人教版八年级数学上名师点拨与训练第15章分式15.1.2 分式的基本性质（含解析）
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| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨与训练第15章分式15.1.2 分式的基本性质（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-15 21:34:28 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.1.2 分式的基本性质
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．
2.理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形．
3.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键.
难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形
老师告诉你
1.约分的关键步骤----确定分式的分子、分母的公因式：
若分子和分母都是单项式，则公因式是它们系数的最大公因数和相同字母的最低次幂的积；
若分子和分母中至少有一个是一个多项式，则先分解因式，再约分。
约分的方法：
把分子和分母写成公因式与非公因式乘积的形式，约去公因式，结果保留最简分式或整式。
知识点拨
知识点1 、 分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
注意：
基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
【新知导学】
例1-1．下列分式变形从左到右一定成立的是( )
A. B. C. D.
例1-2．下列分式变形中正确的是( )
A. B. C. D.
例1-3．下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. B.
C. D.
【对应导练】
1．下列各式从左向右变形正确的是( )
A. B. C. D.
2．下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
3．利用分式基本性质变形可得,则整式_________.
知识点2 、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：
根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起起着重要的作用
例2-1．根据分式的基本性质,分式可变形为( )
A. B. C. D.
例2-2．分式可变形为( )
A. B. C. D.
3．下列各式中,与分式的值相等的是( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．分式可变形为( )
A. B. C. D.
2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3 .对于分式，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4 .若 成立，求a的取值范围.
知识点3 、分式的约分及最简分式
1.与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2.最简分式
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
注意：
约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
【新知导学】
例3-1．约分：
（1）；
（2）．
例3-2．计算： .
例3-3．约分：
（1） ；
（2） .
【对应导练】
1．下列各式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2 .化简下列分式：
（1）；（2）；（3）
3 .约分：
（1）；
（2）．
二、题型训练
1.利用分式基本性质化简
1．化简： ．
2．化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数．
（1）；
（2）．
4．已知 ，求 的值．
2.利用分式的基本性质辨析
5．嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了还是减小了？”．
嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路．
淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路．
两人的解题思路都正确．
（1）请你任选一个思路说明．
解：嘉嘉的思路：，
，
．
，
，
，
即所得分式的值增大了．
（2）当所加的这个数为时，所得分式的值 填“增大了”或“减小了”．
（3）当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由．
6．在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论：
①，②．
小刚说：“①，②两式都是对的．”
小明说：“①，②两式都是错的．”
他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？
3.分式的基本性质阅读理解题
7．材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：.
.
材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： ； ；
（2）当时.随着a的增大，分式的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
8 .阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
解决下列问题：
(1)分式是______分式(填“真”或“假”)；
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
3．下列分式是最简分式的( )
A． B． C． D．
4．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．与分式相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．关于分式 ，下列说法正确的是（ ）
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
8．将分式 约分后的结果是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
9．约分： ．
10．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
11．若 ，则 .
12．化简： ．
13．约分： ．
三、解答题（共8小题，每小题8分，共48分）
14．当 为何值时，关于 的方程 的解为负数
15．仿照例子，将分式拆分成一个整式与一个分式的和(差)的形式
⑴
⑵
解：(1)
16．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数．
(1)
(2)．
17．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “号．
(1)；
(2)；
(3)．
18．已知数x，y满足，求的值．
19．已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，满足，且点C到点A的距离为1个单位长度．
（1）根据题意，求出c的值为__________
（2）若点C在线段AB上，动点M、N两点分别同时从A、B出发，向x轴正半轴运动．M、N的运动速度分别为4个单位长度/秒、5个单位长度/秒，记点M运动的时间为t秒．当M点运动至点B时，点P才从C点出发，并以10个单位长度/秒的速度向x轴正半轴运动．在运动过程中，如果点Q为线段MN的中点．
①请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．
②当点Q到点Р的距离是点Q到点B的距离的倍时，求时间t的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.1.2 分式的基本性质
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．
2.理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形．
3.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键.
难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形
老师告诉你
1.约分的关键步骤----确定分式的分子、分母的公因式：
若分子和分母都是单项式，则公因式是它们系数的最大公因数和相同字母的最低次幂的积；
若分子和分母中至少有一个是一个多项式，则先分解因式，再约分。
约分的方法：
把分子和分母写成公因式与非公因式乘积的形式，约去公因式，结果保留最简分式或整式。
知识点拨
知识点1 、 分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
注意：
基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
【新知导学】
例1-1．下列分式变形从左到右一定成立的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、，故本选项不符合题意；
B、当时才成立，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C.
【知识点】分式的基本性质
例1-2．下列分式变形中正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、,故A不符合题意；
B、,故B不符合题意；
C、,故C符合题意；
D、,故D不符合题意；
故选：C.
【知识点】分式的基本性质
例1-3．下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：A.从左到右的变形不正确；
B.从左到右的变形不正确；
C.从左到右的变形不正确；
D.从左到右的变形正确.
故选择：D.
【知识点】分式的基本性质
【对应导练】
1．下列各式从左向右变形正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A、分子、分母都加2,分式的值改变,故A错误；
,故B正确；
,故C错误；
,故D错误.
故选：B.
【知识点】分式的基本性质
2．下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、，故A不成立.
B、，故B不成立.
C、，故C成立.
D、，故D不成立.
故选：C.
【知识点】分式的基本性质
3．利用分式基本性质变形可得,则整式_________.
答案：
解析：,
∴,
故答案为：.
【知识点】分式的基本性质
知识点2 、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：
根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起起着重要的作用
例2-1．根据分式的基本性质,分式可变形为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：,
故选：C.
【知识点】分式的基本性质
例2-2．分式可变形为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，故A正确.
故选：A.
【知识点】分式的基本性质
3．下列各式中,与分式的值相等的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析:把分式的分子,分母同时乘以得,
故选D.
【对应导练】
1．分式可变形为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.
2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
3 .对于分式，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时乘以-1，即可求解.
4 .若 成立，求a的取值范围.
【答案】a≠3.
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质
【解析】【解答】等式的左边可变为 ，从左边到右边是利用分式的基本性质，分子和分母都除以a-3，所以要保证a-3≠0，即a≠3.
【分析】本题除了考查分式的基本性质外，还注重了考查分式的值不为0的条件。
知识点3 、分式的约分及最简分式
1.与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2.最简分式
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
注意：
约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
【新知导学】
例3-1．约分：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=．
（2）解：
=
=
=．
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】（1）直接利用分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）化简得出答案；
（2）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案；
（3）公式法分解因式：①完全平方公式：；②平方差公式：.
例3-2．计算： .
【答案】解：
= .
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】进行约分即可得到结果.
例3-3．约分：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】（1）观察分子分母中的公因式是4xy3，再约分，可解答。
（2）先将分子分母分解因式，再约分即可解答。
【对应导练】
1．下列各式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式的概念
2 .化简下列分式：
（1）；（2）；（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】根据分式的基本性质，提取出分子分母的公因式，再同时约去公因式使分式化简．
【详解】解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
【点睛】本题考查分式的化简，找出公因式根据分式的性质进行约分化简是关键．
3 .约分：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）找到分子、分母的公因式，根据分式的性质约去公因式即可；
（2）先把分子、分母因式分解，根据分式的性质约去公因式即可．
【详解】（1）=．
（2）
=
=
=．
【点睛】本题考查约分，约分一定要先找到分子和分母的公因式，对于分子和分母都是多项式的分式，首先要对分子和分母分别进行分解因式．
二、题型训练
1.利用分式基本性质化简
1．化简： ．
【答案】2a
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】 ，
故答案为： 2a.
【分析】分式的约分化简，把分子分母的公因式约去。
2．化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】 根据约分的方法化简题目中的式子，即可得出答案。
3．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的基本性质
4．已知 ，求 的值．
【答案】解：分式的分子分母都除以ab，得
= = ，
∵ ﹣ =3，
∴原式= = ．
故 的值为
【知识点】分式的基本性质；分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以ab，分式的值不变，再把 ﹣ 换成﹣3计算即可．
2.利用分式的基本性质辨析
5．嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了还是减小了？”．
嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路．
淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路．
两人的解题思路都正确．
（1）请你任选一个思路说明．
解：嘉嘉的思路：，
，
．
，
，
，
即所得分式的值增大了．
（2）当所加的这个数为时，所得分式的值 填“增大了”或“减小了”．
（3）当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由．
【答案】（1）解：琪琪的思路：，
，
∵m>n>0，∴mn+m>mn+n，m(m+1)>0，
∴
即：
所以分式的值增大了。
（2）增大了
（3）解：当所加的这个数为时，所得分式的值增大了，
理由：，
，
，，
，
，
即所得分式的值增大了．
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：⑵、，
∵m>n>0，∴2n-2m<0，m(m+2)>0，
∴，
∴
∴分式的值增大了。
【分析】分式大小的比较，方法一比差法，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a方法二，利用同分母分式比较大小，同分母（分母大于零）分式，分子大时，分式也大；同分母（分母小于零），分子大的反而小。
6．在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论：
①，②．
小刚说：“①，②两式都是对的．”
小明说：“①，②两式都是错的．”
他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？
【答案】两人的说法都是错的，见解析
【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式仍成立是解题关键．根据分式的性质分析即可．
【详解】解：他们两人的说法都是错的．
①式是对的，
左边的分式是一定有意义的，
，
分式的分子、分母同时除以，分式的值不变．
②式是错的，
分式的分子、分母同时乘，这里的有可能为，
分式的值可能改变．
3.分式的基本性质阅读理解题
7．材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：.
.
材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： ； ；
（2）当时.随着a的增大，分式的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）减小
（3）解：2，理由如下：
∵，
随着的增大，的值越来越小，
∴随着a的增大，分式的值无限趋近于2.
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）；；
故答案为：；；
（2）当时，，
当时，，
当时，，……
∵
∴当a增大时，的值越来越小.
故答案为：减小；
【分析】（1），，化简即可；
（2）分别求出a=2、3、4时分式的值，然后进行比较即可解答；
（3），随着a的增大，的值越来越小，据此解答.
8 .阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
解决下列问题：
(1)分式是______分式(填“真”或“假”)；
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【答案】解：（1）真分式；
（2）∵，
∴分式化为带分式的结果为：；
（3）∵，且的值为整数，
∴的值为整数，
又∵的值为整数，
∴，
解得：或，
即的整数值为：0或2.
【知识点】分式的基本性质；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：（1）由“真分式、假分式”的定义可知，分式是真分式；
故答案为：真分式
【分析】（1）由“真分式、假分式”的定义即可求出答案.
（2）根据题意将分式的分子化为即可把原分式化为带分式.
（3）将分式化成带分式的形式可得：，由原分式的值为整数，可得的值为整数，由此即可分析得到整数的值.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意，A错误；
B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意，B错误；
C、，原式变形正确，符合题意，C正确；
D、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意，D错误；
故选：C．
【分析】本题考查分式的基本性质.当m与n异号时可得：与不一定相等，据此可判断A选项；根据，据此可判断B选项；直接将-1提到前可得：，据此可判断C选项；根据与不一定相等，据此可判断D选项.
2．若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
分式值扩大3倍．
故答案为：B．
【分析】将 ， 扩大3倍，即将 ， 用 ， 代替，就可以解出此题．
3．下列分式是最简分式的( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、∵属于最简分式，∴A符合题意；
B、∵，∴B不符合题意；
C、∵，∴C不符合题意；
D、∵，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个分析判断即可．
4．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、∵当a≠b时，原式不成立，∴A错误；
B、∵，∴原式不成立，∴B错误；
C、∵，∴原式不成立，∴C错误；
D、∵，∴原式成立，∴D正确．
故答案为：D.
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）逐项分析求解即可.
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：A、∵只有当a=b时，，∴A不正确；
B、∵当a=2、b=3时，则，∴B不正确；
C、∵当x=2，y=3时，则，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用分式的基本性质及特殊值法逐项分析判断即可.
6．与分式相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
7．关于分式 ，下列说法正确的是（ ）
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 ，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；
B、 ，故分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意；
C、 ，故分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意；
D、 ，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、将分式中的m、n分用2m、2n替换，再求出分式的值，最后比较即可；
B、将分式中的m用2m替换，再求出分式的值，最后比较即可；
C、将分式中的n用2n替换，再求出分式的值，最后比较即可；
D、将分式中的m、n分用2m、2n替换，再求出分式的值，最后比较即可.
8．将分式 约分后的结果是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】分子、分母的公因式是2a，分子、分母都除以2a得到最简分式.
二、填空题
9．约分： ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】原式=.
故答案为：．
【分析】找到分子分母的公因式约分即可.
10．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
【答案】（答案不唯一）
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式的分子分母同时乘以10得，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题考查分式的基本性质. 根据分式的性质：分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10，再进行化简可求出答案．
11．若 ，则 .
【答案】8
【知识点】代数式求值；分式的基本性质；分式的化简求值
【解析】【解答】∵ 可化为 ， 化为
∴原式= =32-1=8
【分析】先把 可化为 ，再将 化为 ，然后代入即可解答。
12．化简： ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】根据分式的基本性质进行约分即可得出答案。
13．约分： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的约分
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据平方差公式、提公因式进行运算，进而进行约分即可求解。
三、解答题（共8小题，每小题8分，共48分）
14．当 为何值时，关于 的方程 的解为负数
【答案】解：
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
解得： ，
∵方程的解为负数，且使得分式有意义，
∴ ，解得 且 ．
【知识点】分式的基本性质；解分式方程
【解析】【分析】根据分式的基本性质，解出分式方程的解，根据解为负数，即可得到关于k的不等死，求出k的值即可。
15．仿照例子，将分式拆分成一个整式与一个分式的和(差)的形式
⑴
⑵
解：(1)
【答案】=
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【分析】根据题意，对分子进行化简，运用平方
16．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数．
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
（1）对分式的分子分母均乘以即可；
（2）将分式的分子部分提取即可．
【详解】（1）解：原式
;
（2）解: 原式
．
17．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “号．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
（1）根据分式的基本性质变形即可；
（2）根据分式的基本性质变形即可；
（3）根据分式的基本性质变形即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
18．已知数x，y满足，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减法，求分式的值，得到是解题的关键．
由去分母得到，代入即可求得答案．
【详解】解： x，y满足，
，
．
19．已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，满足，且点C到点A的距离为1个单位长度．
（1）根据题意，求出c的值为__________
（2）若点C在线段AB上，动点M、N两点分别同时从A、B出发，向x轴正半轴运动．M、N的运动速度分别为4个单位长度/秒、5个单位长度/秒，记点M运动的时间为t秒．当M点运动至点B时，点P才从C点出发，并以10个单位长度/秒的速度向x轴正半轴运动．在运动过程中，如果点Q为线段MN的中点．
①请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．
②当点Q到点Р的距离是点Q到点B的距离的倍时，求时间t的值．
【答案】（1）﹣9或﹣7；（2）①不变，；②
【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b，然后根据点C到点A的距离为1个单位长度即可求出点C表示的数，进而可得c的值；
（2）①先根据题意画出图形，然后即可依次用含t的代数式表示出AN、MN和CQ，再代入原式化简即得结果；
②先求出M点运动至点B时的用时，然后分点P在点Q左侧与点P在点Q右侧两种情况，分别用含t的代数式表示出PQ与QB，进而可得关于t的方程，解方程即得结果．
【详解】解：（1）因为，
所以a+8=0，b－12=0，
所以a=﹣8，b=12；
所以点A表示的数是﹣8，
因为点C到点A的距离为1个单位长度，
所以点C表示的数是﹣9或﹣7，即c=﹣9或﹣7；
故答案为：﹣9或﹣7；
（2）的值不会发生变化，且；理由如下：
因为点C在线段AB上，所以点C表示的数是﹣7，
如图，根据题意可得：AB=20，CB=19，AM=4t，BN=5t，
所以AN=20+5t，MN=AN－AM=20+5t－4t=20+t，
因为点Q为MN的中点，所以，
所以，
所以；
②M点运动至点B时用了20÷4=5秒，
当点P在点Q左侧时，，，
根据题意得：，即，解得：；
当点P在点Q右侧时，，，
由得，解得：（舍去）；
综上，当点Q到点Р的距离是点Q到点B的距离的倍时，．
【点睛】本题考查了数轴、非负数的性质、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用以及分式的化简等知识，综合性较强、具有相当的难度，正确理解题意、灵活应用相关知识和数形结合思想是解题的关键．
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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.1.2 分式的基本性质
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．
2.理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形．
3.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键.
难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形
老师告诉你
1.约分的关键步骤----确定分式的分子、分母的公因式：
若分子和分母都是单项式，则公因式是它们系数的最大公因数和相同字母的最低次幂的积；
若分子和分母中至少有一个是一个多项式，则先分解因式，再约分。
约分的方法：
把分子和分母写成公因式与非公因式乘积的形式，约去公因式，结果保留最简分式或整式。
知识点拨
知识点1 、 分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
注意：
基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
【新知导学】
例1-1．下列分式变形从左到右一定成立的是( )
A. B. C. D.
例1-2．下列分式变形中正确的是( )
A. B. C. D.
例1-3．下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. B.
C. D.
【对应导练】
1．下列各式从左向右变形正确的是( )
A. B. C. D.
2．下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
3．利用分式基本性质变形可得,则整式_________.
知识点2 、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：
根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起起着重要的作用
例2-1．根据分式的基本性质,分式可变形为( )
A. B. C. D.
例2-2．分式可变形为( )
A. B. C. D.
3．下列各式中,与分式的值相等的是( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．分式可变形为( )
A. B. C. D.
2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3 .对于分式，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4 .若 成立，求a的取值范围.
知识点3 、分式的约分及最简分式
1.与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2.最简分式
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
注意：
约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
【新知导学】
例3-1．约分：
（1）；
（2）．
例3-2．计算： .
例3-3．约分：
（1） ；
（2） .
【对应导练】
1．下列各式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2 .化简下列分式：
（1）；（2）；（3）
3 .约分：
（1）；
（2）．
二、题型训练
1.利用分式基本性质化简
1．化简： ．
2．化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数．
（1）；
（2）．
4．已知 ，求 的值．
2.利用分式的基本性质辨析
5．嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了还是减小了？”．
嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路．
淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路．
两人的解题思路都正确．
（1）请你任选一个思路说明．
解：嘉嘉的思路：，
，
．
，
，
，
即所得分式的值增大了．
（2）当所加的这个数为时，所得分式的值 填“增大了”或“减小了”．
（3）当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由．
6．在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论：
①，②．
小刚说：“①，②两式都是对的．”
小明说：“①，②两式都是错的．”
他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？
3.分式的基本性质阅读理解题
7．材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：.
.
材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： ； ；
（2）当时.随着a的增大，分式的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
8 .阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
解决下列问题：
(1)分式是______分式(填“真”或“假”)；
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
3．下列分式是最简分式的( )
A． B． C． D．
4．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．与分式相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．关于分式 ，下列说法正确的是（ ）
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
8．将分式 约分后的结果是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
9．约分： ．
10．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
11．若 ，则 .
12．化简： ．
13．约分： ．
三、解答题（共8小题，每小题8分，共48分）
14．当 为何值时，关于 的方程 的解为负数
15．仿照例子，将分式拆分成一个整式与一个分式的和(差)的形式
⑴
⑵
解：(1)
16．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数．
(1)
(2)．
17．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “号．
(1)；
(2)；
(3)．
18．已知数x，y满足，求的值．
19．已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，满足，且点C到点A的距离为1个单位长度．
（1）根据题意，求出c的值为__________
（2）若点C在线段AB上，动点M、N两点分别同时从A、B出发，向x轴正半轴运动．M、N的运动速度分别为4个单位长度/秒、5个单位长度/秒，记点M运动的时间为t秒．当M点运动至点B时，点P才从C点出发，并以10个单位长度/秒的速度向x轴正半轴运动．在运动过程中，如果点Q为线段MN的中点．
①请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．
②当点Q到点Р的距离是点Q到点B的距离的倍时，求时间t的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.1.2 分式的基本性质
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．
2.理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形．
3.会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键.
难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形
老师告诉你
1.约分的关键步骤----确定分式的分子、分母的公因式：
若分子和分母都是单项式，则公因式是它们系数的最大公因数和相同字母的最低次幂的积；
若分子和分母中至少有一个是一个多项式，则先分解因式，再约分。
约分的方法：
把分子和分母写成公因式与非公因式乘积的形式，约去公因式，结果保留最简分式或整式。
知识点拨
知识点1 、 分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
注意：
基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.
【新知导学】
例1-1．下列分式变形从左到右一定成立的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、，故本选项不符合题意；
B、当时才成立，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C.
【知识点】分式的基本性质
例1-2．下列分式变形中正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、,故A不符合题意；
B、,故B不符合题意；
C、,故C符合题意；
D、,故D不符合题意；
故选：C.
【知识点】分式的基本性质
例1-3．下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：A.从左到右的变形不正确；
B.从左到右的变形不正确；
C.从左到右的变形不正确；
D.从左到右的变形正确.
故选择：D.
【知识点】分式的基本性质
【对应导练】
1．下列各式从左向右变形正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A、分子、分母都加2,分式的值改变,故A错误；
,故B正确；
,故C错误；
,故D错误.
故选：B.
【知识点】分式的基本性质
2．下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、，故A不成立.
B、，故B不成立.
C、，故C成立.
D、，故D不成立.
故选：C.
【知识点】分式的基本性质
3．利用分式基本性质变形可得,则整式_________.
答案：
解析：,
∴,
故答案为：.
【知识点】分式的基本性质
知识点2 、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
注意：
根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起起着重要的作用
例2-1．根据分式的基本性质,分式可变形为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：,
故选：C.
【知识点】分式的基本性质
例2-2．分式可变形为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，故A正确.
故选：A.
【知识点】分式的基本性质
3．下列各式中,与分式的值相等的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析:把分式的分子,分母同时乘以得,
故选D.
【对应导练】
1．分式可变形为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.
2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
3 .对于分式，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时乘以-1，即可求解.
4 .若 成立，求a的取值范围.
【答案】a≠3.
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质
【解析】【解答】等式的左边可变为 ，从左边到右边是利用分式的基本性质，分子和分母都除以a-3，所以要保证a-3≠0，即a≠3.
【分析】本题除了考查分式的基本性质外，还注重了考查分式的值不为0的条件。
知识点3 、分式的约分及最简分式
1.与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2.最简分式
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
注意：
约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
【新知导学】
例3-1．约分：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=．
（2）解：
=
=
=．
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】（1）直接利用分式的基本性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）化简得出答案；
（2）直接将分子与分母分解因式，进而化简得出答案；
（3）公式法分解因式：①完全平方公式：；②平方差公式：.
例3-2．计算： .
【答案】解：
= .
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】进行约分即可得到结果.
例3-3．约分：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】（1）观察分子分母中的公因式是4xy3，再约分，可解答。
（2）先将分子分母分解因式，再约分即可解答。
【对应导练】
1．下列各式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式的概念
2 .化简下列分式：
（1）；（2）；（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】根据分式的基本性质，提取出分子分母的公因式，再同时约去公因式使分式化简．
【详解】解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
【点睛】本题考查分式的化简，找出公因式根据分式的性质进行约分化简是关键．
3 .约分：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）找到分子、分母的公因式，根据分式的性质约去公因式即可；
（2）先把分子、分母因式分解，根据分式的性质约去公因式即可．
【详解】（1）=．
（2）
=
=
=．
【点睛】本题考查约分，约分一定要先找到分子和分母的公因式，对于分子和分母都是多项式的分式，首先要对分子和分母分别进行分解因式．
二、题型训练
1.利用分式基本性质化简
1．化简： ．
【答案】2a
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】 ，
故答案为： 2a.
【分析】分式的约分化简，把分子分母的公因式约去。
2．化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】 根据约分的方法化简题目中的式子，即可得出答案。
3．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的基本性质
4．已知 ，求 的值．
【答案】解：分式的分子分母都除以ab，得
= = ，
∵ ﹣ =3，
∴原式= = ．
故 的值为
【知识点】分式的基本性质；分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以ab，分式的值不变，再把 ﹣ 换成﹣3计算即可．
2.利用分式的基本性质辨析
5．嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知，若分式分子、分母都加上，所得分式的值增大了还是减小了？”．
嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路．
淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路．
两人的解题思路都正确．
（1）请你任选一个思路说明．
解：嘉嘉的思路：，
，
．
，
，
，
即所得分式的值增大了．
（2）当所加的这个数为时，所得分式的值 填“增大了”或“减小了”．
（3）当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由．
【答案】（1）解：琪琪的思路：，
，
∵m>n>0，∴mn+m>mn+n，m(m+1)>0，
∴
即：
所以分式的值增大了。
（2）增大了
（3）解：当所加的这个数为时，所得分式的值增大了，
理由：，
，
，，
，
，
即所得分式的值增大了．
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：⑵、，
∵m>n>0，∴2n-2m<0，m(m+2)>0，
∴，
∴
∴分式的值增大了。
【分析】分式大小的比较，方法一比差法，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a
6．在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论：
①，②．
小刚说：“①，②两式都是对的．”
小明说：“①，②两式都是错的．”
他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？
【答案】两人的说法都是错的，见解析
【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式仍成立是解题关键．根据分式的性质分析即可．
【详解】解：他们两人的说法都是错的．
①式是对的，
左边的分式是一定有意义的，
，
分式的分子、分母同时除以，分式的值不变．
②式是错的，
分式的分子、分母同时乘，这里的有可能为，
分式的值可能改变．
3.分式的基本性质阅读理解题
7．材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：.
.
材料二：为了研究字母a和分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： ； ；
（2）当时.随着a的增大，分式的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当时，随着a的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）减小
（3）解：2，理由如下：
∵，
随着的增大，的值越来越小，
∴随着a的增大，分式的值无限趋近于2.
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）；；
故答案为：；；
（2）当时，，
当时，，
当时，，……
∵
∴当a增大时，的值越来越小.
故答案为：减小；
【分析】（1），，化简即可；
（2）分别求出a=2、3、4时分式的值，然后进行比较即可解答；
（3），随着a的增大，的值越来越小，据此解答.
8 .阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
解决下列问题：
(1)分式是______分式(填“真”或“假”)；
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【答案】解：（1）真分式；
（2）∵，
∴分式化为带分式的结果为：；
（3）∵，且的值为整数，
∴的值为整数，
又∵的值为整数，
∴，
解得：或，
即的整数值为：0或2.
【知识点】分式的基本性质；分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：（1）由“真分式、假分式”的定义可知，分式是真分式；
故答案为：真分式
【分析】（1）由“真分式、假分式”的定义即可求出答案.
（2）根据题意将分式的分子化为即可把原分式化为带分式.
（3）将分式化成带分式的形式可得：，由原分式的值为整数，可得的值为整数，由此即可分析得到整数的值.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意，A错误；
B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意，B错误；
C、，原式变形正确，符合题意，C正确；
D、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意，D错误；
故选：C．
【分析】本题考查分式的基本性质.当m与n异号时可得：与不一定相等，据此可判断A选项；根据，据此可判断B选项；直接将-1提到前可得：，据此可判断C选项；根据与不一定相等，据此可判断D选项.
2．若把分式 的x、y同时扩大3倍，则分式值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
分式值扩大3倍．
故答案为：B．
【分析】将 ， 扩大3倍，即将 ， 用 ， 代替，就可以解出此题．
3．下列分式是最简分式的( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、∵属于最简分式，∴A符合题意；
B、∵，∴B不符合题意；
C、∵，∴C不符合题意；
D、∵，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个分析判断即可．
4．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、∵当a≠b时，原式不成立，∴A错误；
B、∵，∴原式不成立，∴B错误；
C、∵，∴原式不成立，∴C错误；
D、∵，∴原式成立，∴D正确．
故答案为：D.
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）逐项分析求解即可.
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：A、∵只有当a=b时，，∴A不正确；
B、∵当a=2、b=3时，则，∴B不正确；
C、∵当x=2，y=3时，则，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用分式的基本性质及特殊值法逐项分析判断即可.
6．与分式相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
7．关于分式 ，下列说法正确的是（ ）
A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍
C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变
D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 ，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；
B、 ，故分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意；
C、 ，故分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意；
D、 ，故分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变，符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、将分式中的m、n分用2m、2n替换，再求出分式的值，最后比较即可；
B、将分式中的m用2m替换，再求出分式的值，最后比较即可；
C、将分式中的n用2n替换，再求出分式的值，最后比较即可；
D、将分式中的m、n分用2m、2n替换，再求出分式的值，最后比较即可.
8．将分式 约分后的结果是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】分子、分母的公因式是2a，分子、分母都除以2a得到最简分式.
二、填空题
9．约分： ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】原式=.
故答案为：．
【分析】找到分子分母的公因式约分即可.
10．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
【答案】（答案不唯一）
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：把分式的分子分母同时乘以10得，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】本题考查分式的基本性质. 根据分式的性质：分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10，再进行化简可求出答案．
11．若 ，则 .
【答案】8
【知识点】代数式求值；分式的基本性质；分式的化简求值
【解析】【解答】∵ 可化为 ， 化为
∴原式= =32-1=8
【分析】先把 可化为 ，再将 化为 ，然后代入即可解答。
12．化简： ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】根据分式的基本性质进行约分即可得出答案。
13．约分： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；分式的约分
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据平方差公式、提公因式进行运算，进而进行约分即可求解。
三、解答题（共8小题，每小题8分，共48分）
14．当 为何值时，关于 的方程 的解为负数
【答案】解：
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
解得： ，
∵方程的解为负数，且使得分式有意义，
∴ ，解得 且 ．
【知识点】分式的基本性质；解分式方程
【解析】【分析】根据分式的基本性质，解出分式方程的解，根据解为负数，即可得到关于k的不等死，求出k的值即可。
15．仿照例子，将分式拆分成一个整式与一个分式的和(差)的形式
⑴
⑵
解：(1)
【答案】=
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【分析】根据题意，对分子进行化简，运用平方
16．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数．
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
（1）对分式的分子分母均乘以即可；
（2）将分式的分子部分提取即可．
【详解】（1）解：原式
;
（2）解: 原式
．
17．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “号．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
（1）根据分式的基本性质变形即可；
（2）根据分式的基本性质变形即可；
（3）根据分式的基本性质变形即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
18．已知数x，y满足，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减法，求分式的值，得到是解题的关键．
由去分母得到，代入即可求得答案．
【详解】解： x，y满足，
，
．
19．已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，满足，且点C到点A的距离为1个单位长度．
（1）根据题意，求出c的值为__________
（2）若点C在线段AB上，动点M、N两点分别同时从A、B出发，向x轴正半轴运动．M、N的运动速度分别为4个单位长度/秒、5个单位长度/秒，记点M运动的时间为t秒．当M点运动至点B时，点P才从C点出发，并以10个单位长度/秒的速度向x轴正半轴运动．在运动过程中，如果点Q为线段MN的中点．
①请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．
②当点Q到点Р的距离是点Q到点B的距离的倍时，求时间t的值．
【答案】（1）﹣9或﹣7；（2）①不变，；②
【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b，然后根据点C到点A的距离为1个单位长度即可求出点C表示的数，进而可得c的值；
（2）①先根据题意画出图形，然后即可依次用含t的代数式表示出AN、MN和CQ，再代入原式化简即得结果；
②先求出M点运动至点B时的用时，然后分点P在点Q左侧与点P在点Q右侧两种情况，分别用含t的代数式表示出PQ与QB，进而可得关于t的方程，解方程即得结果．
【详解】解：（1）因为，
所以a+8=0，b－12=0，
所以a=﹣8，b=12；
所以点A表示的数是﹣8，
因为点C到点A的距离为1个单位长度，
所以点C表示的数是﹣9或﹣7，即c=﹣9或﹣7；
故答案为：﹣9或﹣7；
（2）的值不会发生变化，且；理由如下：
因为点C在线段AB上，所以点C表示的数是﹣7，
如图，根据题意可得：AB=20，CB=19，AM=4t，BN=5t，
所以AN=20+5t，MN=AN－AM=20+5t－4t=20+t，
因为点Q为MN的中点，所以，
所以，
所以；
②M点运动至点B时用了20÷4=5秒，
当点P在点Q左侧时，，，
根据题意得：，即，解得：；
当点P在点Q右侧时，，，
由得，解得：（舍去）；
综上，当点Q到点Р的距离是点Q到点B的距离的倍时，．
【点睛】本题考查了数轴、非负数的性质、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用以及分式的化简等知识，综合性较强、具有相当的难度，正确理解题意、灵活应用相关知识和数形结合思想是解题的关键．
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