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专题11 一次函数的实际应用
能够根据实际问题中的变量关系，确定一次函数关系式。例如在行程问题中，若速度为常数，路程与时间之间可能满足一次函数关系，要能从这类实际情境中准确找出变量并建立函数关系。
能通过一次函数图象获取信息，解决简单的实际问题。比如从图象中读取自变量与函数值对应的数值。
理解一次函数图象的特征(如斜率、截距等)在实际问题中的意义。
能将简单的实际问题转化为数学问题建立一次函数模型，从而解决实际问题。如在销售问题中，已知成本、售价和销售量的关系，建立利润与销售量之间的一次函数模型并求解最大利润等情况。
一次函数实际应用的解题步骤：
（1）
认真读题，逐字逐句理解题目内容，分析题目中各个量之间的关系，明确题目要求和所要表达的意思。这是解题的基础，只有准确理解题意，才能正确解题。例如在行程问题中，要明确路程、速度、时间之间的关系;在费用问题中，要清楚单价、数量、总价等之间的关系等。
（2）
根据各个量之间的关系设满足题意的自变量。在大多数一元一次应用题中，求什么便设什么通常是可行的。例如，若要求某个物品的数量，就可设该物品的数量为x。
（3）
根据各个量之间的关系列出函数解析式。这一步需要将题目中的实际关系转化为数学表达式。例如，若已知单价为k，数量为，总价y=kx；若已知速度为v，时间为t，路程s= vt等。同时，若涉及分段函数，要根据自变量不同的取值范围列出不同的函数关系，并且在解析式上反映出自变量的相应取值范围。
【经典例题1】（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台．
(1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元；
(2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案．
【变式训练1-1】（2023·河南信阳·模拟预测）某学校为了给学生提供更舒适的学习环境，决定购进，两种空调．已知购买1台种空调和3台种空调共需9300元；购买3台种空调和2台种空调共需13200元．
(1)求，两种空调的单价；
(2)若该校准备购买，两种空调共50台，且种空调数量不小于种空调数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【变式训练1-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
(1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；
(2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算 请说明理由．
【经典例题2】（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【变式训练2-1】（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元．
(1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？
(2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式；
(3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润．
【变式训练2-2】（2024·湖南·二模）在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元．
(1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？
(2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元．
①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【经典例题3】（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人在一条直线道路上分别从A，两地同时骑摩托车出发，相向而行．当两人相遇后，甲继续向地前进甲到达地时停止运动，乙也立即调头返回地．在整个运动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离米与乙运动的时间秒之间的关系如图所示，则A，两地之间的距离为 米．
【变式训练3-1】（2023·河北秦皇岛·一模）在2012年日市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程 s（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为折线OBCD．和她同时起跑的李梅同学前600米的速度保持在5米/秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点．
(1)直接在图中画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象；
(2)求王芳同学测试中的最快速度；
(3)求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？
【变式训练3-2】（2024·河北·模拟预测）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
(1)求出线段和线段的解析式；
(2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇；
(3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？
【经典例题4】（2024·宁夏银川·二模）某车间甲、乙两台机器共生产个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工个零件，如图是表示未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数图像．
(1)乙机器每天加工_________个零件，甲机器维修了________天；
(2)当甲、乙两台机器共生产个零件时，乙机器加工了多少天？
【变式训练4-1】（2024·吉林·二模）随着科技的进步，传统的人工生产方式开始向自动化和智能化转变．某工厂工人每日上下午各工作3小时，中间休息2小时．假设每名工人和每台机器人工作时的效率不变，一台机器人每日工作量（件），一名工人每日工作量（件）分别与机器人工作时间（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)机器人的工作效率为______件/小时．
(2)当时，求关于的函数解析式．
(3)当时，一台机器人比一名工人多生产______件产品．
【变式训练4-2】（2024·河南驻马店·三模）某工厂的A，B两个车间同时生产产品，为提高生产效率，将A车间的机器停产一段时间进行升级，升级后A车间机器的生产效率提高为原来的2倍，两个车间分别生产产品的数量y（件）与时间x（）之间的关系如图所示．
(1)求a的值及A车间机器升级后y与x之间的函数解析式；
(2)若A，B车间共生产的产品满300件可以打包一箱，则经过多长时间恰好能装满第1箱？（打包时间忽略）
【经典例题5】（2024·福建莆田·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元
素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票．
问题解决
任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格．
任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案．
【变式训练5-1】（2024·辽宁锦州·模拟预测）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务：
如何设计采购方案
素材一：
甲 乙 共需费用（元）
购买数量（本） 3 4 288
购买数量（本） 5 2 270
素材二：
该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下：
甲 乙
购进数量（本） x y
售价（元/本） 38 50
问题解决
任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价．
任务二：
①写出y关于x的关系式．
②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润是多少元？
【变式训练5-2】（2024·广东·模拟预测）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示．
双层部分的长度 2 6 10 …
单层部分的长度 116 108 100 …
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ．
请根据以上素材，解答下列问题：
(1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
(2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式；
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
【经典例题6】（2024·山东德州·一模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定，某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
(1)求出该市规定标准用水量的值；
(2)当用水量超过标准吨时，写出交费总数（元）与用水量（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
【变式训练6-1】（2024·浙江衢州·一模）我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费（元）与用水量关系如图．
分类 用水量 单价（元/）
第1级 不超过300
第2级 超过300不超过480的部分
第3级 超过480的部分
根据图表信息，解答下列问题：
(1)小南家2022年用水量为，共缴水费1168元．求，及线段的函数表达式．
(2)小南家2023年用水量增加，共缴水费元，求2023年小南家用水量．
【变式训练6-2】（2023·贵州遵义·模拟预测）为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费（元）与用电量（度）间的函数关系式．
档次 第一档 第二档 第三档
每月用电量（度） ______ ______
(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写上表：
(2)小明家某月用电120度，需交电费______元；
(3)求第二档每月电费（元）与用电量（度）之间的函数关系式；
(4)在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求的值．
【经典例题7】（2024·河北沧州·模拟预测）某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度（单位：）与上升时间（单位：）满足一次函数关系，部分数值如表：
上升时间(单位：） … 5 15 …
海拔高度（单位：） … 10 20 …
乙飞行器从海拔的高度，以的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态．
(1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度（单位：）与上升时间(单位：）之间的函数关系式；
(2)①求甲飞行器的初始高度；
②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由；
(3)若甲飞行器因为电量不足，上升后，减速为继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为（单位：）．请直接写出：当，h最多为多少米？
【变式训练7-1】（2024·广西南宁·模拟预测）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下，电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下，电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，
数据记录如表2：
表1
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
表2
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
(1)【建立模型】观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
(2)【解决问题】某电动汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，此时电动汽车仪表盘显示电量为多少？
(3)在（2）的条件下，若电动汽车要继续行驶到达目的地，此时需要在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶220千米到达目的地，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为25%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
【变式训练7-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）【情境描述】
古人没有钟表，大多数时候，他们是以香燃烧的时间长短，来计量时刻的．实际上由于环境、风力、香的长短、香料干湿等诸多因素，一炷香的燃烧时间并不完全相同，但一般约为半个时辰，即一个小时．综合实践小组欲探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系．
【观察发现】
小组成员准备了一柱长为的香，测量后发现，香燃烧时剩余长度随着燃烧时间的变化而变化，每燃烧一分钟，香的长度就减少．
【建立模型】
（1）若用()表示香燃烧时剩余长度，用(分)表示燃烧时间，请根据上述信息，求关于的函数表达式，并在图中画出部分函数图象；
【解决问题】
（2）请你帮该小组算一算，经过多长时间，这柱香恰好燃烧完？
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专题11 一次函数的实际应用
能够根据实际问题中的变量关系，确定一次函数关系式。例如在行程问题中，若速度为常数，路程与时间之间可能满足一次函数关系，要能从这类实际情境中准确找出变量并建立函数关系。
能通过一次函数图象获取信息，解决简单的实际问题。比如从图象中读取自变量与函数值对应的数值。
理解一次函数图象的特征(如斜率、截距等)在实际问题中的意义。
能将简单的实际问题转化为数学问题建立一次函数模型，从而解决实际问题。如在销售问题中，已知成本、售价和销售量的关系，建立利润与销售量之间的一次函数模型并求解最大利润等情况。
一次函数实际应用的解题步骤：
（1）审题
认真读题，逐字逐句理解题目内容，分析题目中各个量之间的关系，明确题目要求和所要表达的意思。这是解题的基础，只有准确理解题意，才能正确解题。例如在行程问题中，要明确路程、速度、时间之间的关系;在费用问题中，要清楚单价、数量、总价等之间的关系等。
（2）设自变量（设未知量）
根据各个量之间的关系设满足题意的自变量。在大多数一元一次应用题中，求什么便设什么通常是可行的。例如，若要求某个物品的数量，就可设该物品的数量为x。
（3）列函数解析式
根据各个量之间的关系列出函数解析式。这一步需要将题目中的实际关系转化为数学表达式。例如，若已知单价为k，数量为，总价y=kx；若已知速度为v，时间为t，路程s= vt等。同时，若涉及分段函数，要根据自变量不同的取值范围列出不同的函数关系，并且在解析式上反映出自变量的相应取值范围。
【经典例题1】（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台．
(1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元；
(2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案．
【答案】(1)品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元；
(2)该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元．
【详解】（1）解：设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，根据题意得：，
化简得
解得：，（舍去），
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴品牌电脑的单价是万元元，则品牌电脑的单价是万元即元．
答：品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元；
（2）解：设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑，
根据题意得：，
解得：．
设学校购买这些电脑需要元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为（元）．此时，
∴该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元．
【变式训练1-1】（2023·河南信阳·模拟预测）某学校为了给学生提供更舒适的学习环境，决定购进，两种空调．已知购买1台种空调和3台种空调共需9300元；购买3台种空调和2台种空调共需13200元．
(1)求，两种空调的单价；
(2)若该校准备购买，两种空调共50台，且种空调数量不小于种空调数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)种空调和种空调的进货单价分别是3000元和2100元
(2)最省钱的购买方案是购买种空调34台，种空调16台
【详解】（1）设种空调的单价是元，种空调的单价是元，
依题意得：，
解得：．
答：种空调的单价是3000元，种空调的单价是2100元．
（2）设购进型空调台，则购进型空调台，购买所需费用为元．
依题意得：，
化简整理得：，
由题意得：，
解得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，此时最小值为（元．
答：最省钱的购买方案是：购进型空调34台，购进型空调16台．
【变式训练1-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
(1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；
(2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算 请说明理由．
【答案】(1)，
(2)选择乙方案更划算，见解析
【详解】（1）解：由题意得：，
；
（2）选择乙方案更划算
理由：当时，
，
．
∵，
∴选择乙方案更划算．
【经典例题2】（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元
(2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元
【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元，
依题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解.．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．
（2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个，
．
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的．
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．
【变式训练2-1】（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元．
(1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？
(2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式；
(3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润．
【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元
(2)
(3)甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元
【详解】（1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意，得
解得
，
∴甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元．
（2）设购进甲种剪纸装饰套， 则购进乙种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得
，
即
∴与之间的函数关系式为；
（3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得
即
，
∴随的增大而增大
∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过元，
，即，
解得，
∵为非负整数
∴当 时，取最大值，(元)，
此时套，
即商家购进甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元．
【变式训练2-2】（2024·湖南·二模）在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元．
(1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？
(2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元．
①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元
(2)①；②购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元
【详解】（1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元．
依题意，得解得
答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元．
（2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个．
，
即．
②购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，
，解得．
随的增大而增大，为整数，
当时，（元）．
【经典例题3】（2024·安徽·模拟预测）甲、乙两人在一条直线道路上分别从A，两地同时骑摩托车出发，相向而行．当两人相遇后，甲继续向地前进甲到达地时停止运动，乙也立即调头返回地．在整个运动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶．若甲、乙两人之间的距离米与乙运动的时间秒之间的关系如图所示，则A，两地之间的距离为 米．
【答案】
【详解】解：由题意和图象可得，
甲从A地到地用的时间为秒，乙从开始到回到地用的时间为秒，
甲乙相遇的时，甲乙都行驶了秒，
设，两地的路程为米，
，
解得，，
故答案为：．
【变式训练3-1】（2023·河北秦皇岛·一模）在2012年日市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程 s（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为折线OBCD．和她同时起跑的李梅同学前600米的速度保持在5米/秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点．
(1)直接在图中画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象；
(2)求王芳同学测试中的最快速度；
(3)求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？
【答案】(1)见解析；
(2)王芳同学测试中的最快速度为6米/秒；
(3)李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米．
【详解】（1）解：由题意，得:，
∴李梅运动中的图象经过，
∴在平面直角坐标系中描出这点，再连接，就可以画出李梅同学所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图象，如图：
（2）由图象，得
王芳段的速度为：米/秒；
王芳段的速度为：米/秒；
王芳段的速度为：米/秒；
∴，
∴王芳同学测试中的最快速度为6米/秒；
（3）设直线的解析式为，由题意，得，
解得：，即，
设直线的解析式为，由题意，得,
解得：，即，
当时，，
∴，
当时，，
距离终点还有：．
答：李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米．
【变式训练3-2】（2024·河北·模拟预测）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
(1)求出线段和线段的解析式；
(2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇；
(3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？
【答案】(1)；
(2)
(3)分钟
【详解】（1）解：由图设线段的解析式为：，
将代入得：，
解得：；
∴线段的解析式为：；
设线段的解析式为：，
由题意得：乙 “基础模式”下的运动速度为：米/分钟，
∴“全速模式”的速度为米/分钟，
∴，
将点代入得：，
解得：，
∴线段的解析式为：；
（2）解：设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇，
由（1）可知：甲机器人的速度为米/分钟，
由图可知：，
解得：；
即：分钟后甲、乙两个机器人相遇；
（3）解：当甲、乙两个机器人相遇前，他们的距离逐渐缩小；
当时，甲、乙两个机器人的距离为：米，
设出发两分钟后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米，
则，解得：；
∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有：分钟；
当甲、乙两个机器人相遇后，他们的距离逐渐增大；
设相遇后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米，
令，解得：；
∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟；
综上所述：甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟；
【经典例题4】（2024·宁夏银川·二模）某车间甲、乙两台机器共生产个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工个零件，如图是表示未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数图像．
(1)乙机器每天加工_________个零件，甲机器维修了________天；
(2)当甲、乙两台机器共生产个零件时，乙机器加工了多少天？
【答案】(1)，
(2)天
【详解】（1）解：设乙机器每天加工个零件，
由题意得：，
解得：，
即乙机器每天加工个零件，
根据题意，从点到点是乙单独完成的量，
（个），
甲机器维修的天数为：（天），
故答案为：，；
（2）由（1）可知，甲维修了天，则乙加工了天，即点，
（个），，
当加工个零件时，，
当时，设未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数解析式为，
将和代入得：
，
解得：，
当时，未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数解析式为，
将代入得：，
解得：，
即当甲、乙两台机器共生产个零件时，乙机器加工了天．
【变式训练4-1】（2024·吉林·二模）随着科技的进步，传统的人工生产方式开始向自动化和智能化转变．某工厂工人每日上下午各工作3小时，中间休息2小时．假设每名工人和每台机器人工作时的效率不变，一台机器人每日工作量（件），一名工人每日工作量（件）分别与机器人工作时间（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)机器人的工作效率为______件/小时．
(2)当时，求关于的函数解析式．
(3)当时，一台机器人比一名工人多生产______件产品．
【答案】(1)15
(2)与的函数解析式为
(3)60
【详解】（1）解：由图可得：机器人不休息，且3小时做了45件，
故机器人的工作效率为件/小时；
（2）解：由图可得：
每名工人的工作效率为：件/小时，
∵每名工人工作时的效率不变，
∴当时，设关于的函数解析式为：，
将代入解析式得：，
解得：，
∴关于的函数解析式为；
（3）解：机器人8小时生产产品：（件），
当时，，
∴当时，一台机器人比一名工人多生产件产品．
【变式训练4-2】（2024·河南驻马店·三模）某工厂的A，B两个车间同时生产产品，为提高生产效率，将A车间的机器停产一段时间进行升级，升级后A车间机器的生产效率提高为原来的2倍，两个车间分别生产产品的数量y（件）与时间x（）之间的关系如图所示．
(1)求a的值及A车间机器升级后y与x之间的函数解析式；
(2)若A，B车间共生产的产品满300件可以打包一箱，则经过多长时间恰好能装满第1箱？（打包时间忽略）
【答案】(1)200，
(2)
【详解】（1）解：由题图可得，A车间机器原来每小时生产产品的数量为（件），
生产效率提高为原来的2倍，
A车间机器升级后每小时生产产品100件，
，解得，
设A车间机器升级后y与x之间的函数解析式为，
将点，代入，
得，解得，
A车间机器升级后y与x之间的函数解析式为；
（2）解：设B车间机器生产产品的数量y与时间x之间的函数解析式为，将点代入，得，解得，
B车间机器生产产品的数量y与时间x之间的函数解析式为．
当时，，解得（不符合题意，舍去）；
当时，，解得（不符合题意，舍去）；
当时，，解得，
答：经过恰好能装满第1箱．
【经典例题5】（2024·福建莆田·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元
素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票．
问题解决
任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格．
任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案．
【答案】任务：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元；
任务：此次购买门票所需总金额的最小值为元；
任务：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票
【详解】解：任务：
设场馆门票为元，场馆门票为元，
由题意得：，
解得：，
答：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元；
任务：
设购买场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意，得：，
解得：，
设此次购买门票所需总金额为元，
则，
，
随的增大而减小，
，且为整数，
当时，取得最小值，最小值元，
答：此次购买门票所需总金额的最小值为元；
任务：
设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票张，
依题意得，，
∴，
又∵均为正整数，
∴或或，
当，时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去；
∴购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票．
【变式训练5-1】（2024·辽宁锦州·模拟预测）习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务：
如何设计采购方案
素材一：
甲 乙 共需费用（元）
购买数量（本） 3 4 288
购买数量（本） 5 2 270
素材二：
该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下：
甲 乙
购进数量（本） x y
售价（元/本） 38 50
问题解决
任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价．
任务二：
①写出y关于x的关系式．
②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，求w关于x的关系式，并说明应该如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】任务一：甲类图书每本的进价是36元，乙类图书每本的进价是45元
任务二：①；②当购进甲类图书60本，乙类图书52本时，该书店售完所获得利润最大，为380元
【详解】解：任务一：设甲类图书每本的进价为元，乙类图书每本的进价为元，
根据题意，得，解得．
答：甲类图书每本的进价是36元，乙类图书每本的进价是45元．
任务二：①根据题意，得，
；
②根据题意，得，
，
∴随的增大而减小，
∵，且取整数，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时，
∴当购进甲类图书60本，乙类图书52本时，该书店售完所获得利润最大，为380元．
【变式训练5-2】（2024·广东·模拟预测）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示．
双层部分的长度 2 6 10 …
单层部分的长度 116 108 100 …
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ．
请根据以上素材，解答下列问题：
(1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
(2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式；
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
【答案】(1)图见解析；；
(2)
(3)此时双层部分的长度为
【详解】（1）解：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，
解得，
．
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，
解得，
的取值范围是；
（2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
∴；
（3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，，
背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为，
手到地面的距离为，
设小明爸爸的身高为．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，
解得，
根据任务2，得，
解得，
此时双层部分的长度为．
【经典例题6】（2024·山东德州·一模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定，某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
(1)求出该市规定标准用水量的值；
(2)当用水量超过标准吨时，写出交费总数（元）与用水量（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
【答案】(1)
(2)，290元
【详解】（1）解：因七月份用水量为140吨，，
所以需加收：（元），
即，
解得，，
又8月份用水量为95吨，，不超标，
故答案为；
（2）解：当时，则．
∴，
用水量为150吨时，应交水费：（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【变式训练6-1】（2024·浙江衢州·一模）我市“一户一表、抄表到户”居民生活用水实行阶梯水价，三级收费标准如下表，每户每年应缴水费（元）与用水量关系如图．
分类 用水量 单价（元/）
第1级 不超过300
第2级 超过300不超过480的部分
第3级 超过480的部分
根据图表信息，解答下列问题：
(1)小南家2022年用水量为，共缴水费1168元．求，及线段的函数表达式．
(2)小南家2023年用水量增加，共缴水费元，求2023年小南家用水量．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：由图表可知：，
∴；
∴当用水量为时，每年应缴水费为元
∴
设，把，代入，得
，
解得
∴线段的函数表达式为．
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得．
∴2023年小南家用水量为．
【变式训练6-2】（2023·贵州遵义·模拟预测）为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费（元）与用电量（度）间的函数关系式．
档次 第一档 第二档 第三档
每月用电量（度） ______ ______
(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写上表：
(2)小明家某月用电120度，需交电费______元；
(3)求第二档每月电费（元）与用电量（度）之间的函数关系式；
(4)在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)54
(3)
(4)0.25
【详解】（1）解：利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，
利用横坐标可得出：第二档：，第三档；
（2）解：根据第一档范围是：，
根据图象上点的坐标得出：设解析式为：，
将代入得出：，
故，
当时（元），
故答案为：54；
（3）解：设第二档每月电费（元）与用电量（度）之间的函数关系式为：，
将代入得出：
，
解得：，
则第二档每月电费（元）与用电量（度）之间的函数关系式为：；
（4）解：根据图象可得出：
用电230度，需要付费108元，用电140度，需要付费63元，
故（元），（度），
（元），
则第二档电费为0.5元/度；
小刚家某月用电290度，交电费153元，
（度），（元），
（元），
答：的值为0.25．
【经典例题7】（2024·河北沧州·模拟预测）某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度（单位：）与上升时间（单位：）满足一次函数关系，部分数值如表：
上升时间(单位：） … 5 15 …
海拔高度（单位：） … 10 20 …
乙飞行器从海拔的高度，以的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态．
(1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度（单位：）与上升时间(单位：）之间的函数关系式；
(2)①求甲飞行器的初始高度；
②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由；
(3)若甲飞行器因为电量不足，上升后，减速为继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为（单位：）．请直接写出：当，h最多为多少米？
【答案】(1)甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为，乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为
(2)；能，
(3)h最多为
【详解】（1）解：设甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为
将和分别代入，得
解得，
∴；
根据题意，得乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为；
∴甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为，乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为
（2）解：①在中，当时，，
∴甲飞行器的初始高度是；
②在某时刻甲、乙两个飞行器能位于同一高度．
当甲、乙两个飞行器位于同一高度时，得，解得，
，
∴此时两个飞行器的高度为；
（3）解：当时，甲飞行器所在位置的海拔高度，
∴当时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为，
∴
∵当时，，
∴，
∵，
∴h随x的减小而增大，
∵，
∴当时，h最大，h最大，
∴h最多为．
【变式训练7-1】（2024·广西南宁·模拟预测）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验．
实验一：探究电池充电状态下，电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下，电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，
数据记录如表2：
表1
电池充电状态
时间t（分钟） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
表2
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
(1)【建立模型】观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式；
(2)【解决问题】某电动汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，此时电动汽车仪表盘显示电量为多少？
(3)在（2）的条件下，若电动汽车要继续行驶到达目的地，此时需要在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶220千米到达目的地，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为25%，则电动汽车在服务区充电多长时间？
【答案】(1)；
(2)
(3)40分钟
【详解】（1）解：根据题意，两个函数均为一次函数，设，，
将，代入得解得
∴函数解析式为：，
将，代入得，解得
∴函数解析式为：；
（2）由（1）得：
∴当时，，
∴未充电前电量显示为40%，
（3）假设充电充了t分钟，应增加电量：，
出发时电量为，
走完剩余路程应耗电量为：，依题意可得：，
解得，
答：电动汽车在服务区充电40分钟．
【变式训练7-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）【情境描述】
古人没有钟表，大多数时候，他们是以香燃烧的时间长短，来计量时刻的．实际上由于环境、风力、香的长短、香料干湿等诸多因素，一炷香的燃烧时间并不完全相同，但一般约为半个时辰，即一个小时．综合实践小组欲探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系．
【观察发现】
小组成员准备了一柱长为的香，测量后发现，香燃烧时剩余长度随着燃烧时间的变化而变化，每燃烧一分钟，香的长度就减少．
【建立模型】
（1）若用()表示香燃烧时剩余长度，用(分)表示燃烧时间，请根据上述信息，求关于的函数表达式，并在图中画出部分函数图象；
【解决问题】
（2）请你帮该小组算一算，经过多长时间，这柱香恰好燃烧完？
【答案】（1）；作图见解析；（2）经过分钟这柱香恰好燃烧完．
【详解】解：（1）依题意，剩余长度与燃烧时间之间的关系为：，
当时，，
当时，，
如图所示，
（2）根据函数的关系式可以看出剩余长度随着燃烧时间的增加而变短，
当时，，
，
所以经过分钟这柱香恰好燃烧完．
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