人教版八年级数学上名师点拨与训练第15章分式专题分式化简求值常见八种题型

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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
专题 分式化简求值常见八种题型
老师告诉你
分式化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤。
代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
题型1 字母是指定的数
解题策略
化简分式为最简分式。
代入求值
【例1-1】．先化简,再求值,,其中.
【例1-2】．先化简,再求值：计算,其中.
【变式1-1】．先化简,再求值：,其中
【变式1-2】．先化简,再求值：,其中.
【变式1-3】．先化简，再求值：其中m＝2.
题型2 选择合适的使分式有意义的数
解题策略
（1）化简分式为最简分式
（2）所选值必须满足原分式中的各分式都有意义，且除数不能为0．代入求值.
【例2-1】．先化简,并在-1、0、1这三个数中取一个你喜欢的数代入求值.
【例2-2】．先化简,再求值：,请从1、2、3中选取的一个合适的数作为x的值.
【变式2-1】．先化简，再从，2，，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
【变式2-2】．先化简，再求值：，选择一个合适的整数作为a的值代入求值.
【例2-3】．化简：,并请在,0,1,2中选取一个合适的数代入求值.
题型3 字母满足方程或不等式组
解题策略
（1）化简分式为最简分式
（2）解不等式或方程求出字母取值范围或字母的值.
（3）在取值范围内，所选值必须满足原分式中的各分式都有意义，且除数不能为0．代入求值.
【例3-1】先化简，再求值：（x2﹣xy），其中x，y满足．
【例3-2】．先化简：,再从中选择一个合适的整数代入求值.
【变式3-1】．先化简,再求值.其中x为的整数.
【变式3-2】．先化简，再求值：，若，请你选取一个合适的整数x的值，求出原式的值.
【变式3-3】．先化简，再求值：，其中x的值是方程的根.
题型4 根据分式的基本性质变式求值.
解题策略
（1）根据分式的基本性质将所求式子变形，或者将已知条件变形。
（2）代入求值.
【例4-1】已知：，求分式的值．
解：设，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k①；
所以②．
（1）上述解题过程中，第①步运用了　 　的基本性质；
第②步中，由求得结果运用了　 　的基本性质；
（2）参照上述材料解题：
已知：，求分式的值．
【例4-2】．已知,那么______.
【变式4-1】．已知，则_____.
【变式4-2】．已知实数x、y满足条件：，则代数式的值为___________.
【变式4-3】．已知，则的值为______________.
【变式4-4】．已知,则的值.
.
题型5 整体代入求分式的值
解题策略
化简分式为最简分式。
整体代入求值。
【例5-1】先化简,再求值：.其中m是方程的根.
【例5-2】．先化简，再求值：，其中.
【变式5-1】如果实数x满足,求代数式的值
【变式5-2】．已知.求代数式的值.
【变式5-3】．若，则的值为________
【变式5-4】．已知,,,则的值等于( )
A. B. C. D.
题型6 利用非负数性质挖掘条件求分式的值
解题策略
把所给条件利用几个非负数的和；
利用非负数性质确定字母的值；
代入求值。
【例6-1】．先化简，再求值：，其中a，b满足.
【变式6-1】．先化简,再求值：,其中.
【变式6-2】先化简，再求值：，其中满足．
题型7 新定义型化简求值
【例7-1】对于两个非零的实数a，b，定义运算如下：.例如：.若，则的值为___________.
【变式7-1】对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：.若，则的值为_______.
题型8 倒数型化简求值
【例8-1】【阅读学习】阅读下面的解题过程.
已知，求的值.
解：由知，
，即，
，
的值为.
【类比探究】
上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题.
已知，求的值.
【拓展延伸】
已知，，，求的值.
【变式8-1】【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
专题 分式化简求值常见八种题型
老师告诉你
分式化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤。
代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
题型1 字母是指定的数
解题策略
化简分式为最简分式。
代入求值
【例1-1】．先化简,再求值,,其中.
答案：,
解析：原式；
；
.
把代入,
原式.
【例1-2】．先化简,再求值：计算,其中.
答案：,2
解析：原式,
当时,
原式.
【变式1-1】．先化简,再求值：,其中
答案：,
解析：
当时,
原式.
【变式1-2】．先化简,再求值：,其中.
答案：,
解析：
,
当时,
原式.
【变式1-3】．先化简，再求值：其中m＝2.
答案：6
解析：
当m＝2时，
原式.
题型2 选择合适的使分式有意义的数
解题策略
（1）化简分式为最简分式
（2）所选值必须满足原分式中的各分式都有意义，且除数不能为0．代入求值.
【例2-1】．先化简,并在-1、0、1这三个数中取一个你喜欢的数代入求值.
答案：见解析
解析：原式
分式分母不为0,
和0
当时,
原式
【例2-2】．先化简,再求值：,请从1、2、3中选取的一个合适的数作为x的值.
答案：,-2
解析：
∵,故取.
当时,
原式
.
【变式2-1】．先化简，再从，2，，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
答案：当时，原式或当时，原式
解析：
.
由分式有意义的条件可知，x不能取和3，
的值可以为或2.
当时，
原式.
或当时，
原式.
【变式2-2】．先化简，再求值：，选择一个合适的整数作为a的值代入求值.
答案：；2，答案不唯一
解析：
，
∵，，，
当时，
原始.
【例2-3】．化简：,并请在,0,1,2中选取一个合适的数代入求值.
答案：,0
解析：
原式
,
,,,
,,,
时,
原式.
题型3 字母满足方程或不等式组
解题策略
（1）化简分式为最简分式
（2）解不等式或方程求出字母取值范围或字母的值.
（3）在取值范围内，所选值必须满足原分式中的各分式都有意义，且除数不能为0．代入求值.
【例3-1】先化简，再求值：（x2﹣xy），其中x，y满足．
解：原式＝x（x﹣y），
＝x（x﹣y）
＝xy，
∵，
∴①﹣②×2得：
7y＝﹣7，
解得：y＝﹣1，
故2x﹣3＝3，
解得：x＝3，
把x＝3，y＝﹣1代入上式得：原式＝﹣3．
【例3-2】．先化简：,再从中选择一个合适的整数代入求值.
答案：,
解析：
,
,,
且,
当时,
原式.
【变式3-1】．先化简,再求值.其中x为的整数.
答案：,或
解析：
,
要使分式有意义,,,,
∴x不能为1,0,2,
∵x为的整数是 2, 1,0,1,2,
∴或 1,
当时,原式,
当时,原式,
即分式的值是或.
【变式3-2】．先化简，再求值：，若，请你选取一个合适的整数x的值，求出原式的值.
答案：，
解析：原式
；
∵，
∴，，
∵，x为整数，
∴，此时原式.
【变式3-3】．先化简，再求值：，其中x的值是方程的根.
答案：，
解析：原式
x的值是方程的根，
，
当时，原式.
题型4 根据分式的基本性质变式求值.
解题策略
（1）根据分式的基本性质将所求式子变形，或者将已知条件变形。
（2）代入求值.
【例4-1】已知：，求分式的值．
解：设，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k①；
所以②．
（1）上述解题过程中，第①步运用了　 　的基本性质；
第②步中，由求得结果运用了　 　的基本性质；
（2）参照上述材料解题：
已知：，求分式的值．
【分析】（1）根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断；
（2）按照阅读材料中的设k法即可解答．
【解答】解：（1）上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质，
第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质，
故答案为：等式，分式；
（2）设，
则x＝2k，y＝3k，z＝6k，
所以 ，
∴分式的值为：．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握阅读材料中的设k法是解题的关键
【例4-2】．已知,那么______.
答案：
解析：由得,,
,
故答案为：.
【变式4-1】．已知，则_____.
答案：19
解析：，
，
，
.
故答案为：19.
【变式4-2】．已知实数x、y满足条件：，则代数式的值为___________.
答案：
解析：
两边同乘以得，
，
，
，
令，则，
，
，
所以.
故答案为：.
【变式4-3】．已知，则的值为______________.
答案：
解析：，
，
.
故答案为：.
【变式4-4】．已知,则的值.
答案：7
解析：∵,
∴,
∴,
∴.
题型5 整体代入求分式的值
解题策略
化简分式为最简分式。
整体代入求值。
【例5-1】先化简,再求值：.其中m是方程的根.
答案：,
解析：
.
∵m是方程的根,
∴,
∴原式.
【例5-2】．先化简，再求值：，其中.
答案：，6
解析：原式，
，
，
，
，
，
原式.
【变式5-1】如果实数x满足,求代数式的值
答案：,2.5
解析：
,
,
,
∴原式.
【变式5-2】．已知.求代数式的值.
答案：
解析：
,
∵,
∴,
∴原式.
【变式5-3】．若，则的值为________
答案：
解析：由已知变换得
将代入
故答案为：.
【变式5-4】．已知,,,则的值等于( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵,,,
∴,,,
∴,
故选A.
题型6 利用非负数性质挖掘条件求分式的值
解题策略
把所给条件利用几个非负数的和；
利用非负数性质确定字母的值；
代入求值。
【例6-1】．先化简，再求值：，其中a，b满足.
答案：，
解析：
，
，
，，
解得，，
当，时，
原式.
【变式6-1】．先化简,再求值：,其中.
答案：,2
解析：原式,
,
,
∵,
∴,,
∴,,
∴原式,
.
【变式6-2】先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，2
【分析】本题考查了分式的化简求值，绝对值和平方式的非负性，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减即可，最后根据绝对值和平方式的非负性求出，再代入求值即可．
【详解】解：
，
∵
∴，
∴，
解得：，
∴．
题型7 新定义型化简求值
【例7-1】对于两个非零的实数a，b，定义运算如下：.例如：.若，则的值为___________.
答案：
解析：，
.
故答案为：.
【变式7-1】对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：.若，则的值为_______.
答案：1012
解析：，
，（x，y不为0）
，
，
故答案为：1012.
题型8 倒数型化简求值
【例8-1】【阅读学习】阅读下面的解题过程.
已知，求的值.
解：由知，
，即，
，
的值为.
【类比探究】
上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题.
已知，求的值.
【拓展延伸】
已知，，，求的值.
答案：【类比探究】
【拓展延伸】
解析：【类比探究】由知，
，
即，
，
，
.
【拓展延伸】，，，
，且，
.
，
.
【变式8-1】【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
【答案】（1）；；
解：（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）第①步由得到逆用了法则：；第②步运用了公式：；
故答案为：；；
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则及完全平方公式的变形即可求出答案.
（2）根据题意计算即可求出答案.
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