中小学教育资源及组卷应用平台
专题10 一次函数的图象与性质
理解函数图象的概念，即把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形就是该函数的图象。
学会作正比例函数以及一次函数的图象，能够准确地画出给定一次函数的图象，通过找点等方法画出其图象。
掌握一次函数的性质，熟练的讲一次函数与一元一次方程，二元一次方程组以及不等式组结合起来，学会通过观察图象求解。
能对复杂的一次函数的综合题型进行分析。
一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当 时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。
一次函数有三种表示方法；
（1） ：用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。
（2） ：把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。
（3） ：用图象来表示函数关系的方法叫做图像法。
画一次函数图象的步骤：
（1） ：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表；
（2） ：一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，即在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 一般地，y=kx+b（k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出。
（3） ：可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
1.直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系：
（1） k>0，b>0：经过第 象限
（2）k>0，b<0：经过第 象限
（3）k>0，b=0：经过第 象限（经过原点）
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
（1）k<0，b>0：经过第 象限
（2）k<0，b<0：经过第 象限
（3）k<0，b=0：经过第 象限（经过原点）
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
2.一次函数的平移（规律： ， ）
①将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，
②将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，
③将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，
④将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。
3.两直线的位置关系
直线l1：y=k1x+b1和直线l2：y=k2x+b2
若直线l1∥l2，则 ， 2：
若直线l1⊥l2，则 ：
【经典例题1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知正比例函数的图象经过点，则此正比例函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（2024·山东青岛·模拟预测）正比例函数，当时，，则此正比例函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（2024·安徽亳州·模拟预测）在中，若y是x的正比例函数，求这个函数解析式．
【经典例题2】（2024·安徽安庆·模拟预测）若函数是关于x的正比例函数，则 ．
【变式训练2-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数是正比例函数，则的值为 ．
【变式训练2-2】（2024·江西抚州·模拟预测）已知函数是正比例函数，则 ， ．
【经典例题3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知与成正比例关系，且当时，．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【变式训练3-1】（2024·上海·模拟预测）已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式．
【变式训练3-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知与成正比例，当时，
(1)求与之间的关系式；
(2)该函数的图象经过点，求的值．
【经典例题4】（2024·云南红河·模拟预测）一个正比例函数的图象过点，则该函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（ ）
A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小
C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限
【变式训练4-2】（2024·重庆·模拟预测）下列关于直线的说法不正确的是（ ）
A．一定经过点 B．图象必过原点
C．y随x的增大而减小 D．图象过二、四象限
【经典例题5】（2024·陕西西安·模拟预测）在下列函数中：①；②；③；④；⑤，一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-1】（2024·广东茂名·模拟预测）函数①；②；③；④．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-2】（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题6】（2024·四川成都·模拟预测）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为 ．
【变式训练6-1】（2024·河南驻马店·模拟预测）若函数是关于的一次函数，且随的增大而减小，则 ．
【变式训练6-2】（2024·四川南充·模拟预测）直线经过点，但不经过第一象限，则的最大值为 ．
【经典例题7】（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式训练7-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）关于一次函数的图象与性质，下列描述正确的是（ ）
A．图象过第二、三、四象限
B．y随x的增大而减小
C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象
D．图象与y轴的交点是
【变式训练7-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
【经典例题8】（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-1】（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-2】（2024·山东青岛·模拟预测）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题9】（2023·贵州遵义·模拟预测）直线的解析式是，且图象经过第一，三，四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练9-1】（2024·福建南平·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则取值范围为 ．
【经典例题10】（2024·广东佛山·模拟预测）一次函数图象与y轴交点是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练10-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）若一次函数与的图象交轴于同一点，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．6
【变式训练10-2】（2024·安徽滁州·模拟预测）下列函数图象与y轴的正半轴有交点的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题11】（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练11-1】（2024·福建泉州·模拟预测）将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练11-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【经典例题12】（2024·广东深圳·模拟预测）将直线沿y轴向下平移6个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．
【变式训练12-1】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于A，两点，已知 AOB的面积等于16，则的值为 ．
【变式训练12-2】（2024·安徽六安·模拟预测）一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于点、，则 AOB的面积等于 ．
【经典例题13】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练13-1】（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练13-1】（2024·上海奉贤·模拟预测）已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【经典例题14】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线上有点，且，，，分别过点作直线的垂线，交y轴于点，依次连接，得到，，，…，，则的面积为 ．（用含有正整数n的式子表示）
【变式训练14-1】（2024·广东惠州·模拟预测）如图在函数图象上，的横坐标为1，垂直轴于，垂直函数图象，交轴与，过作轴的垂线与函数图象于点，垂直于函数图象交轴与．以此类推的坐标为 ．
【变式训练14-2】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，直线l的解析式为，与轴分别相交于两点，过点P作的平分线交x轴于点，过点作x轴的垂线与直线l相交于点，作的平分线交x轴于点，过点作轴的垂线与直线l相交于点……按此规律进行下去，则点的横坐标为 ．
【经典例题15】我们知道：若两条直线与垂直，则．如图，已知点到直线的距离是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练15-1】下列直线中，与直线垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练15-2】在平面直角坐标系中，直线：与直线：平行，且经过点，则的值为（ ）
A．6 B．2 C． D．
【经典例题16】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，直线过点和点，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练16-1】（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（ ）
A． B． C．0 D．
【变式训练16-2】（2024·湖南张家界·一模）已知一次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为 ．
【经典例题17】（2024·浙江温州·三模）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练17-1】（2024·江苏南通·二模）如图，一次函数的图象经过点和点．若，则满足条件的x的值可以是（ ）
A． B．0 C． D．
【变式训练17-2】（2024·江苏徐州·三模）如图，函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
【经典例题18】（2023·湖南娄底·模拟预测）如图，直线和与轴分别相交于点，点，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练18-1】（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ．
【变式训练18-2】（2023·江苏镇江·模拟预测）直线和双曲线相交于点和点，不等式的解集为 ．
【经典例题19】（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知一次函数与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ．
【变式训练19-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ．
【变式训练19-2】（2024·四川达州·三模）如图，直线与在第二象限交于点，直线分别交轴、轴于，两点．，则方程组的解为( )
A． B． C． D．
【经典例题20】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则 AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【变式训练20-1】（2023·陕西榆林·二模）已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于，两点，则 ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练20-2】（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则 ABC的面积是( )
A．12 B．13 C．16 D．18
【经典例题21】如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．
(1)求点A、B的坐标以及直线的解析式；
(2)若为直线上一动点，，求点的坐标；
(3)点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【变式训练21-1】如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点．
(1)求直线的函数关系式；
(2)求三角形的面积；
(3)根据图象，直接写出的解集____．
【变式训练21-2】如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点B，点B的坐标为．
(1)观察图象，当时，自变量x的取值范围是______；
(2)求一次函数的表达式；
(3)点C为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点D，若，求点C的坐标．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题10 一次函数的图象与性质
理解函数图象的概念，即把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形就是该函数的图象。
学会作正比例函数以及一次函数的图象，能够准确地画出给定一次函数的图象，通过找点等方法画出其图象。
掌握一次函数的性质，熟练的讲一次函数与一元一次方程，二元一次方程组以及不等式组结合起来，学会通过观察图象求解。
能对复杂的一次函数的综合题型进行分析。
一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。
一次函数有三种表示方法；
（1）解析式法：用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。
（2）列表法：把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。
（3）图像法：用图象来表示函数关系的方法叫做图像法。
画一次函数图象的步骤：
（1）列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表；
（2）描点：一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，即在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 一般地，y=kx+b（k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出。
（3）连线：可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
1.直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系：
（1） k>0，b>0：经过第一、二、三象限
（2）k>0，b<0：经过第一、三、四象限
（3）k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
（1）k<0，b>0：经过第一、二、四象限
（2）k<0，b<0：经过第二、三、四象限
（3）k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
2.一次函数的平移（规律：上加下减，左加右减）
①将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n，
②将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n，
③将函数向左平移n格，函数解析式为y=k（x+n）+b，
④将函数向右平移n格，函数解析式为y=k（x-n）+b。
3.两直线的位置关系
直线l1：y=k1x+b1和直线l2：y=k2x+b2
若直线l1∥l2，则k1=k2，b1≠b2：
若直线l1⊥l2，则k1×k2=-1：
【经典例题1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知正比例函数的图象经过点，则此正比例函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴正比例函数的关系式为，
【变式训练1-1】（2024·山东青岛·模拟预测）正比例函数，当时，，则此正比例函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵正比例函数，当时，，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为，
【变式训练1-2】（2024·安徽亳州·模拟预测）在中，若y是x的正比例函数，求这个函数解析式．
【答案】
【详解】解：∵y是x的正比例函数，
∴且，
解得：，
∴这个正比例函数的解析式为：．
【经典例题2】（2024·安徽安庆·模拟预测）若函数是关于x的正比例函数，则 ．
【答案】5
【详解】解：函数是关于x的正比例函数，
，，
解得：，，
，
【变式训练2-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数是正比例函数，则的值为 ．
【答案】1
【详解】解：∵函数是正比例函数，
，
，
【变式训练2-2】（2024·江西抚州·模拟预测）已知函数是正比例函数，则 ， ．
【答案】 /
【详解】解：由题意得，，，
解得，，，
【经典例题3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知与成正比例关系，且当时，．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，的取值范围为
【详解】（1）解：∵与成正比例关系，
∴设，
当时，，
∴，
解得，，
∴，整理得，，
∴与之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）可得，与之间的函数解析式为，
∴，
∴随的增大而增大，
当时，；当时，；
∴当时，的取值范围为．
【变式训练3-1】（2024·上海·模拟预测）已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式．
【答案】
【详解】解：设，
∴，
∵当时，；当时，，
∴，
解得：；
∴关于的函数解析式为．
【变式训练3-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知与成正比例，当时，
(1)求与之间的关系式；
(2)该函数的图象经过点，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵与成正比例，
设，
时，，
，
解得：，
与的关系式为：
即；
（2）解：∵的图象经过点，
∴
解得：
【经典例题4】（2024·云南红河·模拟预测）一个正比例函数的图象过点，则该函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设正比例函数的解析式为，
把点代入中得，
则，
则该函数的解析式是，
【变式训练4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（ ）
A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小
C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限
【答案】B
【详解】解：A．当时，，所以点在这个图象上，故A选项不符合题意；
B．由知，函数值y随自变量x的增大而增大，故B选项符合题意；
C．正比例函数图象都经过原点，故C选项不符合题意；
D．由知，图象经过一、三象限，故D选项不符合题意；
【变式训练4-2】（2024·重庆·模拟预测）下列关于直线的说法不正确的是（ ）
A．一定经过点 B．图象必过原点
C．y随x的增大而减小 D．图象过二、四象限
【答案】A
【详解】解：∵，
∴当时，，故图象经过点，选项A不正确，符合题意；
当时，，故图象必过原点，选项B正确，不符合题意；
∵，
∴图象过二，四象限，随的增大而减小，选项CD正确，不符合题意；
【经典例题5】（2024·陕西西安·模拟预测）在下列函数中：①；②；③；④；⑤，一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①属于一次函数；
②属于一次函数；
③不属于一次函数；
④不属于一次函数；
⑤属于一次函数；
【变式训练5-1】（2024·广东茂名·模拟预测）函数①；②；③；④．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①当时，不是一次函数；
②是一次函数；
③不是一次函数；
④是一次函数．
【变式训练5-2】（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、是一次函数，符合题意；
B、不是一次函数，不符合题意；
C、不是一次函数，不符合题意；
D、不是一次函数，不符合题意．
【经典例题6】（2024·四川成都·模拟预测）若y关于x的函数是一次函数，则m的值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
【变式训练6-1】（2024·河南驻马店·模拟预测）若函数是关于的一次函数，且随的增大而减小，则 ．
【答案】
【详解】解：∵是关于的一次函数，随的增大而减小，
∴，，
解得：，，
∴，
【变式训练6-2】（2024·四川南充·模拟预测）直线经过点，但不经过第一象限，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴，
∵直线不经过第一象限，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
【经典例题7】（2024·四川南充·三模）若是y关于x的一次函数，则其图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
∴直线解析式为：，
∴直线经过一、二、四象限，不经过第三象限；
【变式训练7-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）关于一次函数的图象与性质，下列描述正确的是（ ）
A．图象过第二、三、四象限
B．y随x的增大而减小
C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象
D．图象与y轴的交点是
【答案】B
【详解】解：A、由于一次函数中的，，所以函数图象经过第一、二、四象限，故A错误，不符合题意；
B、由于一次函数中的，所以y随x的增大而减小，故B正确，符合题意；
C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象，故C错误，不符合题意；
D、直线，令可得，函数图象与y轴的交点坐标为，故D错误，不符合题意．
【变式训练7-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【详解】解：∵一次函数，且，
∴随的增大而减小，故B选项不符合题意；
令时，则，即一次函数与轴交于点，
故A选项符合题意；
则一次函数经过第一、二、四象限，故D选项不符合题意；
∵一次函数的随的增大而减小，
∴令时，则，
∴当时，则，故C选项不符合题意；
【经典例题8】（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：当，时，直线经过一、二、三象限；则直线经过一、二、三象限；无正确选项；
当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、二、四象限；A选项正确；
当，时，直线经过一、二、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项；
当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项；
【变式训练8-1】（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为，
选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意；
而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意；
选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意；
选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意；
【变式训练8-2】（2024·山东青岛·模拟预测）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意；
B、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意；
C、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意；
D、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意；
【经典例题9】（2023·贵州遵义·模拟预测）直线的解析式是，且图象经过第一，三，四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：的图象经过第一，三，四象限
解得
的取值范围在数轴上表示为
【变式训练9-1】（2024·福建南平·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴，
【经典例题10】（2024·广东佛山·模拟预测）一次函数图象与y轴交点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：当时，，
∴一次函数图象与y轴交点是，
【变式训练10-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）若一次函数与的图象交轴于同一点，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【详解】解：在一次函数中，
当时，，解得：，
一次函数与轴的交点为，
一次函数与的图象交轴于同一点，
点也在一次函数的图象上，
，
解得：，
【变式训练10-2】（2024·安徽滁州·模拟预测）下列函数图象与y轴的正半轴有交点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】、当时，，与轴交点在负半轴上，不符合题意；
、由的图象与，轴无交点，不符合题意；
、当时，，与轴交点在负半轴上，不符合题意；
、当时，，与轴正半轴有交点，符合题意；
【经典例题11】（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：直线向上平移个单位后，得到，
A．把代入得，，
∴交点不可能是，故A不合题意；
B．把代入得，，
∴交点不可能是，故B不合题意；
C．把代入得，，
把代入，求得，
∴交点可能是，故C符合题意；
D．把代入得，，
把代入，求得，
∴交点不可能是，故D不合题意；
【变式训练11-1】（2024·福建泉州·模拟预测）将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为，
【变式训练11-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）将直线向下平移2个单位长度后得到直线，将直线向左平移1个单位长度后得到直线．若直线和直线恰好重合，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】解：直线向下平移2个单位长度后得到直线，
直线的解析式为，
将直线向左平移个单位长度后得到直线，
直线的解析式为，
直线和直线恰好重合，
，
解得：，
【经典例题12】（2024·广东深圳·模拟预测）将直线沿y轴向下平移6个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．
【答案】4
【详解】解：直线沿y轴向下平移6个单位长度得到：，
令，即，解得，
令，得，
所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：．
【变式训练12-1】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于A，两点，已知的面积等于16，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：直线分别与的正半轴、的负半轴相交于，两点，
交点，，，
的面积等于16，
，
解得：，
【变式训练12-2】（2024·安徽六安·模拟预测）一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于点、，则的面积等于 ．
【答案】/
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，
解得：，
一次函数解析式为，
其图象如下图：
在一次函数解析式中，令，得，
点的坐标为，
，
在一次函数解析式中，令，得，
点的坐标为，
，
的面积为：
．
【经典例题13】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知是一次函数图象上的两点，则m 和n 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴一次函数中y随x的增大而减小，
∵，
∴，
【变式训练13-1】（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，，
，
，
【变式训练13-1】（2024·上海奉贤·模拟预测）已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【详解】∵直线中，
∴y随x的增大而减小，
又∵和点是直线上的两个点,且，
∴，
【经典例题14】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线上有点，且，，，分别过点作直线的垂线，交y轴于点，依次连接，得到，，，…，，则的面积为 ．（用含有正整数n的式子表示）
【答案】
【详解】如图，在直线上取一点M，作轴于点N，设，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练14-1】（2024·广东惠州·模拟预测）如图在函数图象上，的横坐标为1，垂直轴于，垂直函数图象，交轴与，过作轴的垂线与函数图象于点，垂直于函数图象交轴与．以此类推的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵的横坐标为1，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由题意得，
∴，
∴，
∴与的横坐标都为4，
∴，
∴，
同理，，，
∴与的横坐标都为16，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练14-2】（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，直线l的解析式为，与轴分别相交于两点，过点P作的平分线交x轴于点，过点作x轴的垂线与直线l相交于点，作的平分线交x轴于点，过点作轴的垂线与直线l相交于点……按此规律进行下去，则点的横坐标为 ．
【答案】
【详解】解：把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴的横坐标为，
同理得：，
此时的坐标为；
，
此时的坐标为；
……
的坐标为；
故答案为：．
【经典例题15】我们知道：若两条直线与垂直，则．如图，已知点到直线的距离是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，
∵对于，当时，，
∴直线一定过，
∵，
∴，
∵点到直线的距离是，
∴由垂线段最短可得垂直于直线，
设直线：，
∵过点，，
∴，
解得，
∴直线：，
∵两条直线与垂直，则，
∴直线为：，
解得，
故选B．
【变式训练15-1】下列直线中，与直线垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意；
B、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意；
C、因为，所以与直线不垂直，故本选项不符合题意；
D、因为，所以与直线垂直，故本选项符合题意；
【变式训练15-2】在平面直角坐标系中，直线：与直线：平行，且经过点，则的值为（ ）
A．6 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】根据直线：与直线：平行，
得，；
把代入
得，
解得，
故，
【经典例题16】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，直线过点和点，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标，
直线过点，
方程的解是，
【变式训练16-1】（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【详解】解：由图像可知，直线经过点，，
将点，代入，
可得，解得，
∴该直线解析式为，
令，可得，
解得，
∴关于的方程的解是．
【变式训练16-2】（2024·湖南张家界·一模）已知一次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【详解】解：将，代入中，
，解得，
∴一次函数解析式为
当时，，解得，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【经典例题17】（2024·浙江温州·三模）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由图象可知，函数的图象与x轴的交点坐标为，
∴不等式的解集是，
【变式训练17-1】（2024·江苏南通·二模）如图，一次函数的图象经过点和点．若，则满足条件的x的值可以是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【详解】解：根据函数图象知当时，，
观察四个选项，选项D符合题意，
【变式训练17-2】（2024·江苏徐州·三模）如图，函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】解： 向右平移3个单位得，
向右平移3个单位得，
∴的图象与x轴交于点，
根据函数图象得的解集为，
∴关于x的不等式的解集为
【经典例题18】（2023·湖南娄底·模拟预测）如图，直线和与轴分别相交于点，点，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【详解】解：由图象可知，的解集为，的解集为，
不等式组解集为，
【变式训练18-1】（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】解：由，得到：．
根据图象可知：两函数的交点为，
∴关于的一元一次不等式的解集是，
即关于的一元一次不等式的解集是，
【变式训练18-2】（2023·江苏镇江·模拟预测）直线和双曲线相交于点和点，不等式的解集为 ．
【答案】或
【详解】解：点是直线与双曲线的交点，
，解得，
，
∴一次函数和反比例函数解析式为，
点在直线上，
，
解得，
，
由函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
故答案为：或．
【经典例题19】（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知一次函数与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：一次函数与交于点，
则关于、的二元一次方程组的解为，
【变式训练19-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ．
【答案】
【详解】解：由题意，一次函数与为常数，的图象的交点的横坐标是，
交点的纵坐标为．
方程组的解为．
【变式训练19-2】（2024·四川达州·三模）如图，直线与在第二象限交于点，直线分别交轴、轴于，两点．，则方程组的解为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：作轴于，如图，
当时，，则，
，
，
，
，
，
当时，，
解得，
，
方程组的解为．
【经典例题20】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则 AOB的面积为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：如图，
在中，令，得，
解得，，
∴，，
∴ AOB的面积，
【变式训练20-1】（2023·陕西榆林·二模）已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于，两点，则 ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：把点代入与，
得：，，
解得：，，
，，
，
【变式训练20-2】（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则 ABC的面积是( )
A．12 B．13 C．16 D．18
【答案】C
【分析】将点分别代入与求出m和n的值，再求出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：把点代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
∴，
把点代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
∴，
∴．
故选：C．
【经典例题21】如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．
(1)求点A、B的坐标以及直线的解析式；
(2)若为直线上一动点，，求点的坐标；
(3)点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)、，直线的解析式为
(2)或
(3)所有符合条件的点的坐标为，，
【详解】（1）解：令则；
令则，解得，
∴直线与轴、轴分别交于点、；
设直线的解析式为，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线经过点，且与轴交于点．
∴，
∴，，
∵为直线上一动点，
∴设，
过作轴交于，则，，
∴
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∴或；
（3）解：∵、，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴当，时，如图中点，过作轴于，
∴，，
∴，
∴，，
∴；
同理当，时，如图中点，此时；
当，时，如图中点，此时为中点，则,
综上所述，当为等腰直角三角形时，所有符合条件的点的坐标为，，．
【变式训练21-1】如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点．
(1)求直线的函数关系式；
(2)求三角形的面积；
(3)根据图象，直接写出的解集____．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：把和分别代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：联立函数式得，
解得，
∴，
在中，令，即，
解得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由图象可得，当时，直线在直线的上方，且直线在x轴的上方，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【变式训练21-2】如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点B，点B的坐标为．
(1)观察图象，当时，自变量x的取值范围是______；
(2)求一次函数的表达式；
(3)点C为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点D，若，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)；
(3)点C的坐标为或．
【详解】（1）解：观察图象得当时，函数的图象在函数的图象的上方，
∴当时，自变量x的取值范围是；
故答案为：；
（2）解：∵正比例函数经过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（3）解：设点C的坐标为，
∵轴，
∴点D的坐标为，
∵，
∴，
解得或，
∴点C的坐标为或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
