人教版数学八年级上册数学几何九大模型（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册数学几何九大模型（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-16 19:07:24 | ||
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文档简介
人教数学八年级上册数学几何模型
一、8字模型
结论:①∠A+∠B=∠C+∠D;②AB+CD＜AD+BC
斜8字型（蝴蝶型） 燕尾型
1、如图，已知D是△ABC的BC边的延长线上一点，DF⊥AB，交AB于点F，交AC于点E，∠A=56°，∠D=30°，则∠ACB的度数为_________
2、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_________
3、求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_________
1题 2题 3题
燕尾（飞镖）模型
结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C
1、将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠1的度数为__________
2、如图，是一块不规则的纸片,∠ABC=∠DEF=80°,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为__________
3、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
1题 2题 3题
A字模型
结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A
1、在△ABC中，∠A=75°，直线DE交AB于D，交AC于E，则∠BDE+∠CED=（ ）
A.180° B.215° C.235° D.255°
2、在△ABC中，E、F分别是AB，AC上的点，则∠1+∠2=224°，则∠A=（ ）
A.17° B.44° C.68° D.无法确定
1题 2题
老鹰捉小鸡模型
结论：∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE，翼下两角之和等于上下两角之和
1、如图，把△ABC沿EF折叠，叠合后的图形如图所示，若∠A=60°，∠1=95，则∠2的度数为（ ）
A.24°B.25°C.30°D.35°
2、如图，将△ABC纸片沿DE 折叠，点A的对应点为A ，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1＋∠2 等于（ ）
A.40°B. 60°C.80°D.140°
1题 2题
五、双角平分线模型结论：
双内角平分线 双外角平分线 内外角平分线
∠D=90°+∠A ∠D=90°-∠A ∠D=∠A
如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2016BC和∠A2016CD的平分线交于点A2017，求∠A2017的度数____________。
2、如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC= ；若∠A=a°，则∠BEC= 。
【探究】
（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC= ；
（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；
（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由。
六、角平分线辅助线模型：
特征及做法 图示 结论
做法：往角两边做垂直 AP=BP，OA=OB,△APO≌△BPO
特征：在平分线上的垂直做法：延长 △AOB为等腰三角形
做法：平行 △OQP为等腰三角形
做法：截长补短 △APO≌△BPO
1.如图，在△ABC中：∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD
2.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积．
3.感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B十∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC
应用：如图3，在四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a；则AB一AC＝______（用含a的代数式表示）.
一线三垂直模型（证明全等作为突破点）
1.如图，已知矩形中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，，且，，矩形的周长为32cm，求AE的长．
2.如图，在中，,，CF交AB于点E，，，若，，求CF的长.
3.在△ABC中， HYPERLINK "https://so1./t018541046cf5835602.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t018541046cf5835602.png" \* MERGEFORMATINET ， HYPERLINK "https://so1./t01cfd15abf0129b146.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01cfd15abf0129b146.png" \* MERGEFORMATINET ，直线 HYPERLINK "https://so1./t011c320d7a76a66a2f.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t011c320d7a76a66a2f.png" \* MERGEFORMATINET 经过点 HYPERLINK "https://so1./t01bcbe236d3844d8a3.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01bcbe236d3844d8a3.png" \* MERGEFORMATINET ，且 HYPERLINK "https://so1./t01e7e7c33e74f6ccc2.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01e7e7c33e74f6ccc2.png" \* MERGEFORMATINET 于 HYPERLINK "https://so1./t013d33c17583aa3653.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t013d33c17583aa3653.png" \* MERGEFORMATINET ， HYPERLINK "https://so1./t0108779c5c4f1c6199.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t0108779c5c4f1c6199.png" \* MERGEFORMATINET 于E.
（1）当直线 HYPERLINK "https://so1./t011c320d7a76a66a2f.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t011c320d7a76a66a2f.png" \* MERGEFORMATINET 绕点 HYPERLINK "https://so1./t01bcbe236d3844d8a3.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01bcbe236d3844d8a3.png" \* MERGEFORMATINET 旋转到图1的位置时，求证： ① HYPERLINK "https://so1./t01dae8d1aae5e62c63.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01dae8d1aae5e62c63.png" \* MERGEFORMATINET ≌ HYPERLINK "https://so1./t01c3f3950d9e293d3c.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01c3f3950d9e293d3c.png" \* MERGEFORMATINET ；② HYPERLINK "https://so1./t017f5779b5a247f342.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t017f5779b5a247f342.png" \* MERGEFORMATINET .
HYPERLINK "https://so1./t01cd0af55d8062e745.jpg" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01cd0af55d8062e745.jpg" \* MERGEFORMATINET
（2）当直线 HYPERLINK "https://so1./t0161a71de270fd501a.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t0161a71de270fd501a.png" \* MERGEFORMATINET 绕点 HYPERLINK "https://so1./t0141783f5abb185299.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t0141783f5abb185299.png" \* MERGEFORMATINET 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
HYPERLINK "https://so1./t015471a3fb3a11a510.jpg" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t015471a3fb3a11a510.jpg" \* MERGEFORMATINET
八、“手拉手”全等模型
在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD：
结论：
△ABE≌△DBC
AE=DC
AE与DC的夹角为60。
△AGB≌△DFB
△EGB≌△CFB
BH平分∠AHC
GF∥AC
1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
△ABE≌△DBC
AE=DC
AE与DC的夹角为60。
AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
(1)△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60。
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
九、将军饮马中四大模型——最短路径问题
题型一 求两条线段和的最小值
题型二 求两条线段差的最大值
题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题）
题型四 最值问题的实际应用
【知识梳理】
一 两定点在直线的异侧
问题1 作法 图形 原理
在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。
二 两定点在直线的同侧
问题2：将军饮马 作法 图形 原理
在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直；两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。
三 两动点一定点问题
问题3：两个动点 作法 图形 原理
点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB边上找一点D,使得PC+PD+CD和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。
四 造桥选址问题
问题4：造桥选址 作法 图形 原理
直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。
【题型1：两定一动——作图】
1、（2023 海淀区一模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A．B．C．D．
【题型2：造桥选址问题】
2、如图,和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径AMNB最短的是假定河的两岸是平行线,桥与河岸垂直)( )
【题型3：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
3、如图，是等边三角形，D，E分别是边的中点，连接，点P是上一动点，若，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．8D．16
4、如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．10.5 D．11
5、如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（ ）
A．30°B．15°C．20°D．35°
【题型4：两动一定-求周长/线段和最小值/角度】
6、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F。
若MN＝20cm，求△PEF的周长；
若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
7、如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，求∠EAF的度数
答案解析
一、8字模型
1、∠ACD+∠D=∠A+∠AFE 即∠ACD+30=56+90°，∠ACD=116°，∠ACB=180-116=64°
2、∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于两个中间三角形的内角和，即360°
3、
二燕尾（飞镖）模型
根据模型，∠1=对顶角=30°+45°+90°=165°
3、∠B+∠F=115°-∠A ∠C+∠E=115°-∠D
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠D+115°-∠A+115°-∠D=230°
三A字模型
选C ∠BDE+∠CED=180°+∠A=180+75=255
选B ∠A=∠1+∠2-180=224-180=44°
四老鹰捉小鸡模型
选B 延长B’E,C’F交于M,∠1+∠2=∠M+∠A且∠M=∠A，∠2=60+60-95=25°
选C ∠1＋∠2=∠A’+∠A=2∠A=2x(180°-60-80)=80°
五、双角平分线模型结论：
1、
2、
六、角平分线辅助线模型：
1、证明：方法1：在AB上取AE=AC，连接DE，∵AE=AC，∠1=∠2，且AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，即△BED为等腰三角形．∴BE=ED=CD，∴AB=AE+EB=AC
2、
3、
一线三垂直模型
1、
2、
3、解：（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC＝∠BEC，
∠DAC＝∠ECB，
AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CD+CE，
∴DE=AD+BE；
（2）不成立，理由如下，
由（1）可得，同理可证△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．
八、手拉手模型
1、
2、
九、将军饮马模型
1．A
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：甲、乙位于直线的两侧，
根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线交于点，点即为所求；故选A．
【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接．
2．B
【分析】根据两点之间线段最短、垂线段最短即可得．
【详解】解：由两点之间线段最短、垂线段最短可知，煤炭加工厂到两个村庄路径最短的是：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短，熟练掌握两点之间线段最短、垂线段最短是解
3．C
【分析】连接，由对称性知，，则，当P、B、E三点共线时，最小，从而求得最小值．
【详解】解：连接，如图，
由对称性知，，
∴，
当P、B、E三点共线时，最小，最小值为线段的长．
∵是等边三角形，D，E分别是边的中点，
∴，
即的最小值为8；
故选：C．
4．A
【分析】根据垂直平分线的性质，所以周长.
【详解】∵直线m是中边的垂直平分线,
∴
∴周长
∵两点之间线段最短
∴
∴的周长
∵，
∴周长最小为
故选：A
5．C
【分析】作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，推出EF+CF最小时即为CM，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴M在AB上，
∴MF=EF，
∴EF+CF=MF+CF=CM，
即此时EF+CF最小，且为CM，
∵AE=2，
∴AM=2，即点M为AB中点，
∴∠ECF=30°，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到CM是解题的关键．
6.解：因为点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，所以ME＝PE，NF＝PF.所以PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋NF＝MN＝20 cm，即△PEF的周长是20 cm.
解：如图，设MP与OA相交于点R，PN与OB相交于点T.
由(1)知ME＝PE，PF＝NF，所以∠M＝∠EPM，∠N＝∠FPN.
所以∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N.
因为∠PRE＝∠PTF＝90°，所以在四边形OTPR中，∠MPN＋∠AOB＝180°.
因为∠MPN＋∠M＋∠N＝180°，所以∠M＋∠N＝∠AOB＝35°.
所以∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝180°－2(∠M＋∠N)＝180°－35°×2＝110°
7.图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长的最小值．连接AC
因为∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，∠ADC＋∠DCA＋∠DAC＝180°，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，∠BCA＋∠DCA＝50°，
所以∠BAC＋∠DAC＝130°，即∠DAB＝130°.
所以∠A′＋∠A″＝180°－∠DAB＝50°.
因为∠A′＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
所以∠EAA′＋∠A″AF＝50°.
所以∠EAF＝130°－50°＝80°
一、8字模型
结论:①∠A+∠B=∠C+∠D;②AB+CD＜AD+BC
斜8字型（蝴蝶型） 燕尾型
1、如图，已知D是△ABC的BC边的延长线上一点，DF⊥AB，交AB于点F，交AC于点E，∠A=56°，∠D=30°，则∠ACB的度数为_________
2、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为_________
3、求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_________
1题 2题 3题
燕尾（飞镖）模型
结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C
1、将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠1的度数为__________
2、如图，是一块不规则的纸片,∠ABC=∠DEF=80°,则∠A+∠C+∠D+∠F的度数为__________
3、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
1题 2题 3题
A字模型
结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A
1、在△ABC中，∠A=75°，直线DE交AB于D，交AC于E，则∠BDE+∠CED=（ ）
A.180° B.215° C.235° D.255°
2、在△ABC中，E、F分别是AB，AC上的点，则∠1+∠2=224°，则∠A=（ ）
A.17° B.44° C.68° D.无法确定
1题 2题
老鹰捉小鸡模型
结论：∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE，翼下两角之和等于上下两角之和
1、如图，把△ABC沿EF折叠，叠合后的图形如图所示，若∠A=60°，∠1=95，则∠2的度数为（ ）
A.24°B.25°C.30°D.35°
2、如图，将△ABC纸片沿DE 折叠，点A的对应点为A ，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1＋∠2 等于（ ）
A.40°B. 60°C.80°D.140°
1题 2题
五、双角平分线模型结论：
双内角平分线 双外角平分线 内外角平分线
∠D=90°+∠A ∠D=90°-∠A ∠D=∠A
如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2016BC和∠A2016CD的平分线交于点A2017，求∠A2017的度数____________。
2、如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC= ；若∠A=a°，则∠BEC= 。
【探究】
（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC= ；
（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；
（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由。
六、角平分线辅助线模型：
特征及做法 图示 结论
做法：往角两边做垂直 AP=BP，OA=OB,△APO≌△BPO
特征：在平分线上的垂直做法：延长 △AOB为等腰三角形
做法：平行 △OQP为等腰三角形
做法：截长补短 △APO≌△BPO
1.如图，在△ABC中：∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD
2.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积．
3.感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B十∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC
应用：如图3，在四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a；则AB一AC＝______（用含a的代数式表示）.
一线三垂直模型（证明全等作为突破点）
1.如图，已知矩形中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，，且，，矩形的周长为32cm，求AE的长．
2.如图，在中，,，CF交AB于点E，，，若，，求CF的长.
3.在△ABC中， HYPERLINK "https://so1./t018541046cf5835602.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t018541046cf5835602.png" \* MERGEFORMATINET ， HYPERLINK "https://so1./t01cfd15abf0129b146.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01cfd15abf0129b146.png" \* MERGEFORMATINET ，直线 HYPERLINK "https://so1./t011c320d7a76a66a2f.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t011c320d7a76a66a2f.png" \* MERGEFORMATINET 经过点 HYPERLINK "https://so1./t01bcbe236d3844d8a3.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01bcbe236d3844d8a3.png" \* MERGEFORMATINET ，且 HYPERLINK "https://so1./t01e7e7c33e74f6ccc2.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01e7e7c33e74f6ccc2.png" \* MERGEFORMATINET 于 HYPERLINK "https://so1./t013d33c17583aa3653.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t013d33c17583aa3653.png" \* MERGEFORMATINET ， HYPERLINK "https://so1./t0108779c5c4f1c6199.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t0108779c5c4f1c6199.png" \* MERGEFORMATINET 于E.
（1）当直线 HYPERLINK "https://so1./t011c320d7a76a66a2f.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t011c320d7a76a66a2f.png" \* MERGEFORMATINET 绕点 HYPERLINK "https://so1./t01bcbe236d3844d8a3.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01bcbe236d3844d8a3.png" \* MERGEFORMATINET 旋转到图1的位置时，求证： ① HYPERLINK "https://so1./t01dae8d1aae5e62c63.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01dae8d1aae5e62c63.png" \* MERGEFORMATINET ≌ HYPERLINK "https://so1./t01c3f3950d9e293d3c.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01c3f3950d9e293d3c.png" \* MERGEFORMATINET ；② HYPERLINK "https://so1./t017f5779b5a247f342.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t017f5779b5a247f342.png" \* MERGEFORMATINET .
HYPERLINK "https://so1./t01cd0af55d8062e745.jpg" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t01cd0af55d8062e745.jpg" \* MERGEFORMATINET
（2）当直线 HYPERLINK "https://so1./t0161a71de270fd501a.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t0161a71de270fd501a.png" \* MERGEFORMATINET 绕点 HYPERLINK "https://so1./t0141783f5abb185299.png" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t0141783f5abb185299.png" \* MERGEFORMATINET 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
HYPERLINK "https://so1./t015471a3fb3a11a510.jpg" INCLUDEPICTURE \d "https://so1./t015471a3fb3a11a510.jpg" \* MERGEFORMATINET
八、“手拉手”全等模型
在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD：
结论：
△ABE≌△DBC
AE=DC
AE与DC的夹角为60。
△AGB≌△DFB
△EGB≌△CFB
BH平分∠AHC
GF∥AC
1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
△ABE≌△DBC
AE=DC
AE与DC的夹角为60。
AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：
(1)△ABE≌△DBC
(2)AE=DC
(3)AE与DC的夹角为60。
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC
九、将军饮马中四大模型——最短路径问题
题型一 求两条线段和的最小值
题型二 求两条线段差的最大值
题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题）
题型四 最值问题的实际应用
【知识梳理】
一 两定点在直线的异侧
问题1 作法 图形 原理
在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。
二 两定点在直线的同侧
问题2：将军饮马 作法 图形 原理
在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直；两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。
三 两动点一定点问题
问题3：两个动点 作法 图形 原理
点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB边上找一点D,使得PC+PD+CD和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。
四 造桥选址问题
问题4：造桥选址 作法 图形 原理
直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。
【题型1：两定一动——作图】
1、（2023 海淀区一模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（ ）
A．B．C．D．
【题型2：造桥选址问题】
2、如图,和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径AMNB最短的是假定河的两岸是平行线,桥与河岸垂直)( )
【题型3：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
3、如图，是等边三角形，D，E分别是边的中点，连接，点P是上一动点，若，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．8D．16
4、如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．10.5 D．11
5、如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（ ）
A．30°B．15°C．20°D．35°
【题型4：两动一定-求周长/线段和最小值/角度】
6、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F。
若MN＝20cm，求△PEF的周长；
若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
7、如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，求∠EAF的度数
答案解析
一、8字模型
1、∠ACD+∠D=∠A+∠AFE 即∠ACD+30=56+90°，∠ACD=116°，∠ACB=180-116=64°
2、∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于两个中间三角形的内角和，即360°
3、
二燕尾（飞镖）模型
根据模型，∠1=对顶角=30°+45°+90°=165°
3、∠B+∠F=115°-∠A ∠C+∠E=115°-∠D
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠D+115°-∠A+115°-∠D=230°
三A字模型
选C ∠BDE+∠CED=180°+∠A=180+75=255
选B ∠A=∠1+∠2-180=224-180=44°
四老鹰捉小鸡模型
选B 延长B’E,C’F交于M,∠1+∠2=∠M+∠A且∠M=∠A，∠2=60+60-95=25°
选C ∠1＋∠2=∠A’+∠A=2∠A=2x(180°-60-80)=80°
五、双角平分线模型结论：
1、
2、
六、角平分线辅助线模型：
1、证明：方法1：在AB上取AE=AC，连接DE，∵AE=AC，∠1=∠2，且AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，即△BED为等腰三角形．∴BE=ED=CD，∴AB=AE+EB=AC
2、
3、
一线三垂直模型
1、
2、
3、解：（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC＝∠BEC，
∠DAC＝∠ECB，
AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CD+CE，
∴DE=AD+BE；
（2）不成立，理由如下，
由（1）可得，同理可证△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．
八、手拉手模型
1、
2、
九、将军饮马模型
1．A
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】解：甲、乙位于直线的两侧，
根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线交于点，点即为所求；故选A．
【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接．
2．B
【分析】根据两点之间线段最短、垂线段最短即可得．
【详解】解：由两点之间线段最短、垂线段最短可知，煤炭加工厂到两个村庄路径最短的是：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短，熟练掌握两点之间线段最短、垂线段最短是解
3．C
【分析】连接，由对称性知，，则，当P、B、E三点共线时，最小，从而求得最小值．
【详解】解：连接，如图，
由对称性知，，
∴，
当P、B、E三点共线时，最小，最小值为线段的长．
∵是等边三角形，D，E分别是边的中点，
∴，
即的最小值为8；
故选：C．
4．A
【分析】根据垂直平分线的性质，所以周长.
【详解】∵直线m是中边的垂直平分线,
∴
∴周长
∵两点之间线段最短
∴
∴的周长
∵，
∴周长最小为
故选：A
5．C
【分析】作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，推出EF+CF最小时即为CM，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴M在AB上，
∴MF=EF，
∴EF+CF=MF+CF=CM，
即此时EF+CF最小，且为CM，
∵AE=2，
∴AM=2，即点M为AB中点，
∴∠ECF=30°，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到CM是解题的关键．
6.解：因为点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，所以ME＝PE，NF＝PF.所以PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋NF＝MN＝20 cm，即△PEF的周长是20 cm.
解：如图，设MP与OA相交于点R，PN与OB相交于点T.
由(1)知ME＝PE，PF＝NF，所以∠M＝∠EPM，∠N＝∠FPN.
所以∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N.
因为∠PRE＝∠PTF＝90°，所以在四边形OTPR中，∠MPN＋∠AOB＝180°.
因为∠MPN＋∠M＋∠N＝180°，所以∠M＋∠N＝∠AOB＝35°.
所以∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝180°－2(∠M＋∠N)＝180°－35°×2＝110°
7.图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长的最小值．连接AC
因为∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，∠ADC＋∠DCA＋∠DAC＝180°，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，∠BCA＋∠DCA＝50°，
所以∠BAC＋∠DAC＝130°，即∠DAB＝130°.
所以∠A′＋∠A″＝180°－∠DAB＝50°.
因为∠A′＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
所以∠EAA′＋∠A″AF＝50°.
所以∠EAF＝130°－50°＝80°
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