江苏省南通市通州中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省南通市通州中学 2024-2025 学年高一上学期第二次月考数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 ≤ < 2}， = { | ≥ 1}，则 ∩ =( )
A. { | 1 ≤ ≤ 1} B. { | ≥ 1} C. { | > 2} D. { |1 ≤ < 2}
2.设 ( )是定义域为 的函数，命题 ：“ > 0， ( ) > 0”，则命题 的否定是( )
A. > 0， ( ) ≤ 0 B. ≤ 0， ( ) ≤ 0
C. > 0， ( ) ≤ 0 D. ≤ 0， ( ) ≤ 0

3.函数 ( ) = + 的大致图象是( )
| |
A. B.
C. D.
2 , > 0,
4.已知函数 ( ) = { 则 ( 3) =( )
( + 2), ≤ 0,
A. 0 B. 1 C. 2 D. 12
5.已知实数 ， ， 满足 < < 0 < ，则下列不等式中成立的是( )
1 1 2 +
A. + > + B. < C. < D. >
+2
6.下列运算中正确的是( )
3 8
A. 当 > 0时，√ 2 √ 3 = √ B. 4 = 85 45
1 1
1 1C. 若 2 + 2 = 3，则 + = 14 D. ( ) 37 + ln( ) = 7
3
7.已知不等式 2 + 4 ≥ 0对于任意的 ∈ [1,3]恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 4] B. [4, +∞) C. ( ∞, 5] D. [5, +∞)
8.已知函数 ( ) = 3 + 1，且 ( ) + ( ) + 2 < 0，则( )
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A. + < 0 B. + > 0 C. + 1 > 0 D. + + 2 < 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知全集 = ∪ ，集合 = {1,2,4}， = { ∈ | ∈ }，则下列说法不正确的是( )
2
A. 集合 的真子集有7个 B. {1} ∈
C. D. ∈ ， ≥ 6
1+ 2
10.已知函数 ( ) = 2，则下列结论正确的是( ) 1
A. ( )的定义域为{ | ≠ 1} B. ( )是偶函数
1
C. ( )的值域为( ∞, 1) ∪ [1，+∞) D. ( ) + ( ) = 0

11.已知2 = 3 = 6，则下列关系中正确的是( )
A. + > 4 B. > 2
C. 2 + 2 < 8 D. ( 1)2 + ( 1)2 > 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1 1 1
12.设 ， ∈ ，使 > 和 > 同时成立的一个充分条件是______．
√ √
1
13.已知 ( 1) = 2 5，且 ( ) = 3，则 = ______．
2
2 + 2 , ≥ 0
14.已知函数 ( ) = { 2 ，则不等式 ( 1) ≥ (2 + 1)的解集为______． 2 , < 0
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在① ∩ = ；② ∪ = ；③ 这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合 = { ∈ |( 1)( + 2) > 0}， = { ∈ | = √ + , ∈ }．
(1)当 = 1时，求 ∩ ；
(2)若_____，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知命题：“ ∈ { | 1 < < 1}，使等式2 2 = 0成立”是真命题．
(1)求实数 的取值集合 ；
(2)设不等式( )( + 2) < 0的解集为 ，若 ∈ 是 ∈ 的必要条件，求 的取值范围．
17.(本小题15分)

已知函数 ( ) = ．
| |+1
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(1)证明：函数 ( )是奇函数；
(2)用定义证明：函数 ( )在(0, +∞)上是增函数；
(3)若关于 的不等式 ( 2 + 3 ) + (1 ) > 0对于任意实数 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出
3
( ∈ )名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10( )万元( > 0)，剩下的员工
500
平均每人每年创造的利润可以提高0.2 %．
(1)若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工
从事第三产业？
(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则 的取值范
围是多少？
19.(本小题17分)
我们知道，函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，有同学
发现可以将其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( +
) 为奇函数.若函数 ( )的图象关于点(1,1)对称，且当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 2 + 2 ．
(1)求 (0) + (2)的值；

(2)设函数 ( ) = ．
2
①证明函数 ( )的图象关于点(2, 1)对称；
②若对任意 1 ∈ (0,2)，总存在 2 ∈ (0,2)，使得 ( 1) = ( 2)成立，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 > > 0(答案不唯一)
13.【答案】1
14.【答案】{ | 2 ≤ ≤ 0}
15.【答案】解：(1)集合 = { |( 1)( + 2) > 0} = { | < 2或 > 1}，
当 = 1时， = { ∈ | = √ + 1, ∈ } = { | ≥ 1}，
所以 = { | < 1}，
所以 ∩ = { | < 2}．
(2)由集合 = { | < 2或 > 1}和 = { | ≥ }，
若选择①：由 = { | < 2或 > 1}，得 = { | 2 ≤ ≤ 1}，
要使 ∩ = ，则 > 1，解得 < 1，所以实数 的取值范围是{ | < 1}；
若选择②：由 ∪ = ，即 ，可得 > 1，解得 < 1，所以实数 的取值范围是{ | < 1}；
若选择③：由 ，可得 ，可得 > 1，解得 < 1，
所以实数 的取值范围{ | < 1}．
1 1
16.【答案】解：(1)由2 2 = 0，可得 = 2( )2 ，
4 8
1
∵ 1 < < 1，∴ ≤ < 3，
8
1
∴ = { | ≤ < 3}；
8
(2)由( )( + 2) < 0，
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当 > 2 ，即 > 1时， = { |2 < < }，
∵ ∈ 是 ∈ 的必要条件，∴ ，
1
∴ {2 < 8，解得 ≥ 3；
≥ 3
当 = 2 ，即 = 1时， = ，不满足题设条件；
当 < 2 ，即 < 1时， = { | < < 2 }，
1
∵ ，∴ { < 8 ，解得 ≤ 1．
2 ≥ 3
综上可得，实数 的取值范围为( ∞, 1] ∪ [3, +∞)．

17.【答案】解：(1)证明：根据 ( ) = ，可得其定义域为 ，关于原点对称，
| |+1

又根据 ( ) = = = ( )，
| |+1 | |+1
因此 ( )为定义域 上的奇函数．
1
(2)证明：当 ∈ (0, +∞)时，函数 ( ) = = 1 ，
+1 +1
任取 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，
1 1 1 1
所以 ( 1) ( 2) = 1 (1 ) = =
1 2 ，
1+1 2+1 2+1 1+1 ( 2+1)( 1+1)
由于 1， 2 ∈ (0, +∞)， 1 < 2，所以 1 2 < 0，
因此 ( 1) ( 2) < 0，所以 ( 1) < ( 2)，
因此 ( )在(0, +∞)上是增函数．
(3)由于 ( )为定义域 上的奇函数，且在(0, +∞)上是增函数，
因此 ( )在( ∞, 0)上也是增函数，
又由于 (0) = 0，因此 ( )在 上是增函数，
又因为不等式 ( 2 + 3 ) + (1 ) > 0，所以 ( 2 + 3 ) > (1 ) = ( 1)，
根据 ( 2 + 3 ) + (1 ) > 0对于任意实数 恒成立，
所以 ( 2 + 3 ) > ( 1)对于任意实数 恒成立，
所以 2 + 3 > 1对于任意实数 恒成立，
所以 2 + 2 + 1 > 0对于任意实数 恒成立，
> 0
当 ≠ 0时，则满足{ 2 ，解得0 < < 1； = (2 ) 4 < 0
当 = 0时，不等式即为1 > 0恒成立，符合题意．
综上可得，0 ≤ < 1，即实数 的取值范围[0,1)．
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18.【答案】解：(1)由题意得：10(1000 )(1 + 0.2 %) ≥ 10 × 1000，
即 2 500 ≤ 0，又 > 0，所以0 < ≤ 500．
即最多调整500名员工从事第三产业．
3
(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10( ) 万元，
500
1
从事原来产业的员工的年总利润为10(1000 )(1 + )万元，
500
3
则10( ) ≤ 10(1000 )(1 + 0.2 %)
500
3 2 1
所以 ≤ 1000 + 2 2，
500 500
2 2
所以 ≤ + 1000 + ，
500
2 1000
即 ≤ + + 1恒成立，
500
2 1000 2 1000
因为 + ≥ 2√ = 4，
500 500
2 1000
当且仅当 = ，即 = 500时等号成立．
500
所以 ≤ 5，又 > 0，所以0 < ≤ 5，
即 的取值范围为(0,5]．
19.【答案】解：(1) ∵ = ( + 1) 1为奇函数，
∴ ( + 1) 1 = ( + 1) + 1，得 ( + 1) + (1 ) = 2，
则令 = 1，得 (0) + (2) = 2；
(2)
+2 2
①证明：令 ( ) = ( + 2) + 1 = + 1 = ，
2 ( +2)
2
∵ ( ) = 的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)关于原点对称，

2
且 ( ) = = ( )，

∴ ( )为奇函数，
∴函数 ( )的图象关于点(2, 1)对称．
2
② ( ) = 1在区间(0,2)上单调递增，∴ ( )在区间(0,2)上的值域为(0, +∞)，记 ( )在区间(0,2)上的
2
值域为 ，
由对 1 ∈ (0,2)，总 2 ∈ (0,2)，使得 ( 1) = ( 2)成立知 (0, +∞)，
( )当 ≤ 0时， ( )在(0,1)上单调递增，由对称性知， ( )在(1,2)上单调递增，∴ ( )在(0,2)上单调递增，
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只需 (0) = 2 ≥ 0即可，得 ≥ 0，∴ = 0满足题意；
( )当0 < < 1时， ( )在(0, )上单调递减，在( , 1)上单调递增，由对称性知， ( )在(1,2 )上单调递
增，在(2 , 2)上单调递减，
∴ ( )在(0, )上单调递减，在( , 2 )上单调递增，在(2 , 2)上单调递减，
∴ = [ ( ), (2 )]或 = ( (2), (0))，
当0 < < 1时， ( ) = 2 + 2 > 0， (2) = 2 (0) = 2 2 > 0，
∴ 0 < < 1满足题意；
( )当 ≥ 1时， ( )在(0,1)上单调递减，由对称性知， ( )在(1,2)上单调递减，∴ ( )在(0,2)上单调递减，
只需 (2) = 2 2 ≥ 0即可，得 ≤ 1，∴ = 1满足题意．
综上所述， 的取值范围为[0,1]．
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