吉林省长春市第十一高中等三校2024-2025学年高一上学期第三学程数学考试卷（含答案）

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2024——2025学年度上学期三校联考
高一数学试题
本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共4页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡．
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 将化为弧度制，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
3. 命题.“”的否定是（）
A. B. C. D.
4. 已知函数，且，则（）
A. 2 B. 7 C. 25 D. 44
5. 在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（）
A. B.
C. D.
6. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
8. 已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）
A4 B. C. 8 D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为
B. 若函数定义域是，则函数的定义域是
C. 函数的单调递增区间为
D. 已知实数a，b满足，，则3a + b的取值范围是
10. 定义，设，则（）
A. 有最大值，无最小值
B. 当的最大值为
C. 不等式的解集为
D. 的单调递增区间为
11. 已知，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是__________.
13. 已知幂函数图象过点，若，则实数的取值范围是________．
14. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是____________.
四、解答题
15. 对于集合A，B，我们把集合记作．例如，，；则有，，，，
据此，试回答下列问题．
（1）已知，，求；
（2）已知，求集合A，B；
（3）A有3个元素，B有4个元素，试确定有几个元素．
16. 已知是定义在[-4，4]上的奇函数，当时，．
（1）求在[，0）上的解析式；
（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．
17. 某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
（1）分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？
18. 已知函数，关于的不等式的解集为，且.
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19. 取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”．若，则称为的“稳定点”．将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，，．已知函数．
（1）当，时，求函数不动点；
（2）若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围；
（3）若时，且，求实数n的取值范围．
2024——2025学年度上学期三校联考
高一数学试题
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】B
5.
【答案】C
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】ABD
10.
【答案】BC
11.
【答案】ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题
15.
【解析】
【分析】根据的定义求解即可.
【小问1详解】
因为，，根据已知有：.
【小问2详解】
因为，所以.
【小问3详解】
从以上解题过程中可以看出，中元素的个数与集合和集合中的元素个数有关，
即集合中的任何一个元素与集合中的一个元素对应后，得到中的一个新元素.
若集合中有个元素，集合中有个元素，则中有个元素，
故有个元素，B有个元素，中有个元素.
16.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式；
（2）不等式用分离参数法变形，转化为求函数的最值，然后得参数范围．
【小问1详解】
当时，，所以，
又，所以，
所以在[，0）上的解析式为；
【小问2详解】
由（1）知，时，，
所以可整理得，
令，根据指数函数单调性可得，为减函数，
因为存在，使得不等式成立，等价于在上有解，
所以，只需，
所以实数m的取值范围是．
17.
【解析】
【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果；
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，则有，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解．
【小问1详解】
设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，
由题设，，
由图可知（1），所以，又（4），所以，
所以，；
【小问2详解】
设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，
，，
令，则，，
所以当时，，此时，
所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，约为4万元．
18.
【解析】
【分析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值；
（2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解.
小问1详解】
由可得，又，所以，
又因为的解集为，所以，
因为，所以，即，
解得或，因为，所以；
【小问2详解】
由（1）可得，
令，则，设，
①当时，在上单调递增，
则，解得，符合要求；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，又，故；
③当时，在上单调递减，
，解得，不合题意；
综上所述，存在实数或符合题意.
19.
【解析】
【分析】（1）求出方程的解后可得不动点；
（2）根据的判别式恒正可得关于恒成立的不等式，结合可求的取值范围；
（3）记，则即无解或其解为，故可求的取值范围.
【小问1详解】
当，时，，
设为不动点，因此，解得或，
所以为函数的不动点；
【小问2详解】
因为恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为，
所以且恒成立，
令，
所以，所以，
解得或，又，
所以；
【小问3详解】
时，，
因为，所以有实根，
所以，即，
记，则关于的方程的解为方程组的解的值，
两式相减可得，
因为，即要使与有相同的解，
则与的的解集相同，
所以方程无解或其解为，
所以，即，
综上，所以实数n的取值范围是.
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