人教版八年级数学上名师点拨与训练第15章分式15.2.1 分式的乘除2（含解析）

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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.2.1 分式的乘除2
学习目标
1.了解分式的乘方的意义及其运算法则并根据分式乘方的运算法则熟练地进行运算.
2.能应用分式的乘除法法则进行混合运算．
重点：熟练地进行分式乘方的运算.
难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.
老师告诉你
分式乘方的步骤：
分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同，即正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。
2.利用积的乘方法则，对分子、分母分别乘方。
知识点拨
知识点1 、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
（为正整数）.
特别说明：
（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.
【新知导学】
例1-1．计算：
例1-2．计算：　 　.
【对应导练】
1．计算： ＝　 　．
2．计算 的结果是（　　）
A．- B．- C．- D．
3．计算：　 　.
4．计算的结果是　 　．
知识点2 、分式的乘方、乘除混合运算
（1）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.
（2）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如
【新知导学】
例2-1． 的结果是（　　）
A． B． C． D．
例2-2．计算
（1）
（2）；
（3）
【对应导练】
1．计算：；
2．计算：
（1）
（2）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为的值代入求值．
3．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．化简：
（1）
（2）化简代数式：，再从，，2，3，中选取一个喜欢的数值代入，并求出代数式的值．
二、题型训练
利用分式乘方法则进行运算
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
利用分式乘方法则进行混合运算
4．计算：
（1）
（2）先化简： ，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为 的值代入求值．
5．计算下列各题：
（1）
（2）
6．
7．计算下列各式
（1）（- ）2·（- ）3÷（-ab）4
（2）·
利用分式乘方法则求值
8．按要求化简：（a﹣1）÷，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．
小聪计算这一题的过程如下：
解：原式＝（a﹣1）÷…①
＝（a﹣1） …②
＝…③
当a＝1，b＝1时，原式＝…④
以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第_____步（填序号），原因：_____；
还有第_____步出错（填序号），原因：_____．
请你写出此题的正确解答过程．
9．先化简，再求值 ，其中x满足 ．
10．先化简，再求值：，其中．
11．先化简 再从 、3、4中选一个你喜欢的数代入求值.
倒数求值法
12．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即，
所以，
故的值为．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知，求的值．
（2）【拓展延伸】
已知，，，求的值．
13．【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
14．阅读理解：阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值。
由 知 ，所以
所以 ，所以
以上解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目。
已知： ，求 的值。
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．计算分式结果是（　　）
A．-1 B．1 C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．计算的结果是（　　）
A． B．
C． D．
4．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a>6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的(　　)
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】B
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列计算一定正确的是（　　）
A．+ B．
C． D．
7．在计算÷时，把运算符号“÷”看成了“+”，计算结果是m，则这道题的正确的结果是（　　）
A． B． C．m-1 D．m
8．下列计算结果正确的有（　　）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算：　 　．
10．计算（ ）2 的结果是　 　．
11．若□×，则□中的式子是 　 　．
12．计算：　 　．
13．则m=　 　
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．计算：
（1）
（2）
15．（1）计算：．
（2）．计算：，
16．化简：．
17．先化简： ，再选择一个恰当的x值代入求值．
18．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
19．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.2.1 分式的乘除2
学习目标
1.了解分式的乘方的意义及其运算法则并根据分式乘方的运算法则熟练地进行运算.
2.能应用分式的乘除法法则进行混合运算．
重点：熟练地进行分式乘方的运算.
难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.
老师告诉你
分式乘方的步骤：
分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同，即正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数。
2.利用积的乘方法则，对分子、分母分别乘方。
知识点拨
知识点1 、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
（为正整数）.
特别说明：
（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.
【新知导学】
例1-1．计算：
【答案】解：
．

【知识点】分式的乘除法；分式的乘方
【解析】【分析】本题考查含乘方的分式除法计算.先计算乘方可得：原式，再将除法运算转化为乘法运算可得：原式，再进行约分化简可求出答案.
例1-2．计算：　 　.
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式= x29y2
【分析】根据分式的乘除法法则，分式分子分母分别乘方计算即可得到结果。
【对应导练】
1．计算： ＝　 　．
【答案】－
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：根据分式乘方法则的运算法则得： ＝ .
故答案为：－
【分析】根据分数的乘方，把分子分母分别乘方，计算可解答。
2．计算 的结果是（　　）
A．- B．- C．- D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式= ．
故答案为：C．
【分析】根据分式的乘方，把分子分母分别乘方，据此计算即得.
3．计算：　 　.
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用分式的除法计算方法求解即可。
4．计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】利用分式的乘法计算方法求解即可。
知识点2 、分式的乘方、乘除混合运算
（1）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.
（2）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如
【新知导学】
例2-1． 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】先算分式的乘方，再将除法运算转换为乘法运算，最后进行约分化简即可.
例2-2．计算
（1）
（2）；
（3）
【答案】（1）解：-
（2）解：4
（3）解：
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）原式=
=
=
(2)原式=
=
=
=4；
(3)原式=
=
=
=
=；
【分析】(1)先计算乘方，再根据分式的乘除运算即可求解；
（2）先将分母进行因式分解，再计算括号，最后根据分式的除法运算即可求解；
（3）根据分式的混合运算，先计算除法运算，再计算减法运算即可求解.
【对应导练】
1．计算：；
【答案】解：
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】根据分式的乘法，除法运算法则，正确进行运算，即可得出答案。
2．计算：
（1）
（2）先化简：，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：（1）
；
（2）
=
，
当时，原式；
当时，原分式没有意义；
当时，原分式没有意义；
当时，原式．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的乘除法；分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的乘方和乘除计算，分式的化简求值.（1）先算分式的乘方，再将除法运算转化为乘法运算可得：原式=，再根据分式的乘法计算法则，分子和分母进行约分，可求出答案；
（2）先对式子通分，再对分子和分母进行因式分解，将除法运算转化乘法运算可得：原式，再根据分式的乘法计算法则，分子和分母进行约分，可求出化简后的式子，再将a= 1，2，3，4 代入化简后的式子，判断分式是否有意义，据此可求出式子的值.
3．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】首先将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行计算．
∴原式=
【分析】首先将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行计算。
4．化简：
（1）
（2）化简代数式：，再从，，2，3，中选取一个喜欢的数值代入，并求出代数式的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
=
，
要使分式有意义，则且且，
不能为2，，3，
当时，原式．
【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将x的值代入计算即可。
二、题型训练
利用分式乘方法则进行运算
1．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的乘除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：原式，
故选：B．
【分析】直接根据幂的乘方运算及分式的乘法进行计算即可，
2．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】先计算乘方，再计算乘法．
3．计算：.
【答案】解：原式
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】先因式分解，然后约分，按照分式的乘除法计算法则计算即可。
利用分式乘方法则进行混合运算
4．计算：
（1）
（2）先化简： ，再从1，2，3，4中选择一个合适的数作为 的值代入求值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当 时，原式
当 时，原分式没有意义；
当 时，原分式没有意义；
当 时，原式
【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）先利用积的乘方和幂的乘方化简，再利用分式的混合运算计算即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。
5．计算下列各题：
（1）
（2）
【答案】（1）
=
=
（2）
=
=
= ．
【知识点】分式的乘除法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方化简，再利用分式的乘除法计算即可；
（2）先计算分式的加减，再计算分式的除法即可。
6．
【答案】解：
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】先进行乘方的运算，把除法化成乘法，再约分化简，即可得出结果.
7．计算下列各式
（1）（- ）2·（- ）3÷（-ab）4
（2）·
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=．
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除即可；
（2）先将分子和分母进行因式分解，再进行约分即可.
利用分式乘方法则求值
8．按要求化简：（a﹣1）÷，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．
小聪计算这一题的过程如下：
解：原式＝（a﹣1）÷…①
＝（a﹣1） …②
＝…③
当a＝1，b＝1时，原式＝…④
以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第_____步（填序号），原因：_____；
还有第_____步出错（填序号），原因：_____．
请你写出此题的正确解答过程．
【答案】解：①运算顺序错误；
故答案为①，运算顺序错误；
④当a=1时，等于0，原式无意义．
故答案为a等于1时，原式无意义．
当时，原式
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】由于乘法和除法是同级运算，应当按照从左向右的顺序计算，①运算顺序错误；④当a＝1时，等于0，原式无意义，注意运算顺序和分式有意义的条件．
9．先化简，再求值 ，其中x满足 ．
【答案】解：原式=
=
=x2﹣3﹣2x+2
=x2﹣2x﹣1
由x2﹣2x﹣3=0，得x2﹣2x=3，∴原式=3﹣1=2.
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】依据已知条件可得到x2﹣2x=3，然后将除法转化为乘法，然后再按照乘法分配律进行计算，然后，再去括号，合并同类项，最后将x2﹣2x=3整体代入求解即可.
10．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
当时，代入得：
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的乘除法；分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的除法法则将原式变形，再利用完全平方公式和平方差公式进行化简，最后带入的值计算即可
11．先化简 再从 、3、4中选一个你喜欢的数代入求值.
【答案】解：化简原式可得：原式＝ ÷（ ）＝ ÷ ＝ × ＝－ ，
当x＝ 时，
原式＝－ ＝－ ＝－ ，
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【分析】根据分式的运算法则化简，然后取值代入计算即可
倒数求值法
12．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即，
所以，
故的值为．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知，求的值．
（2）【拓展延伸】
已知，，，求的值．
【答案】（1）解：由知，
所以，
即，
所以
所以
故：的值为．
（2）解：因为，，，
所以，
所以，
所以，
故，的值为．
【知识点】分式的加减法；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得出，将所求分式取倒数，利用配方法和整体法代入的方法求出式子的值，最后取倒数即可得解；
（2）将已知三个等式的左右两边相加得出，将所求的分式取倒数计算出结果，利用（1）中的方法即可得出结论。
13．【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
【答案】（1）；；
解：（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）第①步由得到逆用了法则：；第②步运用了公式：；
故答案为：；；
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则及完全平方公式的变形即可求出答案.
（2）根据题意计算即可求出答案.
14．阅读理解：阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值。
由 知 ，所以
所以 ，所以
以上解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目。
已知： ，求 的值。
【答案】解： ∵∴∴即=62-1=61∴=
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】利用倒数法由已知，求出，再利用倒数法将转化为，整体代入求值，然后用倒数法就求出的值。
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．计算分式结果是（　　）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】，
故答案为：B.
【分析】先将除法转换为乘法，再利用分式的乘法计算方法分析求解即可.
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，所以A计算不正确；
B：左边不是同类项，不能合并，所以B计算不正确；
C：，所以C计算正确；
D：，所以D计算不正确。
故答案为：C。
【分析】根据分式的乘方法则，及合并同类项，正确进行计算，即可得出正确答案。
3．计算的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】.
故答案为：C．
【分析】利用分式乘法运算法则计算求解即可.
4．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a>6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的(　　)
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得：A圆的面积为，B圆的面积为，
π（）2÷[π（）2]=．
∴ A圆的面积是B圆面积的倍 .
故答案为：B．
【分析】根据圆的面积公式分别表示出A、B两个圆的面积，进而用A圆面积除以B圆面积，列式求解即可．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ，原式计算错误，故不符合题意；
B、 ，原式计算正确，故符合题意；
C、，原式计算错误，故不符合题意；
D、 ，原式计算错误，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方，可判断A选项；B、根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断B选项；C、同时改变分子及分式本身的符号，分式的值不变，但分子与分母不能约分，据此可判断C选项；D、通分计算异分母分式的加法，可判断D选项.
6．下列计算一定正确的是（　　）
A．+ B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；分式的乘除法；分式的加减法；负整数指数幂
【解析】【解答】解；A、，计算正确，符合题意，A正确；
B、，计算错误，不符合题意，B错误；
C、，计算错误，不符合题意，C错误；
D、，计算错误，不符合题意，D错误；
故选：A．
【分析】本题考查分式的加法，分式的乘方，负整数指数幂，同底数幂乘法.先对A选项的式子进行变形可得：原式=，再利用分式的减法进行计算，据此可判断A选项；利用同底数幂的乘法运算可得：，据此可判断B选项；利用负整数指数幂进行计算可得：，据此可判断C选项；利用有理数的乘方和完全平方公式进行计算可得：，据此可判断D选项.
7．在计算÷时，把运算符号“÷”看成了“+”，计算结果是m，则这道题的正确的结果是（　　）
A． B． C．m-1 D．m
【答案】D
【知识点】分式的乘除法；解分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得：
+=m，
方程两边同时乘以m+1，得m2+=m（m+1），
解得=m，
∴÷=÷=m，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出方程+=m，求出=m，再求解即可。
8．下列计算结果正确的有（　　）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：①，正确；
②，正确；
③，正确；
④，错误．
故答案为：C.
【分析】分式的乘法：把分子的积作为分子，分母的积作为分母，并将结果化为最简形式；分式的除法，先根据除以一个式子等于乘以这个式子的倒数将除法转变为乘法，进而根据乘法法则进行计算，据此分别计算出结果，再判断即可得出答案.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
【分析】利用分式的除法计算方法求解即可。
10．计算（ ）2 的结果是　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先计算分式的乘方，再根据分式乘法法则计算可求解。
11．若□×，则□中的式子是 　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：÷（）2
＝÷
＝
＝，
则□中的式子是，
故答案为：．
【分析】利用分式的基本性质计算求解即可。
12．计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用分式的除法法则计算求解即可。
13．则m=　 　
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：根据题意得：m= （x﹣y）=．
故答案为：．
【分析】利用除数=被除数÷商列出关系式，计算即可得到结果．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】利用分式的乘除法的计算方法求解即可。
15．（1）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】利用分式的乘除法的计算方法求解即可。
（2）．计算：，
【答案】解：=
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简求出即可．
16．化简：．
【答案】解：原式
.
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】先将括号里进行通分，运用平方差公式简便计算，再合并分子，最后约分即可
17．先化简： ，再选择一个恰当的x值代入求值．
【答案】解：解：原式= = =﹣x+1。
当x=2时，原式=﹣2+1=﹣1。
【知识点】平方差公式及应用；分式的乘除法
【解析】【分析】将分式通过通分，利用平方差公式，最后约分，化为最简，再将x赋值，代入计算出结果。
18．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
=
=
（3）解：
=
=
=
=
= ．
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用分式的除法计算法则求解即可；
（2）先通分，再利用分式的减法计算法则求解即可；
（3）利用分式的混合运算求解即可。
19．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】利用分式的乘除法则计算求解即可。
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