8.1.2 三角形的内角和与外角和 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
8.1.2 三角形的内角和与外角和
1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°；
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；（重点、难点）
3.掌握三角形的外角的性质及外角和.（重点、难点）
将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？
折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.
可以将∠A，∠B 剪下并移至顶点C处拼接成一个角.
A
B
C
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观察与思考
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°.
知识点1 三角形的内角和
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
C E
A
B
1
2
3
D
解：如图，延长边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD//BA（同位角相等，两直线平行）
∵CD //BA,
∴∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.
由此得到：
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
三角形的内角和等于180°.
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
例1 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
∴3x＝99，x＋15＝48.
答： ∠A，∠B，∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
例2 如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解:由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20°.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
问题1　如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么关系？
A
B
C
知识点2 直角三角形的两锐角互余
由三角形的内角和等于180°，得
∠A+∠B+∠C=180°.
由此可以推出
∠A+∠B=180°∠C=90°，
即∠A与∠B互余.
应用格式：
在直角三角形ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC.
归纳 直角三角形的两个锐角互余．
例3 如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠1=45°，∠C=65°.求∠BAC的度数.
（
1
65°(
A
B D C
解 在Rt△ABD中
∵∠1+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠B=90°-∠1（等式性质）.
又∵∠1=45°（已知），
∴∠B=90°-45°=45°（等量代换）.
在△ABC中，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形的内角和等于180°）,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）.
又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），
∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代换）.
我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
问题1　如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.那么，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？
我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.
知识点3 三角形的外角的性质
∵∠ACD+∠ACB = 180°，∠A +∠B +∠ACB = 180°，
∴∠ACD =180°-∠ACB，∠A +∠B =180°-∠ACB.
∴∠ACD =∠A +∠B.
由此可知，三角形的外角有两条性质：
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
例4 如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数.
解：∵∠B+∠C=∠CAD，
∴∠C=∠CAD-∠B，
∴∠C=100°-30°=70°.
A
B
C
(
(
(
(
(
(
2
1
3
（
4
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，如∠1和∠4.
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
如图所示，∠1+∠2+∠3
就是△ABC的外角和.
问题2　如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：在图中，有
∠1+∠ACB=180°，∠2+∠BAC=180°，
∠3+∠ABC=180°，
三式相加，可以得到
∠1+∠2+∠3+∠ACB+∠BAC+∠ABC=360°，
而∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
∴∠1+ ∠2+ ∠3=360 °.
A
B
C
(
(
(
(
(
(
2
1
3
由此可知，三角形的外角和等于360°.
∠1+ ∠2+ ∠3=360 °.
A
B
C
(
(
(
(
(
(
2
1
3
A
B D C
例5 如图,D是△ABC的边BC上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°,∠BAC=70°.
（1）求∠B的度数；
（2）求∠C的度数.
解 （1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴∠B+∠BAD=∠ADC=80°（三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和）.
又∵∠B=∠BAD（已知）,
∠B=80°×=40°（等量代换）.
A
B D C
（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和等于180°)，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC（等式的性质）.
又∵∠B=40°（已求），∠BAC=70°（已知），
∴∠C=180°-40°-70°=70°（等量代换）.
规律总结 在三角形中求角的度数时，常用的知识点有三个：（1）三角形的内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的每一个内角与它相邻的外角互补.
1.已知△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝______.
2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______.
3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
80°
20°
50°
4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 36°，∠C= 76°，则∠DAC的度数为________.
34°
5.如图，∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：∠CAE= ∠DBE.理由如下：
在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
内角和
三角形的内角和与外角和
三角形内角和等于180°
直角三角形两锐角互余
外角
1.外角的性质
2.三角形的外角和