛顿法”求方程的近似解,可以构造函数,若,得到该方程的近似解约为______精确到.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中,后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球,第二层有个球,第三层有个球设各层球数构成一个数列
求数列的通项公式;
设,求数列的前项和.
16.本小题分
已知某学校为提高学生课外锻炼的积极性,开展了丰富的课外活动,为了解学生对开展的课外活动的满意程度,该校随机抽取了人进行调查,整理得到如下列联表:
性别 课外活动 合计
满意 不满意
男
女
合计
根据小概率值的独立性检验,能否认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素有关联?
从这名样本学生中任选名学生,设事件“选到的学生是男生”,事件“选到的学生对课外活动满意”,比较和的大小,并解释其意义.
附:
17.本小题分
如图,在几何体中,四边形是梯形,,,与相交于点,平面,,是的中点,,.
点在上,且,证明:平面;
求二面角的余弦值.
18.本小题分
已知为抛物线:的焦点,过点的直线与抛物线相交于,两点.
证明:是常数;
过点作直线的垂线与抛物线的准线相交于点,与抛物线相交于,两点点的横坐标小于点的横坐标.
求的值;
是否存在最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
19.本小题分
已知函数.
若,求函数的极值;
若,,求实数的取值范围;
若,且,证明:.
参考答案
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15.解:由“三角垛”的最上层有个球,第二层有个球,第三层有个球,
设各层球数构成一个数列可知,,,,
,,
当时,,
上式对也成立,
所以数列的通项公式为,;
由知,,
则
.
16.解:提出零假设:该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联,
根据表中数据,得到,
所以根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,
即认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联;
依题意得,,,
,,
所以,,
则.
意义:男生对课外活动满意的概率比女生对课外活动满意的概率大;或者男生对课外活动满意的人数比女生对课外活动满意的人数多等等.
17.证明:因为平面,,所以平面,
以点为原点,,,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
因为,所以,所以,
而,所以,
由,,得,
所以向量,,共面,
又平面,平面,平面,
所以平面.
解:由知,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,则,即,
取,则,,所以,
设平面的法向量为,则,即,
取,则,,所以,
所以,,
由图知二面角为钝角,
故二面角的余弦值为.
18.解:由已知,点的坐标为,且可设直线的方程为,
联立方程组,消去,得,
因为,
所以,为方程的两个实根,且,
因为点,在抛物线上,
所以,为常数;
在题设条件下,直线,都不与坐标轴平行且,
由可知直线的方程为:,
因为抛物线的准线方程为,
代入的方程可得点的坐标为,
由可知,,,
,,
因此,,
,
即的值为;
存在最小值,
设点,的坐标分别为,,
因为点,,,均在抛物线上,
所以,,,,
由,有,即,
变形可得,
则,
同理,,
根据抛物线的定义可知,,,
,,
所以
.
由知,,
即,当且仅当时取“”,
同理,,当且仅当时取“”,
由题设,,
所以,,
所以,
,
由题意可知,,同时成立,
此时,取得最小值,
故存在最小值,最小值为.
19.解:当时,,
令,则,
当或时,当时,,
所以在上单调递增,上单调递减,上单调递增,
所以当时,取得极大值,
当时,取得极小值.
令,
则,且,,
设,则,
又令,则,
若,即时,
由于为单调递增函数,且,
所以,,
则时,,
可知即在区间上为减函数,则,
故即在区间上为减函数,则,
则在区间上为减函数,所以,不符合题意,
若,即时,
由于在区间上为增函数,可知,
则即在区间上为增函数,故,
所以即在区间上为增函数,
则,则在区间上为增函数,
所以,即时,恒成立,
所以,当时,符合条件.
综上所述,当,时,的取值范围为.
欲证,
只需证明,
由可知,当时,,即有,
进而得,其中,当且仅当时“”成立,
则,,,,
所以
,
所以.
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