第七单元 《解决问题的策略》 单元复习讲义（讲义）
五年级数学上册专项精练（知识梳理+素养目标+典例精讲+专项精练）
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1、核心素养目标：
本单元的教学旨在培育学生运用数学知识与方法应对现实问题的技能，同时增进其逻辑思维与问题解决的能力。通过本单元的学习，学生应能掌握并应用列表、绘图、假设设定、逆向思维等策略，以分析和解决复杂问题。此外，学生应通过合作学习，养成积极主动探索问题的习惯，并培养创新意识与实践技能。
2、学习目标：
（1） 学生应能理解并掌握解决问题的基本策略。
（2） 学生应能依据问题的具体情况，灵活运用适当的策略进行问题解决。
（3） 学生应能通过解决实际问题，深化对数学概念和运算规则的理解。
（4） 学生应在解决问题的过程中，培养逻辑推理与批判性思维能力。
（5） 学生应能通过小组合作，学会倾听他人意见，共同探讨问题解决方法，提升团队协作能力。
用列举法解决围长方形的最大面积问题：先求出长方形的长与宽的和，再列表找出不同的围法；对列举的结果进行比较，找到符合要求的答案。
用列举的策略解决比赛场次问题
1、文字列举：列举每次比赛场次的组合。
2、画图列举：几支球队就画几个点，再用两点之间的连线表示球队之间所进行的比赛，连线有几条，就有几场比赛。
【典例精讲1】（23-24五年级上·江苏扬州·期末）新年快到了，4个好朋友互相通话问候，每两个同学之间通1次电话，一共要通( )次电话；如果他们改为互发祝福微信，共要发( )条微信。
【答案】 6 12
【分析】用①②③④表示四个好朋友，如图，从①号开始，确定通话次数；将通话次数×2＝发微信次数。
【详解】3＋2＋1＝6（次）
6×2＝12（条）
一共要通6次电话；如果他们改为互发祝福微信，共要发12条微信。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
一、填空题
1．（22-23五年级上·江苏扬州·期末）用2、3、5这三张数字卡片可以组成( )个不同的三位数，用2、3、0这三张数字卡片可以组成( )个不同的三位数。
2．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）新年快到了，张杰和他的5个朋友每两人之间打一次拜年电话，一共要通( )次电话；如果互相寄贺卡，一共要寄( )张贺卡。
3．（22-23五年级上·江苏徐州·期末）小丽和她的三位好朋友在元旦前互赠贺卡，每人每次赠送一张，一共需要( )张贺卡。
4．（22-23五年级上·江苏·期末）由无锡开往镇江的客车，每隔15分钟发一辆，早上6：10发第一辆，第5辆是( )发车，上午8时( )（填“有”或“没有”）车发出。
5．（22-23五年级上·江苏连云港·期末）2023年春节马上到了，小华、小丽、小军和小平4个好朋友要打电话互相问候，一共要通( )次电话。
6．（22-23五年级上·江苏连云港·期末）用0、1、2三个数字，一共能组成( )个不同的三位数。
7．（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）小红、晓明、小丽三个好朋友在拍合影，如果他们站成一排拍合影照，那么共有( )种不同的站法。
8．（22-23五年级上·江苏连云港·期末）少先队大队部打算从3名男生和3名女生中选出1名男生和1名女生去主持大队活动，一共有( )种不同的选法。
9．（22-23五年级上·江苏盐城·期末）用小棒围正方形（如图），像这样围成4个正方形，需要( )根小棒；围成n个正方形需要( )根小棒。
10．（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）小强、小华和小丽是好朋友。如果他们互相寄一张节日贺卡，一共要寄( )张贺卡；如果他们每两人之间通一次电话，一共要通( )次电话。
11．（22-23五年级上·江苏常州·期末）五星超市里有三种茶杯，单价分别是6.8元/个、4.2元/个和2.9元/个；有两种茶盘，单价分别是12元/个、8元/个。买一个茶杯，配一个茶盘，一共有( )种搭配，一套最多用( )元。
12．（22-23五年级上·江苏南通·期末）2022年卡塔尔世界杯中，每小组有4支球队进行循环赛，每两队比赛一场，每小组一共要比( )场；小组赛结束后，有16支球队进入淘汰赛（每场比赛淘汰一支球队），一共要比( )场，才能最终决出冠军。
13．（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）用1，3，6三个数字，一共可以组成( )个三位数。
1．（22-23五年级上·江苏盐城·期末）如图，欢欢从家出发，经过展览馆去图书馆，一共有( )条路线可以选择。
15．（22-23五年级上·江苏徐州·期末）新沂体育场举行一年一度的小学生足球比赛，有8支球队参加，如果每两支球队比赛一场，一共要比赛( )场。
16．（22-23五年级上·江苏南京·期末）国际象棋又称西洋棋，是一种二人对弈的棋类游戏。小明、小刚、小红、小玲、小华五人进行国际象棋比赛，每两人只比赛一场，一共要比赛( )场。
17．（23-24五年级上·江苏盐城·期末）学校开展游园活动，每个学生只能参加吹蜡烛、贴鼻子、过独木桥、夹玻璃球、吹气球五种活动中的两种，每个学生共有( )种选择。
18．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）卡塔尔世界杯中，参加世界杯的32支球队（俗称32强）每4支球队为一组，共分成8组。在第一轮单循环赛中，每个队都必须且只能分别和本小组其它队进行一场比赛，小组赛8个组共进行( )场比赛；每组前2名共16支球队进入淘汰赛，决出冠军，需要进行( )场比赛。
19．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）15支足球队参加比赛，每场比赛淘汰1支球队，一共要进行( )场比赛才能产生冠军。
20．（23-24五年级上·江苏南京·期末）用数字卡片8、2、5一共可以组成( )个没有重复数字的三位数，按照从小到大排列，582应该排在第( )个。
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五年级数学上册专项精练（知识梳理+素养目标+典例精讲+专项精练）
（导图高清，放大更清晰。）
1、核心素养目标：
本单元的教学旨在培育学生运用数学知识与方法应对现实问题的技能，同时增进其逻辑思维与问题解决的能力。通过本单元的学习，学生应能掌握并应用列表、绘图、假设设定、逆向思维等策略，以分析和解决复杂问题。此外，学生应通过合作学习，养成积极主动探索问题的习惯，并培养创新意识与实践技能。
2、学习目标：
（1） 学生应能理解并掌握解决问题的基本策略。
（2） 学生应能依据问题的具体情况，灵活运用适当的策略进行问题解决。
（3） 学生应能通过解决实际问题，深化对数学概念和运算规则的理解。
（4） 学生应在解决问题的过程中，培养逻辑推理与批判性思维能力。
（5） 学生应能通过小组合作，学会倾听他人意见，共同探讨问题解决方法，提升团队协作能力。
用列举法解决围长方形的最大面积问题：先求出长方形的长与宽的和，再列表找出不同的围法；对列举的结果进行比较，找到符合要求的答案。
用列举的策略解决比赛场次问题
1、文字列举：列举每次比赛场次的组合。
2、画图列举：几支球队就画几个点，再用两点之间的连线表示球队之间所进行的比赛，连线有几条，就有几场比赛。
【典例精讲1】（23-24五年级上·江苏扬州·期末）新年快到了，4个好朋友互相通话问候，每两个同学之间通1次电话，一共要通( )次电话；如果他们改为互发祝福微信，共要发( )条微信。
【答案】 6 12
【分析】用①②③④表示四个好朋友，如图，从①号开始，确定通话次数；将通话次数×2＝发微信次数。
【详解】3＋2＋1＝6（次）
6×2＝12（条）
一共要通6次电话；如果他们改为互发祝福微信，共要发12条微信。
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________
一、填空题
1．（22-23五年级上·江苏扬州·期末）用2、3、5这三张数字卡片可以组成( )个不同的三位数，用2、3、0这三张数字卡片可以组成( )个不同的三位数。
【答案】 6 4
【分析】先排百位，有3种选择，再排十位，有2种选择，最后排个位，有1种选择，根据乘法原理可得，共有3×2×1＝6种选择，据此解答即可；先排百位，因为0不能在最高位，所以有2种选择；再排十位，有2种选择；再排个位，有1种选择；根据乘法原理可得，共有2×2×1＝4种选择，据此解答即可。
【详解】3×2×1＝6（种）
2×2×1＝4（种）
即用2、3、5这三张数字卡片可以组成6个不同的三位数，用2、3、0这三张数字卡片可以组成4个不同的三位数。
【点睛】此题考查了有关简单的排列知识，对于这类问题，注意分类思想的运用，做到不重复不遗漏。
2．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）新年快到了，张杰和他的5个朋友每两人之间打一次拜年电话，一共要通( )次电话；如果互相寄贺卡，一共要寄( )张贺卡。
【答案】 15 30
【分析】张杰和他的5个朋友一共有6个人，设这六个小朋友分别为A、B、C、D、E、F，则A和B打电话的时候相当于B在和A打电话，算一次。但是相互寄贺卡的时候要注意A给B寄了贺卡，那么B给A寄了贺卡，算两次。
【详解】打电话：
A分别给B、C、D、E、F打电话，5次；
B分别给C、D、E、F打电话，4次；
C分别给D、E、F打电话，3次；
D分别给E、F打电话，2次；
E别给F打电话，1次；
5＋4＋3＋2＋1＝15（次）
则一共要通15次电话。
寄贺卡：
每个人分别即了5张贺卡，一共有6个人，
5×6＝30（张）
则一共要寄30张贺卡。
3．（22-23五年级上·江苏徐州·期末）小丽和她的三位好朋友在元旦前互赠贺卡，每人每次赠送一张，一共需要( )张贺卡。
【答案】12
【分析】如果小丽和她的三位好朋友互相寄一张贺卡，由于每两人要互寄，每个人需要的贺卡数量为个，共有4个人，所以一共要寄张贺卡，据此解答。
【详解】
（张）
所以一共需要12张贺卡。
【点睛】解决本题的关键是明确互相发贺卡，所以每个人需要的贺卡数量是（总人数－1），一共需要的贺卡总数就要再乘总人数。
4．（22-23五年级上·江苏·期末）由无锡开往镇江的客车，每隔15分钟发一辆，早上6：10发第一辆，第5辆是( )发车，上午8时( )（填“有”或“没有”）车发出。
【答案】 7：10 没有
【分析】由题意可知，从第1辆到第5辆中间间隔4个时间段，即需经过15×4＝60分钟，则第5辆的发车时间是6：10＋60分钟＝7：10；第6辆的发车时间是7：10＋15分＝7：25，第7辆的发车时间是7：25＋15分＝7：40，第8辆的发车时间是7：40＋15分＝7：55，第9辆的发车时间是7：55＋15分＝8：10；据此填空即可。
【详解】15×（5－1）
＝15×4
＝60（分钟）
6：10＋60分钟＝7：10
则第5辆是7：10发车；
第6辆的发车时间是7：10＋15分＝7：25，第7辆的发车时间是7：25＋15分＝7：40，第8辆的发车时间是7：40＋15分＝7：55，第9辆的发车时间是7：55＋15分＝8：10
则上午8时没有车发出。
【点睛】本题考查时间的推算，明确第1辆车和第5辆车中间隔了4个时间段是解题的关键。
5．（22-23五年级上·江苏连云港·期末）2023年春节马上到了，小华、小丽、小军和小平4个好朋友要打电话互相问候，一共要通( )次电话。
【答案】6
【分析】由于每个人都要和另外的3个人通一次电话，一共要通：3×4＝12（次）；又因为两个人只通一次电话，去掉重复计算的情况，实际只通：12÷2＝6（次），据此解答。
【详解】由分析可知：
3×4÷2
＝12÷2
＝6（次）
所以一共要通6次电话。
【点睛】本题考查搭配问题，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人数比较多可以用公式：通话次数＝人数×（人数－1）÷2解答。
6．（22-23五年级上·江苏连云港·期末）用0、1、2三个数字，一共能组成( )个不同的三位数。
【答案】4
【分析】先排百位，因为0不能放在百位上，所以有2种排法；再排十位，有2种排法；再排个位，有1种排法，根据乘法原理可得共有2×2×1＝4种排法，即有4个不同的三位数。
【详解】2×2×1
＝4×1
＝4（个）
一共能组成4个不同的三位数。
【点睛】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
7．（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）小红、晓明、小丽三个好朋友在拍合影，如果他们站成一排拍合影照，那么共有( )种不同的站法。
【答案】6
【分析】因为人数较少，可以用列举法，对三个好朋友所站的位置一一列举。
【详解】由分析可得：
站法如下：
第一种：小红、晓明、小丽；
第二种：小红、小丽、晓明；
第三种：晓明、小红、小丽；
第四种：晓明、小丽、小红；
第五种：小丽、小红、晓明；
第六种：小丽、晓明、小红；
综上所述：小红、晓明、小丽三个好朋友在拍合影，如果他们站成一排拍合影照，那么共有6种不同的站法。
【点睛】本题主要考查了简单的排列组合问题，注意按照题目要求，遵照一定的顺序一一把可能都写出来，不能重复，也不能遗漏。
8．（22-23五年级上·江苏连云港·期末）少先队大队部打算从3名男生和3名女生中选出1名男生和1名女生去主持大队活动，一共有( )种不同的选法。
【答案】9
【分析】根据题意，先选出1名男生，那么他可以和3名女生中的任意1个女生搭配，共有3种组合方法；因为有3名男生，所以一共有（3×3）种不同的选法。
【详解】3×3＝9（种）
先队大队部打算从3名男生和3名女生中选出1名男生和1名女生去主持大队活动，一共有9种不同的选法。
【点睛】熟练掌握搭配问题的计算是解答本题的关键。
9．（22-23五年级上·江苏盐城·期末）用小棒围正方形（如图），像这样围成4个正方形，需要( )根小棒；围成n个正方形需要( )根小棒。
【答案】 13 （3n＋1）
【分析】根据图示可知，这组图形的规律：摆1个正方形需要小棒：4根；摆2个正方形需要小棒：4＋3＝7（根）；摆3个正方形需要小棒：4＋3＋3＝10（根）；摆4个正方形需要小棒：4＋3＋3＋3＝13（根）……摆n个正方形需要小棒根数：4＋3（n－1）＝（3n＋1）根。据此解答。
【详解】摆1个正方形需要小棒：4根
摆2个正方形需要小棒：4＋3＝7（根）
摆3个正方形需要小棒：4＋3＋3＝10（根）
摆4个正方形需要小棒：4＋3＋3＋3＝13（根）
……
摆n个正方形需要小棒根数：4＋3（n－1）＝（3n＋1）根
需要13根小棒；围成n个正方形需要（3n＋1）根小棒。
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
10．（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）小强、小华和小丽是好朋友。如果他们互相寄一张节日贺卡，一共要寄( )张贺卡；如果他们每两人之间通一次电话，一共要通( )次电话。
【答案】 6 3
【分析】（1）但是如果他们互相寄一张贺卡，每个人都要得到另外的2个人的2张，由于每两人要互寄，一共要寄3个2张，即6张贺卡，据此解答。
（2）每个人都要和另外的2个人通一次话，3个人共通电话3×2＝6（次），由于每两人通话，应算作一次，要去掉重复的情况，然后用6除以2就是实际通话的次数，据此解答。
【详解】（1）（3－1）×3
＝2×3
＝6（次）
一共要寄6张贺卡。
（2）（3－1）×3÷2
＝2×3÷2
＝3（次）
一共通3次电话。
【点睛】本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n－1）÷2解答。注意区别：这两题中“每两人通话一次”和“每两人要互寄一次”的不同。
11．（22-23五年级上·江苏常州·期末）五星超市里有三种茶杯，单价分别是6.8元/个、4.2元/个和2.9元/个；有两种茶盘，单价分别是12元/个、8元/个。买一个茶杯，配一个茶盘，一共有( )种搭配，一套最多用( )元。
【答案】 6 18.8
【分析】每次选一个茶杯和一个茶盘，如表：
要求一套最多多少元，则挑最贵的茶杯和最贵的茶盘相加即可。
【详解】6.8＞4.2＞2.9
12＞8
12＋6.8＝18.8（元）
五星超市里有三种茶杯，单价分别是6.8元/个、4.2元/个和2.9元/个；有两种茶盘，单价分别是12元/个、8元/个。买一个茶杯，配一个茶盘，一共有6种搭配，一套最多用18.8元。
12．（22-23五年级上·江苏南通·期末）2022年卡塔尔世界杯中，每小组有4支球队进行循环赛，每两队比赛一场，每小组一共要比( )场；小组赛结束后，有16支球队进入淘汰赛（每场比赛淘汰一支球队），一共要比( )场，才能最终决出冠军。
【答案】 6 15
【分析】由于每个球队都要和另外的3个球队赛一场，一共要赛12场；又因为两个球队只赛一场，要去掉重复计算的情况，所以再除以2即可；采用淘汰制，第一轮要赛16÷2＝8场，第二轮要赛8÷2＝4场，第三轮要赛4÷2＝2场，第四轮要赛2÷2＝1场；据此求出总场数即可。
【详解】（4－1）×4÷2
＝3×4÷2
＝12÷2
＝6（场）
16÷2＝8（场）
8÷2＝4（场）
4÷2＝2（场）
2÷2＝1（场）
8＋4＋2＋1
＝12＋2＋1
＝14＋1
＝15（场）
则2022年卡塔尔世界杯中，每小组有4支球队进行循环赛，每两队比赛一场，每小组一共要比6场；小组赛结束后，有16支球队进入淘汰赛（每场比赛淘汰一支球队），一共要比15场，才能最终决出冠军。
【点睛】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果球队比较少可以用枚举法解答，如果球队较多可以用公式：比赛场数＝n（n－1）÷2解答。
13．（22-23五年级上·江苏宿迁·期末）用1，3，6三个数字，一共可以组成( )个三位数。
【答案】6
【分析】当1在百位时，有2种排法：136、163；
当3在百位时，有2种排法：316、361；
当6在百位时，有2种排法：631、613。
【详解】根据分析可知，用1，3，6三个数字，一共可以组成6个三位数。
【点睛】本题考查了搭配问题，可以采用枚举法，要注意按一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。
1．（22-23五年级上·江苏盐城·期末）如图，欢欢从家出发，经过展览馆去图书馆，一共有( )条路线可以选择。
【答案】6
【分析】先从欢欢家到展览馆有2条路可以走，再从展览馆到图书馆有3条路可以走，根据乘法原理计算出它们的积就是全部路的条数。
【详解】2×3＝6（条）
所以，一共有6条路线可以选择。
【点睛】本题主要考查了搭配问题的解题方法，搭配时注意按一定的顺序，不可重复不可遗漏。
15．（22-23五年级上·江苏徐州·期末）新沂体育场举行一年一度的小学生足球比赛，有8支球队参加，如果每两支球队比赛一场，一共要比赛( )场。
【答案】28
【分析】每支球队都与另外的（8－1）支球队进行一场比赛，共进行8×（8－1）场，这样重复计算了一遍，再除以2就是一共要比赛的场数。
【详解】8×（8－1）÷2
＝8×7÷2
＝28（场）
一共要比赛28场。
【点睛】本题考查搭配问题的解题方法，关键是理解重复计算的场数。
16．（22-23五年级上·江苏南京·期末）国际象棋又称西洋棋，是一种二人对弈的棋类游戏。小明、小刚、小红、小玲、小华五人进行国际象棋比赛，每两人只比赛一场，一共要比赛( )场。
【答案】10
【分析】分别列举出各场比赛即可解答，列举全部结果后要进行检查，是否列举完全。
【详解】列举出各场比赛：
小明——小刚；小明——小红；小明——小玲；小明——小华；
小刚——小红；小刚——小玲；小刚——小华；
小红——小玲；小红——小华；
小玲——小华；
（场）
即如果每两人只比赛一场，一共要比赛10场。
17．（23-24五年级上·江苏盐城·期末）学校开展游园活动，每个学生只能参加吹蜡烛、贴鼻子、过独木桥、夹玻璃球、吹气球五种活动中的两种，每个学生共有( )种选择。
【答案】10
【分析】由题意可知，每个学生只能参加吹蜡烛、贴鼻子、过独木桥、夹玻璃球、吹气球五种游戏中的两种，则可以选择参加吹蜡烛和贴鼻子、吹蜡烛和过独木桥、吹蜡烛和夹玻璃球、吹蜡烛和吹气球、贴鼻子和过独木桥、贴鼻子和夹玻璃球、贴鼻子和吹气球、过独木桥和夹玻璃球、过独木桥和吹气球、夹玻璃球和吹气球共10种。
【详解】由分析可知：
学校开展游园活动，每个学生只能参加吹蜡烛、贴鼻子、过独木桥、夹玻璃球、吹气球五种活动中的两种，每个学生共有10种选择。
18．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）卡塔尔世界杯中，参加世界杯的32支球队（俗称32强）每4支球队为一组，共分成8组。在第一轮单循环赛中，每个队都必须且只能分别和本小组其它队进行一场比赛，小组赛8个组共进行( )场比赛；每组前2名共16支球队进入淘汰赛，决出冠军，需要进行( )场比赛。
【答案】 48 15
【分析】由题意可知，每4支球队为一组，共分成8组，每个队都必须且只能分别和本小组其它队进行一场比赛，如果每两个队之间都进行一场比赛，每个队都要和其他的3队进行一场比赛，每个队打3场，共有4×3＝12场比赛；由于每两个队之间重复计算了一次，实际只需打12÷2＝6场，共有8组，则共需要进行6×8＝48场比赛；16支球队进入淘汰赛，决出冠军，则需要进行16－1＝15场比赛。
【详解】4×（4－1）÷2
＝4×3÷2
＝12÷2
＝6（场）
6×8＝48（场）
16－1＝15（场）
则小组赛8个组共进行48场比赛；每组前2名共16支球队进入淘汰赛，决出冠军，需要进行15场比赛。
19．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）15支足球队参加比赛，每场比赛淘汰1支球队，一共要进行( )场比赛才能产生冠军。
【答案】14
【分析】采用淘汰制，第一轮要赛15÷2＝7场…1支，所以第一轮之后剩下15－7＝8人，第二轮要赛8÷2＝4场，第三轮要赛4÷2＝2场，第四轮要赛2÷2＝1场；据此求出总场数即可。
【详解】第一轮：15÷2＝7（场）…1（支）
第二轮：（15－7）÷2＝8÷2＝4（场）
第三轮：4÷2＝2（场）
第四轮：2÷2＝1（场）
7＋4＋2＋1＝14（场）
即，15支足球队参加比赛，每场比赛淘汰1支球队，一共要进行14场比赛才能产生冠军。
20．（23-24五年级上·江苏南京·期末）用数字卡片8、2、5一共可以组成( )个没有重复数字的三位数，按照从小到大排列，582应该排在第( )个。
【答案】 6 4
【分析】列举出所有用数字卡片8、2、5组成的没有重复数字的三位数，然后按照从小到大的顺序排序即可解答。
【详解】2在百位上可以组成：258、285；
5在百位上可以组成：528、582；
8在百位上可以组成：825、852；
一共可以组成6个没有重复数字的三位数；
258＜285＜528＜582＜825＜852
所以按照从小到大排列，582应该排在第4个。
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