第八单元 《垂线与平行线》 单元复习讲义（讲义）
四年级数学上册专项精练（知识梳理+易错集锦+典例精讲+专项精练）
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1、核心素养目标：
（1）发展学生的空间观念，能够理解并掌握垂线和平行线的基本概念和性质。
（2）培养学生的几何直观能力，通过观察、操作和推理，能够识别和构造垂线和平行线。
（3）强化学生的逻辑推理能力，通过证明和应用垂线和平行线的性质，解决实际问题。
2、学习目标：
（1）学生能够理解垂线和平行线的定义，掌握垂线的性质，以及平行线的判定方法和性质。
（2）通过实际操作和几何画图工具，学生能够独立作出垂线和平行线，并能通过逻辑推理证明相关几何性质。
（3）情激发学生对几何图形美的认识和欣赏，培养学生在学习过程中认真、细致、严谨的态度，以及探索和解决问题的兴趣。
（4）学生能够将垂线和平行线的知识应用到解决实际问题中。
1、把线段的一端无限延长，就得到了一条射线。把线段的两端都无限延长，就得到了一条直线。线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点。线段可以量出长度，射线和直线都是无限长的。连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。
2、角的认识：从一点引出的两条射线可以组成角，这个点叫作角的顶点，两条射线叫作角的边。一个角有两条边和一个顶点。
1、为了准确测量角的大小，要有统一的度量工具和计量单位。量角器是度量角的工具。
2、角的度量：量角器是半圆形的。把半圆分成180等份，每一份所对的角是1度的角。内圈刻度和外圈刻度分别按逆时针和顺时针方向排列。
3、用量角器度量角的大小的基本方法：
（1）点点重合，量角器的中心与角的顶点重合；
（2）线边重合，量角器的0°刻度线与角的一条边重合；
（3）另一条边所对的刻度就是这个角的度数。
1、角的分类及角的关系：直角等于90°,锐角小于90°，钝角大于90°且小于180°，平角等于180°，周角等于360°，即1周角=2平角=4直角。
2、画指定度数的角的方法：
（1）先画一条射线;点点重合，即量角器的中心和射线的端点重合；
（2）边边重合，即0°刻度线和所画射线重合;
（3）找点连线，即找出要画角的度数对应的刻度，在上面画一个点，从端点出发过这个点画一条射线，标出度数。
1、认识垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。
2、点到直线的距离：点到直线的距离是点到直线的垂直线段的长度。从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段的长度最短。
画垂线有两个重合：一是三角尺的一条直角边与已知直线重合；二是点在直线上时，三角尺的直角顶点与这一点重合，点在直线外时，三角尺的另一条直角边经过这一点。
1、认识平行：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
2、画平行线：（1）过直线外一点，画已知直线的平行线的方法：①使三角尺的一条直角边与已知直线重合；②使直尺靠在三角尺另一条直角边上；③移动三角尺，使其一条直角边经过直线外已知点，沿着三角尺另一条直角边画一条直线。（2）过直线外一点，画已知直线的平行线只能画一条。
1、综合应用有关角的度量、统计和计算的知识，体验物体在多少度的斜坡上滚得更远一些。积累数学与生活的广泛联系，体会数学的应用价值。
2、发挥想象能力，培养探索精神与合作意识，激发学习数学的兴趣。
五大易错知识点
1.射线和直线都是无限长的，射线可以向一端无限延长，直线可以向两端无限延长；经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。
2.从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这一点是角的顶点，这两条射线是角的边。角有一个顶点和两条边，角的两边可以无限延长。角通常用符号“∠”来表示。
3.为了准确测量出角的大小，要有统一的计量单位和度量工具。
4.量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份，每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别按逆时针和顺时针方向排列。
5.用量角器测量角的大小的基本方法和操作要领可以概括为“三个重合，一个注意”。三个重合：一是点点重合，即中心点与顶点重合；二是线边重合，即0°刻度线与一条边重合；三是线边重合，即刻度线与另一条边重合，读出度数。一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混合使用。
【典例精讲1】（22-23四年级上·山东潍坊·期末）（1）小兔和小猴是好朋友，它们经常到对方家里去做客，于是两个好朋友商量，要在两家之间修一条最近的路，请你将两家门口A、B的最短路线画一画，并说明这样画的理由____________________。
（2）如果小兔和小猴分别从水管主道接一条水管到自己家，怎样接用的材料最少？请你画一画。
【答案】（1）画图见详；两点之间，线段距离最短。
（2）见详解
【分析】（1）两点之间，线段距离最短，依此画图并解答即可。
（2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。
过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。
【详解】（1）、（2）画图如下：
（1）这样画的理由是：两点之间，线段距离最短。
【点睛】此题考查了两点间线段最短与两点间的距离，以及过直线外一点作垂线，应熟练掌握垂直的特点。
【典例精讲2】（23-24四年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个长方形纸折叠后，∠2＝75°，∠1是多少度？（在图中标出你需要的数据）
【答案】图见详解；30°
【分析】如下图所示，∠2是∠3折叠上去的角，那么∠3＝∠2＝75°，∠1、∠2和∠3组成了一个平角，1平角＝180°，那么∠1＝180°－∠2－∠3，据此代入数据解答即可。
【详解】数据标注如下图所示：
∠3＝∠2＝75°
180°－75°－75°
＝105°－75°
＝30°
答：∠1是30°。
【典例精讲3】（23-24四年级上·河南平顶山·期末）下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。
（1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。
（2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。
（3）用量角器可以量出，∠1的度数是（ ）°。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）60
【分析】（1）作经过红旗广场与城北路平行的平行线，过直线外一点画平行线：固定三角尺，将一条直角边与城北路重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移后与红旗广场重合，沿直角边画出另一条直线；
（2）作红十字医院到城北路的垂线，过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与城北路重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的红十字医院在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；
（3）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此解答。
【详解】根据分析：
（1）（2）如图：
（3）用量角器可以量出，∠1的度数是60°。
【典例精讲4】（23-24四年级上·河南洛阳·期末）如图，这是乡村振兴项目中，改造后白云小街街区的示意图。
（1）量一量，∠1＝（ ）°。
（2）建设路经过图书馆，与人民路平行。请在图中画出来。
（3）张村需要安装天然气管道，主管道在人民路上，你认为应该怎样安装管道最短？请在图中画出来。你这样画的理由是：（ ）。
【答案】（1）45
（2）见详解
（3）图片见详解，这样画的理由：直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。（2）画已知直线的平行线：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和已知点重合，过点沿三角板的直角边画直线即是已知直线的平行线。
（3）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使安装管道最短，则从张村向人民路作垂线，这条垂线即为所求。
【详解】（1）∠1＝45°；
（2）如图；
（3）如图：
这样画的理由：直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
【典例精讲5】（23-24四年级上·山东枣庄·期末）张村要修一条水泥路与公路相连，怎样修路最近？在图上画出来。这样修路最近的原因是什么？
【答案】见详解
【分析】把张村看做一个点，公路看做一条直线，根据垂线段最短的性质，画一条垂线。过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与公路重合，让三角尺的另一条直角边通过点张村，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是公路的垂线。因为点到直线之间垂线段最短。据此解答即可。
【详解】作图如下：
因为点到直线之间垂线段最短。
【典例精讲6】（22-23四年级上·湖南邵阳·期末）连接A、B两点，量出A、B两点间的距离为（ ）厘米，再以线段AB为一条边，画出一个正方形。
【答案】3；见详解
【分析】用线段将A、B两点连接起来，用尺子的0刻度线对准线段的端点A，尺子边沿与线段对齐，另一端点B所对的刻度就是线段A、B的长度；正方形的四个角是直角，四条边相等，据此以AB为正方形一边，画一个正方形即可。
【详解】A、B两点间的距离为3厘米，正方形如下图：
【点睛】本题主要考查学生对线段的认识，以及正方形特征的掌握。
【典例精讲7】（23-24四年级上·江苏常州·期末）两组平行线围成一个长方形，点O在长方形的正中间（如图）。如果点O到直线a的距离是15厘米，到直线c的距离是28厘米。这个长方形的周长是多少厘米？
【答案】172厘米
【分析】如下图，由于点O在长方形的正中间，点O到直线a的距离是15厘米，说明点O到直线b的距离也是15厘米，所以AB＝15×2＝30（厘米）；点O到直线c的距离是28厘米，说明点O到直线d的距离也是28厘米，所以AD＝28×2＝56（厘米）；长方形的长为56厘米，宽为30厘米，再根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”计算出长方形的周长即可。
【详解】15×2＝30（厘米）
28×2＝56（厘米）
（56＋30）×2
＝86×2
＝172（厘米）
答：这个长方形的周长是172厘米。
【典例精讲8】（23-24四年级上·山东潍坊·期末）运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。
（1）用线段画出两次跳远的距离。
（2）你所画的两条线段互相（ ）。（填“垂直”或“平行”）
【答案】（1）见详解
（2）平行
【分析】（1）把起跳线看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离；
（2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行。
【详解】
（1）如图：
（2）所画的两条线段互相平行。
【典例精讲9】（23-24四年级上·江苏宿迁·期末）把一张长方形纸的一个角折起来（如图），已知∠2＝130°，则∠1是多少度？
【答案】25°
【分析】把长方形纸折起来的部分展开，可以发现2个∠1加1个∠2等于180°，据此计算即可。
【详解】∠1＋∠1＋∠2＝180°，而∠2＝130°，则∠1＋∠1＝180°－130°＝50°，则∠1＝50°÷2＝25°。
答：∠1是25°。
【典例精讲10】（22-23四年级上·广东广州·期末）如图，在长方形ABCD中已知∠1＝80°，∠5＝40°。分别求出∠2、∠3和∠6的度数。
【答案】100°；80°；50°
【分析】∠1和∠2组成平角，平角是180°，∠2＝180°－∠1；
∠2和∠3组成平角，平角是180°，∠3＝180°－∠2；
长方形的四个角是直角为90°，∠6＝90°－∠5，依此解答即可。
【详解】因为∠1＝80°，所以，∠2＝180°－80°＝100°；
∠3＝180°－∠2＝180°－100°＝80°；
因为∠5＝40°，所以，∠6＝90°－40°＝50°；
答：∠2＝100°；∠3＝80°；∠6＝50°。
【点睛】明白平角和直角的度数，找到对应组成的角是解题关键。
【典例精讲11】（23-24四年级上·江苏徐州·期末）按要求完成：
（1）过点A画出已知直线的垂线；点A到直线的距离是（ ）毫米。
（2）以B为顶点，画出一条射线，使所画射线与已知直线形成60°的角。
【答案】（1）见详解图；20
（2）见详解
【分析】（1）过直线外一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的已知直线的垂线，两直线相交于C点；依此画图并标上垂直符号即可；
从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。用直尺的“0”刻度线和端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度，据此测量出线段AC的长度即可。
（2）使量角器的中心与给出的顶点重合，0刻度线与给出的射线重合；再在量角器上对准要画角的度数的刻度线，并点上一点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度；据此画图。
【详解】（1）点A到直线的距离是20毫米。
（1）、（2）如下图
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
应用题
1．（22-23四年级上·安徽阜阳·期末）已知，求∠2，∠3是多少度？
【答案】∠2＝45°；∠3＝45°
【分析】∠1与∠3组成了一个直角，那么∠3＝90°－∠1；∠2与135°组成了一个平角，那么∠2＝180°－135°。
【详解】∠3＝90°－45°＝45°
∠2＝180°－135°＝45°
【点睛】解答本题的关键是掌握直角等于90°，平角等于180°。
2．（22-23四年级上·广东广州·期末）如图，在长方形ABCD中已知∠1＝80°，∠5＝40°。分别求出∠2、∠3和∠6的度数。
【答案】100°；80°；50°
【分析】∠1和∠2组成平角，平角是180°，∠2＝180°－∠1；
∠2和∠3组成平角，平角是180°，∠3＝180°－∠2；
长方形的四个角是直角为90°，∠6＝90°－∠5，依此解答即可。
【详解】因为∠1＝80°，所以，∠2＝180°－80°＝100°；
∠3＝180°－∠2＝180°－100°＝80°；
因为∠5＝40°，所以，∠6＝90°－40°＝50°；
答：∠2＝100°；∠3＝80°；∠6＝50°。
【点睛】明白平角和直角的度数，找到对应组成的角是解题关键。
3．（23-24四年级上·江苏徐州·期末）（1）以O为顶点，已知射线为一条边，在它的下面画一个75°的角。
（2）过点A分别向角的两边画垂线。
（3）围成的四边形中有1个是钝角，这个钝角的度数是（ ）°。
【答案】（1）（2）见详解
（3）105°
【分析】（1）用量角器的圆点和射线的端点O重合，0刻度线和射线重合，在量角器75°的刻度上点上点，过射线的端点O和刚作的点，画射线即可。
（2）将三角板的一条直角边和角的一边重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与A点重合，过A点和三角板的直角顶点作直线，就是这条边的垂线；同样的方法即可作出过A点的角的另一条边的垂线。
（3）根据垂直的定义可知，围成的四边形中有2个直角，因为四边形的内角和是360度，所以另外两个角的度数之和是180度，已知一个角是75度，则另一个角就是105度，据此即可解答。
【详解】（1）（2）根据题干分析画图如下：
（3）由分析知，360°－75°－90°－90°＝105°
这个钝角的度数是105°。
4．（23-24四年级上·广东佛山·期末）张叔叔是个台球迷，他发现当台球撞击桌边时就会向另一个方向弹走，如图所示：
（1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，请你量一量，∠2＝（ ），∠4＝（ ）。
（2）如上图，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，你发现（ ）。
（3）请运用你发现的规律在上面图3中画出台球向另一个方向弹走的角度和路线。
【答案】（1）45°；50°
（2）这两个角相等
（3）见详解
【分析】（1）量角器可以分别量出∠2、∠4的度数（把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数）。
（2）根据量出的各角度数，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同，据此解答。
（3）根据以上发现，即可完成如图的台球运动线路图。
【详解】（1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，经测量∠2＝45°，∠4＝50°。
台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，发现这两个角相等。
（3）如图：
5．（23-24四年级上·山东潍坊·期末）运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。
（1）用线段画出两次跳远的距离。
（2）你所画的两条线段互相（ ）。（填“垂直”或“平行”）
【答案】（1）见详解
（2）平行
【分析】（1）把起跳线看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离；
（2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行。
【详解】
（1）如图：
（2）所画的两条线段互相平行。
6．（23-24四年级上·江苏常州·期末）两组平行线围成一个长方形，点O在长方形的正中间（如图）。如果点O到直线a的距离是15厘米，到直线c的距离是28厘米。这个长方形的周长是多少厘米？
【答案】172厘米
【分析】如下图，由于点O在长方形的正中间，点O到直线a的距离是15厘米，说明点O到直线b的距离也是15厘米，所以AB＝15×2＝30（厘米）；点O到直线c的距离是28厘米，说明点O到直线d的距离也是28厘米，所以AD＝28×2＝56（厘米）；长方形的长为56厘米，宽为30厘米，再根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”计算出长方形的周长即可。
【详解】15×2＝30（厘米）
28×2＝56（厘米）
（56＋30）×2
＝86×2
＝172（厘米）
答：这个长方形的周长是172厘米。
7．（23-24四年级上·河南洛阳·期末）如图，这是乡村振兴项目中，改造后白云小街街区的示意图。
（1）量一量，∠1＝（ ）°。
（2）建设路经过图书馆，与人民路平行。请在图中画出来。
（3）张村需要安装天然气管道，主管道在人民路上，你认为应该怎样安装管道最短？请在图中画出来。你这样画的理由是：（ ）。
【答案】（1）45
（2）见详解
（3）图片见详解，这样画的理由：直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。（2）画已知直线的平行线：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和已知点重合，过点沿三角板的直角边画直线即是已知直线的平行线。
（3）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使安装管道最短，则从张村向人民路作垂线，这条垂线即为所求。
【详解】（1）∠1＝45°；
（2）如图；
（3）如图：
这样画的理由：直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
【点睛】
8．（23-24四年级上·山东枣庄·期末）张村要修一条水泥路与公路相连，怎样修路最近？在图上画出来。这样修路最近的原因是什么？
【答案】见详解
【分析】把张村看做一个点，公路看做一条直线，根据垂线段最短的性质，画一条垂线。过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与公路重合，让三角尺的另一条直角边通过点张村，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是公路的垂线。因为点到直线之间垂线段最短。据此解答即可。
【详解】作图如下：
因为点到直线之间垂线段最短。
9．（22-23四年级上·海南海口·期末）量一量：如图所示的角是（ ）度。（取整度数）画一画：以A点为顶点，AB为一条边，在这个角内画一个60°的角。
【答案】120；画图见详解
【分析】（1）用量角器度量角的方法是：顶点与量角器的中心重合，角的一边与量角器的0刻度线重合，另一边所指的刻度就是这个角的度数。
（2）把量角器的中心与点A重合，0刻度线与AB重合，过量角器上60°刻度的点C作射线OC，∠BAC＝60°。
【详解】（1）量得这个角的度数是120度；
（2）以A点为顶点，AB为一条边，在这个角内画60°的角（∠BAC）：
【点睛】熟练掌握用量角器量角、画角的方法是解答此题的关键。
10．（23-24四年级上·安徽阜阳·期末）淘气在泳池里游泳，现在在A处，你能帮他设计一条最快游上岸的路线吗？在图中画出来。
【答案】见详解
【分析】在直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短；观察图意可知，要求一条最快游上岸的路线，则从A点向泳池上方的长边作垂线，这条垂线即为所求。
【详解】根据分析可得；
11．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）过A点画已知直线的垂线量一量，A点到已知直线的距离是（ ）厘米。
【答案】图见详解；2
【分析】把直角三角尺一条直角边与已知直线重合，使得点A在另一条直角边上，沿着这条直角边过点A向已知直线画线段即为所求的垂线；再把直尺的零刻度线与点A重合，垂线段与直线的交点指向直尺的哪个刻度，那么这条垂线段的长度就是几厘米。
【详解】
A点到已知直线的距离是2厘米。
12．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）过点A画出下面直线的垂线和平行线，并量出画图后平行线之间的距离大约是（ ）毫米。
【答案】图见详解；30（以实际测量为主）
【分析】用三角板画垂线：将三角板任意放到纸上，沿着三角板的两条直角边画两条线， 这两条线就互相垂直。也可以先用直尺任意画一条直线，然后将三角板的一 条直角边与这条直线重合，沿三角板的另一条直角边画线与这条直线相交，这样画的两条线互相垂直；画平行线的方法：（1）用三角板的一条直角边与已知直线重合。 （2）用直尺紧靠三角板的另一条边。（3）沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点。（4）沿着这条直角边画一条直线，所画的直线与已知直线平行。再用直尺测量出平行线之间的距离，0刻度线对齐A点。
【详解】根据垂线和平行线的作图方法，作图如下：
用直尺测量出平行线之间的距离为30毫米。（以实际测量为主）
13．（22-23四年级上·江苏宿迁·期末）过点A画已知直线的垂线和平行线，并量出点A到已知直线的距离。点A到已知直线的距离（ ）毫米。
【答案】见详解
【分析】平行线的画法：固定三角尺，使其一条直角边和已知直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点A位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，这条直线就是已知直线的平行线；过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，让三角尺的另一条直角边通过点A，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线，根据长度的测量方法：用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是点A到已知直线的距离。
【详解】
20毫米
过点A画已知直线的垂线和平行线，并量出点A到已知直线的距离。点A到已知直线的距离20毫米。
14．（22-23四年级上·江苏南通·期末）根据要求在图中量一量，画一画。
（1）用量角器量出∠AOB是（ ）°。
（2）过A点作OB边的垂线。
（3）过B点作OA边的平行线。
【答案】（1）35
（2）（3）图见详解过程
【分析】（1）用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数；
（2）过直线外一点画已知直线的垂线的方法：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边过直线外的一点，沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线，最后再标出直角符合；
（3）过直线外一点画已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上，沿直角边画出另一条直线即可。
【详解】（1）用量角器量出∠AOB是35°。
（2）过A点作OB边的垂线。作图如下：
（3）过B点作OA边的平行线。作图如下：
15．（22-23四年级上·江苏常州·期末）
（1）上图的平行四边形中，∠B＝（ ）°。
（2）以A为顶点，AD为一条边，画一个60°的角。
（3）一只小蚂蚁在图中的黑点处，它想快点爬到平行四边形的边线上，请你帮它设计一条最近的爬行路线，在图中画出来。
【答案】（1）60°
（2）见详解
（3）见详解
【分析】（1）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点B重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；
（2）画角时先使量角器的中心点和A点重合，0刻度线和AD重合，在量角器上找到60°处点一个点，以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，在角内标上角的符号和度数；
（3）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。据此可知，要求一条最近到边线的路线，则从黑点向下面的那条边作垂线，这条垂线即为所求。
【详解】（1）经测量，∠B＝60°。
（2）（3）作图如下：
16．（22-23四年级上·江苏淮安·期末）操作题。
（1）过A点作已知直线的平行线。
（2）量出A点到直线的距离是（ ）毫米。
（3）以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成120°的角，并标为∠1。
【答案】（1）（3）见详解
（2）14
【分析】（1）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。
（2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此先过A点作直线的垂线，再用直尺量出A点到直线的距离。
（3）使量角器的中心和B点重合，0°刻度线和直线重合。在量角器120°刻度线的地方点一个点。以B点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出120°的角，并标为∠1。
【详解】（1）（3）
（2）量出A点到直线的距离是14毫米。
17．（22-23四年级上·贵州毕节·期末）操作。
（1）请过A点画一条直线，使它与中山路平行。
（2）要从A点修一条路到达中山路，怎样修最短？请在图中画出来。
【答案】（1）见详解
（2）沿着过A点到中山路的垂线段修最短；画图见详解
【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可；
（2）直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，画A点到中山路的垂线段，沿垂线段修路最短。
【详解】（1）画图如下：
（2）由分析知，画A点到中山路的垂线段，沿垂线段修路最短。画图如下：
18．（22-23四年级上·江苏南京·期末）操作。
（1）量出图中角的度数，并在图中标出来。
（2）过点M画射线OB的垂直线段MN，垂足为N。过点M作射线OA的平行线MQ，交OB于点Q。
（3）点M到射线OB的距离是（ ）厘米。
【答案】（1）（2）见详解；（3）4
【分析】（1）用量角器量角的度数：首先把量角器放在所画角的上面，然后找到角的顶点，使量角器的中心位置和角O的顶点重合，然后使角的一边OB和零刻度线重合（两个重合很重要）。然后找到角的另外一边OA，看角的另外一边OA落在量角器的哪个刻度上，此时这个角的度数就是多少；
（2）过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与直线OB重合，让三角尺的另一条直角边通过点M，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是直线OB的垂线MN。
平行线的画法：固定三角尺，使其一条直角边和直线OA重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点M位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，这条直线就是直线OA的平行线MQ；
（3） 用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点M重合，另一个端点在直线OB的N点在直尺上的刻度，就是该线段的长度。
【详解】（1）（2）如图：
（3）点M到射线OB的距离是4厘米。
19．（23-24四年级上·江苏徐州·期末）按要求完成：
（1）过点A画出已知直线的垂线；点A到直线的距离是（ ）毫米。
（2）以B为顶点，画出一条射线，使所画射线与已知直线形成60°的角。
【答案】（1）见详解图；20
（2）见详解
【分析】（1）过直线外一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的已知直线的垂线，两直线相交于C点；依此画图并标上垂直符号即可；
从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。用直尺的“0”刻度线和端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度，据此测量出线段AC的长度即可。
（2）使量角器的中心与给出的顶点重合，0刻度线与给出的射线重合；再在量角器上对准要画角的度数的刻度线，并点上一点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度；据此画图。
【详解】（1）点A到直线的距离是20毫米。
（1）、（2）如下图
20．（22-23四年级上·山东潍坊·期末）（1）小兔和小猴是好朋友，它们经常到对方家里去做客，于是两个好朋友商量，要在两家之间修一条最近的路，请你将两家门口A、B的最短路线画一画，并说明这样画的理由____________________。
（2）如果小兔和小猴分别从水管主道接一条水管到自己家，怎样接用的材料最少？请你画一画。
【答案】（1）画图见详；两点之间，线段距离最短。
（2）见详解
【分析】（1）两点之间，线段距离最短，依此画图并解答即可。
（2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。
过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。
【详解】（1）、（2）画图如下：
（1）这样画的理由是：两点之间，线段距离最短。
【点睛】此题考查了两点间线段最短与两点间的距离，以及过直线外一点作垂线，应熟练掌握垂直的特点。
21．（23-24四年级上·辽宁大连·期末）在图中分别找出一个锐角、直角、钝角、平角。
【答案】见详解
【分析】小于90度的角是锐角，等于90度的角是直角，大于90度小于180度的角是钝角，等于180度的角是平角，等于360度的角是周角；据此即可解答。
【详解】观察上图可知，∠EBF是锐角，∠EBC是直角，∠FBC是钝角，∠ABC是平角。
22．（23-24四年级上·江苏宿迁·期末）把一张长方形纸的一个角折起来（如图），已知∠2＝130°，则∠1是多少度？
【答案】25°
【分析】把长方形纸折起来的部分展开，可以发现2个∠1加1个∠2等于180°，据此计算即可。
【详解】∠1＋∠1＋∠2＝180°，而∠2＝130°，则∠1＋∠1＝180°－130°＝50°，则∠1＝50°÷2＝25°。
答：∠1是25°。
23．（22-23四年级上·江苏镇江·期末）画一画，填一填。
①过A点作已知直线的垂线。
②量出A点到直线的距离是（ ）毫米。
③以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成70°的角。
【答案】①见详解
②25
③见详解
【分析】①用直角三角尺的一条直角边和直线重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点A重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可。
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离。量出点A到已知直线的垂线段的长度即可。
③使量角器的中心点和B点重合，0刻度线和已知直线重合，在量角器上找到70°度数的地方点一个点，以B点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，组成的图形就是70°的角，在角内标上角的符号和度数。
【详解】①如图
②量出A点到直线的距离是（25）毫米。
③如图
24．（23-24四年级上·江苏南京·期末）下图是某街区的示意图。
（1）用量角器量出∠l＝（ ）°。
（2）解放路在胜利小学的西北面，与和平路平行，并且在图上量得胜利小学与解放路的距离是1厘米。在图上利用一条直线表示解放路。
（3）胜利小区铺设天然气管道，主管道在华山路，怎么铺最节省材料？把它画出来。
【答案】（1）40
（2）见详解
（3）见详解
【分析】（1）用量角器量角的度数方法，把量角器的中心点与角的顶点重合，0度刻度线与所画的边重合，另一条边所在的刻度线，就是这个角的度数。
（2）根据题图可知上方表示的方向是北，则西北面就在左上方；据此用直角三角尺一条直角边与和平路重合，过胜利小学向左上方做和平路的垂线段，使其长度为1厘米，再过垂线段的左上方的端点画和平路的平行线，把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和已知点重合，过点沿三角板的直角边画直线即是已知直线的平行线；
（3）点到直线的距离，垂线段最短，过胜利小区的点向华山路做垂线段，此时距离最短，最节省材料。
【详解】（1）经测量，∠l＝40°。
（2）（3）作图如下：
25．（23-24四年级上·湖北随州·期末）下图是挂在墙上“安全出口”的指示牌，请验证一下，挂歪了吗？你是如何验证的？
【答案】见详解
【分析】根据题意，要使指示牌挂正了，则指示牌的长应和墙壁所在的线段是互相平行的。根据平行线的性质可知，平行线之间的距离处处相等。则只需要量出指示牌与墙壁之间的两条绳子的长度，若两条绳子一样长，则指示牌挂正了。若两条绳子不一样长，则指示牌挂歪了。
【详解】通过测量可知，指示牌与墙壁之间的两条绳子不一样长，则指示牌挂歪了。
26．（23-24四年级上·四川巴中·期末）如图所示，一张画有一个角的纸损坏了，请你画一画想办法量出角的度数。这个角是（ ）度。
【答案】画一画见详解；60
【分析】角的两边是以角的顶点为公共端点的两条射线，反方向延长这两条射线会相交于一点，这点就是角的顶点，然后用量角器量出这个角的度数。
【详解】
根据用量角器量角的方法：这个角量出来是60度。
27．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）运动会跳远比赛时，每个运动员都有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩。张阳在跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中的位置。
（1）用线段画出两次跳远的距离。
（2）你画的两条线段互相（ ）。（填：“垂直”或“平行”）
（3）张阳两次成绩分别为220厘米和196厘米，李康的成绩分别为：215厘米、205厘米和210厘米。你认为他俩谁会获胜？说说你的理由。
【答案】（1）见详解；
（2）平行；
（3）张阳；因为比赛规则是以最好的一次成绩作为最终成绩（理由答案不唯一）
【分析】（1）从图中2个位置分别画2条到踏跳板的垂线段，过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；
（2）同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况；
（3）根据比赛规则，因为是以最好的一次成绩作为最终成绩，先分别比较出各自最好的成绩，再比较两人最好的成绩即可；据此解答。
【详解】根据分析：
（1）
（2）我画的两条线段互相平行。
（3）张阳：220＞196
李康：215＞210＞205
220＞215
答：我认为张阳会获胜，因为比赛规则是以最好的一次成绩作为最终成绩。（理由答案不唯一）
28．（23-24四年级上·河南平顶山·期末）下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。
（1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。
（2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。
（3）用量角器可以量出，∠1的度数是（ ）°。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）60
【分析】（1）作经过红旗广场与城北路平行的平行线，过直线外一点画平行线：固定三角尺，将一条直角边与城北路重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移后与红旗广场重合，沿直角边画出另一条直线；
（2）作红十字医院到城北路的垂线，过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与城北路重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的红十字医院在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；
（3）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此解答。
【详解】根据分析：
（1）（2）如图：
（3）用量角器可以量出，∠1的度数是60°。
29．（23-24四年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个长方形纸折叠后，∠2＝75°，∠1是多少度？（在图中标出你需要的数据）
【答案】图见详解；30°
【分析】如下图所示，∠2是∠3折叠上去的角，那么∠3＝∠2＝75°，∠1、∠2和∠3组成了一个平角，1平角＝180°，那么∠1＝180°－∠2－∠3，据此代入数据解答即可。
【详解】数据标注如下图所示：
∠3＝∠2＝75°
180°－75°－75°
＝105°－75°
＝30°
答：∠1是30°。
30．（22-23四年级上·河南洛阳·期末）小浪底南岸灌区是国务院确定的172项国家重大节水供水工程之一，也是河南省委省政府确定的“四水同治”10项重大水利工程之一。开发任务以农业灌溉和城乡供水为主，涉及洛阳孟津、偃师、老城、西工、瀍河、洛龙和郑州巩义等7个县（市、区），建设内容包括12条干渠、30条支渠、1条城镇供水管线和田间配套工程等，渠道总长约305公里，总工期36个月。工程设计灌溉面积53.68万亩，为城镇供水2064万立方米，估算投资34.78亿元。A、B点是两个蓄水池，在水池与干渠间挖最短的连接支渠，你会选择线段a、b、c、d、e、f、g中哪两条？并说明理由。
【答案】b，f；理由见详解
【分析】线段a、b、c、d、e、f、g 都是从一个点到直线的距离，要在水池与干渠间挖最短的连接支渠，就需要判断那条线最短，可以根据点到直线间关系来判断。
【详解】点到直线的距离，垂线最短。从图中可以看到只有b，f 这两条线段是垂直干渠。
【点睛】解决这题关键在于知道点到直线间最短的是垂线，会判断两条线间关系。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第八单元 《垂线与平行线》 单元复习讲义（讲义）
四年级数学上册专项精练（知识梳理+易错集锦+典例精讲+专项精练）
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1、核心素养目标：
（1）发展学生的空间观念，能够理解并掌握垂线和平行线的基本概念和性质。
（2）培养学生的几何直观能力，通过观察、操作和推理，能够识别和构造垂线和平行线。
（3）强化学生的逻辑推理能力，通过证明和应用垂线和平行线的性质，解决实际问题。
2、学习目标：
（1）学生能够理解垂线和平行线的定义，掌握垂线的性质，以及平行线的判定方法和性质。
（2）通过实际操作和几何画图工具，学生能够独立作出垂线和平行线，并能通过逻辑推理证明相关几何性质。
（3）情激发学生对几何图形美的认识和欣赏，培养学生在学习过程中认真、细致、严谨的态度，以及探索和解决问题的兴趣。
（4）学生能够将垂线和平行线的知识应用到解决实际问题中。
1、把线段的一端无限延长，就得到了一条射线。把线段的两端都无限延长，就得到了一条直线。线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点。线段可以量出长度，射线和直线都是无限长的。连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。
2、角的认识：从一点引出的两条射线可以组成角，这个点叫作角的顶点，两条射线叫作角的边。一个角有两条边和一个顶点。
1、为了准确测量角的大小，要有统一的度量工具和计量单位。量角器是度量角的工具。
2、角的度量：量角器是半圆形的。把半圆分成180等份，每一份所对的角是1度的角。内圈刻度和外圈刻度分别按逆时针和顺时针方向排列。
3、用量角器度量角的大小的基本方法：
（1）点点重合，量角器的中心与角的顶点重合；
（2）线边重合，量角器的0°刻度线与角的一条边重合；
（3）另一条边所对的刻度就是这个角的度数。
1、角的分类及角的关系：直角等于90°,锐角小于90°，钝角大于90°且小于180°，平角等于180°，周角等于360°，即1周角=2平角=4直角。
2、画指定度数的角的方法：
（1）先画一条射线;点点重合，即量角器的中心和射线的端点重合；
（2）边边重合，即0°刻度线和所画射线重合;
（3）找点连线，即找出要画角的度数对应的刻度，在上面画一个点，从端点出发过这个点画一条射线，标出度数。
1、认识垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。
2、点到直线的距离：点到直线的距离是点到直线的垂直线段的长度。从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段的长度最短。
画垂线有两个重合：一是三角尺的一条直角边与已知直线重合；二是点在直线上时，三角尺的直角顶点与这一点重合，点在直线外时，三角尺的另一条直角边经过这一点。
1、认识平行：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
2、画平行线：（1）过直线外一点，画已知直线的平行线的方法：①使三角尺的一条直角边与已知直线重合；②使直尺靠在三角尺另一条直角边上；③移动三角尺，使其一条直角边经过直线外已知点，沿着三角尺另一条直角边画一条直线。（2）过直线外一点，画已知直线的平行线只能画一条。
1、综合应用有关角的度量、统计和计算的知识，体验物体在多少度的斜坡上滚得更远一些。积累数学与生活的广泛联系，体会数学的应用价值。
2、发挥想象能力，培养探索精神与合作意识，激发学习数学的兴趣。
五大易错知识点
1.射线和直线都是无限长的，射线可以向一端无限延长，直线可以向两端无限延长；经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。
2.从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这一点是角的顶点，这两条射线是角的边。角有一个顶点和两条边，角的两边可以无限延长。角通常用符号“∠”来表示。
3.为了准确测量出角的大小，要有统一的计量单位和度量工具。
4.量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份，每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别按逆时针和顺时针方向排列。
5.用量角器测量角的大小的基本方法和操作要领可以概括为“三个重合，一个注意”。三个重合：一是点点重合，即中心点与顶点重合；二是线边重合，即0°刻度线与一条边重合；三是线边重合，即刻度线与另一条边重合，读出度数。一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混合使用。
【典例精讲1】（22-23四年级上·山东潍坊·期末）（1）小兔和小猴是好朋友，它们经常到对方家里去做客，于是两个好朋友商量，要在两家之间修一条最近的路，请你将两家门口A、B的最短路线画一画，并说明这样画的理由____________________。
（2）如果小兔和小猴分别从水管主道接一条水管到自己家，怎样接用的材料最少？请你画一画。
【答案】（1）画图见详；两点之间，线段距离最短。
（2）见详解
【分析】（1）两点之间，线段距离最短，依此画图并解答即可。
（2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。
过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。
【详解】（1）、（2）画图如下：
（1）这样画的理由是：两点之间，线段距离最短。
【点睛】此题考查了两点间线段最短与两点间的距离，以及过直线外一点作垂线，应熟练掌握垂直的特点。
【典例精讲2】（23-24四年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个长方形纸折叠后，∠2＝75°，∠1是多少度？（在图中标出你需要的数据）
【答案】图见详解；30°
【分析】如下图所示，∠2是∠3折叠上去的角，那么∠3＝∠2＝75°，∠1、∠2和∠3组成了一个平角，1平角＝180°，那么∠1＝180°－∠2－∠3，据此代入数据解答即可。
【详解】数据标注如下图所示：
∠3＝∠2＝75°
180°－75°－75°
＝105°－75°
＝30°
答：∠1是30°。
【典例精讲3】（23-24四年级上·河南平顶山·期末）下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。
（1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。
（2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。
（3）用量角器可以量出，∠1的度数是（ ）°。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）60
【分析】（1）作经过红旗广场与城北路平行的平行线，过直线外一点画平行线：固定三角尺，将一条直角边与城北路重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移后与红旗广场重合，沿直角边画出另一条直线；
（2）作红十字医院到城北路的垂线，过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与城北路重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的红十字医院在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；
（3）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此解答。
【详解】根据分析：
（1）（2）如图：
（3）用量角器可以量出，∠1的度数是60°。
【典例精讲4】（23-24四年级上·河南洛阳·期末）如图，这是乡村振兴项目中，改造后白云小街街区的示意图。
（1）量一量，∠1＝（ ）°。
（2）建设路经过图书馆，与人民路平行。请在图中画出来。
（3）张村需要安装天然气管道，主管道在人民路上，你认为应该怎样安装管道最短？请在图中画出来。你这样画的理由是：（ ）。
【答案】（1）45
（2）见详解
（3）图片见详解，这样画的理由：直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。（2）画已知直线的平行线：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和已知点重合，过点沿三角板的直角边画直线即是已知直线的平行线。
（3）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使安装管道最短，则从张村向人民路作垂线，这条垂线即为所求。
【详解】（1）∠1＝45°；
（2）如图；
（3）如图：
这样画的理由：直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。
【典例精讲5】（23-24四年级上·山东枣庄·期末）张村要修一条水泥路与公路相连，怎样修路最近？在图上画出来。这样修路最近的原因是什么？
【答案】见详解
【分析】把张村看做一个点，公路看做一条直线，根据垂线段最短的性质，画一条垂线。过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与公路重合，让三角尺的另一条直角边通过点张村，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是公路的垂线。因为点到直线之间垂线段最短。据此解答即可。
【详解】作图如下：
因为点到直线之间垂线段最短。
【典例精讲6】（22-23四年级上·湖南邵阳·期末）连接A、B两点，量出A、B两点间的距离为（ ）厘米，再以线段AB为一条边，画出一个正方形。
【答案】3；见详解
【分析】用线段将A、B两点连接起来，用尺子的0刻度线对准线段的端点A，尺子边沿与线段对齐，另一端点B所对的刻度就是线段A、B的长度；正方形的四个角是直角，四条边相等，据此以AB为正方形一边，画一个正方形即可。
【详解】A、B两点间的距离为3厘米，正方形如下图：
【点睛】本题主要考查学生对线段的认识，以及正方形特征的掌握。
【典例精讲7】（23-24四年级上·江苏常州·期末）两组平行线围成一个长方形，点O在长方形的正中间（如图）。如果点O到直线a的距离是15厘米，到直线c的距离是28厘米。这个长方形的周长是多少厘米？
【答案】172厘米
【分析】如下图，由于点O在长方形的正中间，点O到直线a的距离是15厘米，说明点O到直线b的距离也是15厘米，所以AB＝15×2＝30（厘米）；点O到直线c的距离是28厘米，说明点O到直线d的距离也是28厘米，所以AD＝28×2＝56（厘米）；长方形的长为56厘米，宽为30厘米，再根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”计算出长方形的周长即可。
【详解】15×2＝30（厘米）
28×2＝56（厘米）
（56＋30）×2
＝86×2
＝172（厘米）
答：这个长方形的周长是172厘米。
【典例精讲8】（23-24四年级上·山东潍坊·期末）运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。
（1）用线段画出两次跳远的距离。
（2）你所画的两条线段互相（ ）。（填“垂直”或“平行”）
【答案】（1）见详解
（2）平行
【分析】（1）把起跳线看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离；
（2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行。
【详解】
（1）如图：
（2）所画的两条线段互相平行。
【典例精讲9】（23-24四年级上·江苏宿迁·期末）把一张长方形纸的一个角折起来（如图），已知∠2＝130°，则∠1是多少度？
【答案】25°
【分析】把长方形纸折起来的部分展开，可以发现2个∠1加1个∠2等于180°，据此计算即可。
【详解】∠1＋∠1＋∠2＝180°，而∠2＝130°，则∠1＋∠1＝180°－130°＝50°，则∠1＝50°÷2＝25°。
答：∠1是25°。
【典例精讲10】（22-23四年级上·广东广州·期末）如图，在长方形ABCD中已知∠1＝80°，∠5＝40°。分别求出∠2、∠3和∠6的度数。
【答案】100°；80°；50°
【分析】∠1和∠2组成平角，平角是180°，∠2＝180°－∠1；
∠2和∠3组成平角，平角是180°，∠3＝180°－∠2；
长方形的四个角是直角为90°，∠6＝90°－∠5，依此解答即可。
【详解】因为∠1＝80°，所以，∠2＝180°－80°＝100°；
∠3＝180°－∠2＝180°－100°＝80°；
因为∠5＝40°，所以，∠6＝90°－40°＝50°；
答：∠2＝100°；∠3＝80°；∠6＝50°。
【点睛】明白平角和直角的度数，找到对应组成的角是解题关键。
【典例精讲11】（23-24四年级上·江苏徐州·期末）按要求完成：
（1）过点A画出已知直线的垂线；点A到直线的距离是（ ）毫米。
（2）以B为顶点，画出一条射线，使所画射线与已知直线形成60°的角。
【答案】（1）见详解图；20
（2）见详解
【分析】（1）过直线外一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的已知直线的垂线，两直线相交于C点；依此画图并标上垂直符号即可；
从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。用直尺的“0”刻度线和端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是该线段的长度，据此测量出线段AC的长度即可。
（2）使量角器的中心与给出的顶点重合，0刻度线与给出的射线重合；再在量角器上对准要画角的度数的刻度线，并点上一点；然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度；据此画图。
【详解】（1）点A到直线的距离是20毫米。
（1）、（2）如下图
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
应用题
1．（22-23四年级上·安徽阜阳·期末）已知，求∠2，∠3是多少度？
2．（22-23四年级上·广东广州·期末）如图，在长方形ABCD中已知∠1＝80°，∠5＝40°。分别求出∠2、∠3和∠6的度数。
3．（23-24四年级上·江苏徐州·期末）（1）以O为顶点，已知射线为一条边，在它的下面画一个75°的角。
（2）过点A分别向角的两边画垂线。
（3）围成的四边形中有1个是钝角，这个钝角的度数是（ ）°。
4．（23-24四年级上·广东佛山·期末）张叔叔是个台球迷，他发现当台球撞击桌边时就会向另一个方向弹走，如图所示：
（1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，请你量一量，∠2＝（ ），∠4＝（ ）。
（2）如上图，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，你发现（ ）。
（3）请运用你发现的规律在上面图3中画出台球向另一个方向弹走的角度和路线。
5．（23-24四年级上·山东潍坊·期末）运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。
（1）用线段画出两次跳远的距离。
（2）你所画的两条线段互相（ ）。（填“垂直”或“平行”）
6．（23-24四年级上·江苏常州·期末）两组平行线围成一个长方形，点O在长方形的正中间（如图）。如果点O到直线a的距离是15厘米，到直线c的距离是28厘米。这个长方形的周长是多少厘米？
7．（23-24四年级上·河南洛阳·期末）如图，这是乡村振兴项目中，改造后白云小街街区的示意图。
（1）量一量，∠1＝（ ）°。
（2）建设路经过图书馆，与人民路平行。请在图中画出来。
（3）张村需要安装天然气管道，主管道在人民路上，你认为应该怎样安装管道最短？请在图中画出来。你这样画的理由是：（ ）。
8．（23-24四年级上·山东枣庄·期末）张村要修一条水泥路与公路相连，怎样修路最近？在图上画出来。这样修路最近的原因是什么？
9．（22-23四年级上·海南海口·期末）量一量：如图所示的角是（ ）度。（取整度数）画一画：以A点为顶点，AB为一条边，在这个角内画一个60°的角。
10．（23-24四年级上·安徽阜阳·期末）淘气在泳池里游泳，现在在A处，你能帮他设计一条最快游上岸的路线吗？在图中画出来。
11．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）过A点画已知直线的垂线量一量，A点到已知直线的距离是（ ）厘米。
12．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）过点A画出下面直线的垂线和平行线，并量出画图后平行线之间的距离大约是（ ）毫米。
13．（22-23四年级上·江苏宿迁·期末）过点A画已知直线的垂线和平行线，并量出点A到已知直线的距离。点A到已知直线的距离（ ）毫米。
14．（22-23四年级上·江苏南通·期末）根据要求在图中量一量，画一画。
（1）用量角器量出∠AOB是（ ）°。
（2）过A点作OB边的垂线。
（3）过B点作OA边的平行线。
15．（22-23四年级上·江苏常州·期末）
（1）上图的平行四边形中，∠B＝（ ）°。
（2）以A为顶点，AD为一条边，画一个60°的角。
（3）一只小蚂蚁在图中的黑点处，它想快点爬到平行四边形的边线上，请你帮它设计一条最近的爬行路线，在图中画出来。
16．（22-23四年级上·江苏淮安·期末）操作题。
（1）过A点作已知直线的平行线。
（2）量出A点到直线的距离是（ ）毫米。
（3）以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成120°的角，并标为∠1。
17．（22-23四年级上·贵州毕节·期末）操作。
（1）请过A点画一条直线，使它与中山路平行。
（2）要从A点修一条路到达中山路，怎样修最短？请在图中画出来。
18．（22-23四年级上·江苏南京·期末）操作。
（1）量出图中角的度数，并在图中标出来。
（2）过点M画射线OB的垂直线段MN，垂足为N。过点M作射线OA的平行线MQ，交OB于点Q。
（3）点M到射线OB的距离是（ ）厘米。
19．（23-24四年级上·江苏徐州·期末）按要求完成：
（1）过点A画出已知直线的垂线；点A到直线的距离是（ ）毫米。
（2）以B为顶点，画出一条射线，使所画射线与已知直线形成60°的角。
20．（22-23四年级上·山东潍坊·期末）（1）小兔和小猴是好朋友，它们经常到对方家里去做客，于是两个好朋友商量，要在两家之间修一条最近的路，请你将两家门口A、B的最短路线画一画，并说明这样画的理由____________________。
（2）如果小兔和小猴分别从水管主道接一条水管到自己家，怎样接用的材料最少？请你画一画。
21．（23-24四年级上·辽宁大连·期末）在图中分别找出一个锐角、直角、钝角、平角。
22．（23-24四年级上·江苏宿迁·期末）把一张长方形纸的一个角折起来（如图），已知∠2＝130°，则∠1是多少度？
23．（22-23四年级上·江苏镇江·期末）画一画，填一填。
①过A点作已知直线的垂线。
②量出A点到直线的距离是（ ）毫米。
③以B点为顶点，引一条射线与已知直线相交组成70°的角。
24．（23-24四年级上·江苏南京·期末）下图是某街区的示意图。
（1）用量角器量出∠l＝（ ）°。
（2）解放路在胜利小学的西北面，与和平路平行，并且在图上量得胜利小学与解放路的距离是1厘米。在图上利用一条直线表示解放路。
（3）胜利小区铺设天然气管道，主管道在华山路，怎么铺最节省材料？把它画出来。
25．（23-24四年级上·湖北随州·期末）下图是挂在墙上“安全出口”的指示牌，请验证一下，挂歪了吗？你是如何验证的？
26．（23-24四年级上·四川巴中·期末）如图所示，一张画有一个角的纸损坏了，请你画一画想办法量出角的度数。这个角是（ ）度。
27．（22-23四年级上·江苏盐城·期末）运动会跳远比赛时，每个运动员都有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩。张阳在跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中的位置。
（1）用线段画出两次跳远的距离。
（2）你画的两条线段互相（ ）。（填：“垂直”或“平行”）
（3）张阳两次成绩分别为220厘米和196厘米，李康的成绩分别为：215厘米、205厘米和210厘米。你认为他俩谁会获胜？说说你的理由。
28．（23-24四年级上·河南平顶山·期末）下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。
（1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。
（2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。
（3）用量角器可以量出，∠1的度数是（ ）°。
29．（23-24四年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个长方形纸折叠后，∠2＝75°，∠1是多少度？（在图中标出你需要的数据）
30．（22-23四年级上·河南洛阳·期末）小浪底南岸灌区是国务院确定的172项国家重大节水供水工程之一，也是河南省委省政府确定的“四水同治”10项重大水利工程之一。开发任务以农业灌溉和城乡供水为主，涉及洛阳孟津、偃师、老城、西工、瀍河、洛龙和郑州巩义等7个县（市、区），建设内容包括12条干渠、30条支渠、1条城镇供水管线和田间配套工程等，渠道总长约305公里，总工期36个月。工程设计灌溉面积53.68万亩，为城镇供水2064万立方米，估算投资34.78亿元。A、B点是两个蓄水池，在水池与干渠间挖最短的连接支渠，你会选择线段a、b、c、d、e、f、g中哪两条？并说明理由。
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