中小学教育资源及组卷应用平台
专题11 一次函数的实际应用
1．（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台．
(1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元．
(2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案．
2．（2023·山东泰安·模拟预测）雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
价格（元/只）型号种类 甲 乙
原料成本 12 8
销售单价 18 12
生产提成 1 0.8
(1)若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
(2)公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润销售收入投入总成本）．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为y（），行驶时间为x（），则y与x的函数图象如图所示．
(1)求乙到达A地所用的时间；
(2)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？
4．（2023·吉林白城·三模）某车间甲、乙两台机器共生产个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工个零件，如图是表示未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数图像．
(1)乙机器每天加工______个零件，甲机器维修了______天；
(2)求未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两台机器共生产个零件时，乙机器加工了多少天？
5．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）2023年中国已成为全球产量最大的电动汽车制造国，电动汽车在保障能源安全和改善空气质量方面都有明显的优势，因此电动汽车更多地走进千家万户；小明家有某款电动汽车和某款燃油汽车各一辆，经对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.6元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车行驶的总路程是燃油汽车的4倍．
(1)求小明家电动汽车平均每公里的充电费和燃油汽车平均每公里的加油费；
(2)小明家计划给这两款车充电和加油，要求这两款车行驶的公里数的和为1000公里，设燃油汽车行驶公里，两车加油和充电总费用为元；
①直接写出与的函数解析式为_____________；
②若电动汽车至少行驶700公里，则总费用的最大值为_____________元．
7．（2024·安徽·模拟预测）公司有台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元．
(1)设租用甲种货车辆（为非负整数），试填写下表．
表一：
租用甲种货车的数量 / 辆
租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台
租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台
表二：
租用甲种货车的数量 / 辆
租用甲种货车的费用/ 元
租用乙种货车的费用 / 元
(2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．
8．（2024·浙江温州·二模）实践活动：最多可以将几个杯子放进橱柜？周末，小洲同学在家整理杯子时，想把一些规格相同的杯子（如图1），尽可能多地叠放在一起（如图2），放入高为的橱柜里，于是他开始了以下探究：
【测量数据】
小洲同学经过探究测量后，将图2方式叠放杯子的总高度与杯子的个数的数据情况记录如下表：
杯子的个数（个） 1 2 3 4 5
杯子的总高度 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8
【建立模型】
根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中描出对应点，依据你所学的知识选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式．
【应用模型】
请根据你所探究出的规律，帮助小洲算算看，他最多可以将多少个杯子放入橱柜里．
9．（2024·山西晋中·一模）小王和小丽在物理课学习了水在标准气压的沸点是 ，据此他两在老师指导下进行了有关食用油的沸点探究活动：
活动主题：有关食用油沸点探究活动．
活动过程：某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度． 小王想用刻度不超过 的温度计测算出这种食用油沸点的温度． 在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔 测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间 0 10 20 30 40
油温 10 30 50 70 90
如果你参与了这个探究学习活动，根据他们的探究情况，请你完成下列任务．
任务一：在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温度y（单位：）与加热的时间t(单位：s) 符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是 函数关系 ；
任务二：请你根据以上判断，求出这种食用油达到沸点前y关于t的函数解析式；
任务三：当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题11 一次函数的实际应用
1．（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台．
(1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元．
(2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案．
【答案】(1)，型设备单价分别是2200，2000元
(2)，当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低
解；根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
【详解】（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，
根据题意得：，
解得，经检验是原方程的解，
∴型设备的单价为元；
答：，型设备单价分别是2200，2000元；
（2）设购买台型设备，
购买型设备台，依题意，．解得，
的最小整数解为12，
购买总费用为元，，
，
，随的增大而增大，
时，取得最小值，此时．
答：当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低．
答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元．
2．（2023·山东泰安·模拟预测）雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
价格（元/只）型号种类 甲 乙
原料成本 12 8
销售单价 18 12
生产提成 1 0.8
(1)若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
(2)公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润销售收入投入总成本）．
【答案】(1)甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只
(2)安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只，所获利润最大，最大利润为91万元
【详解】（1）设甲型号的产品有万只，则乙型号的产品有万只，根据题意，得．
解得．则．
答：甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只．
（2）设安排甲型号产品生产万只，则乙型号产品生产万只，根据题意，得．解得．
设该月公司所获利润为万元，则
．
因为，所以当时，最大，最大值为91万元．此时．
答：安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只，所获利润最大，最大利润为91万元．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为y（），行驶时间为x（），则y与x的函数图象如图所示．
(1)求乙到达A地所用的时间；
(2)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？
【答案】(1)
(2)11时或13时
【详解】（1）解：设，根据题意，
得，
解得，
故；
当时，，
故图象交点的坐标为，
设，根据题意，
得，
解得，
∴，
∴，
解得，
故乙到达A地所用的时间．
（2）解：设经过，甲、乙相距90千米，
根据题意，得则，
解得（小时），此时为11时．
根据题意，得则，
解得（小时），此时为13时．
4．（2023·吉林白城·三模）某车间甲、乙两台机器共生产个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工个零件，如图是表示未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数图像．
(1)乙机器每天加工______个零件，甲机器维修了______天；
(2)求未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两台机器共生产个零件时，乙机器加工了多少天？
【答案】(1)；
(2)
(3)天
【详解】（1）解：设乙机器每天加工个零件，甲机器每天加工个零件，
∴，解得，，
根据题意，从点到点是乙单独完成的量，
∴（个），
∴（天），
故答案为：；．
（2）解：设未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式为，
①当时，图像过点，，
∴，解得，，
∴；
②由（1）可知，甲维修了天，则乙加工了天，即点的坐标为，
∴当时，图像过点，，
∴，解得，，
∴；
③当时，图像过点，，
∴，解得，，
∴；
综上所述，未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数关系式为．
（3）解：根据题意可知，乙机器一直处于工作状态，当时，甲、乙共加工（个），当时，乙共加工了天，乙加工了，合计（个），
∴当加工个零件时，，即函数关系式为，
∴，
∴，解得，，
∴当甲、乙丙台机器共生产个零件时，乙机器加工了天．
5．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，
∴，
整理得：
∴
任务3：由任务2得，
∴当时，获得最大利润，
，
∴，
∵开口向下，
∴取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）2023年中国已成为全球产量最大的电动汽车制造国，电动汽车在保障能源安全和改善空气质量方面都有明显的优势，因此电动汽车更多地走进千家万户；小明家有某款电动汽车和某款燃油汽车各一辆，经对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.6元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车行驶的总路程是燃油汽车的4倍．
(1)求小明家电动汽车平均每公里的充电费和燃油汽车平均每公里的加油费；
(2)小明家计划给这两款车充电和加油，要求这两款车行驶的公里数的和为1000公里，设燃油汽车行驶公里，两车加油和充电总费用为元；
①直接写出与的函数解析式为_____________；
②若电动汽车至少行驶700公里，则总费用的最大值为_____________元．
【答案】(1)电动车平均每公里费用元，燃油车平均每公里元
(2)①；②380
【详解】（1）解：设电动车平均每公里费用x元，燃油车平均每公里元
解得：
经检验，是方程的解
∴
∴电动车平均每公里费用元，燃油车平均每公里元
（2）解：设燃油汽车行驶公里，则设电动汽车行驶公里，
由题意得：；
②若电动汽车至少行驶公里，则，解得：
∵
∴
由①得：
当时，
∴当电动汽车至少行驶700公里，则总费用的最大值为380；
7．（2024·安徽·模拟预测）公司有台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共辆．已知每辆甲种货车一次最多运送机器台、租车费用为元，每辆乙种货车一次最多运送机器台、租车费用为元．
(1)设租用甲种货车辆（为非负整数），试填写下表．
表一：
租用甲种货车的数量 / 辆
租用的甲种货车最多运送机器的数量 / 台
租用的乙种货车最多运送机器的数量 / 台
表二：
租用甲种货车的数量 / 辆
租用甲种货车的费用/ 元
租用乙种货车的费用 / 元
(2)给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．
【答案】(1)表一：，，，；表二：，，，
(2)甲种货车辆，乙种货车辆
【详解】（1）解：由题意可得，
在表一中，当甲车辆时，运送的机器数量为：（台），
则乙车辆，运送的机器数量为：（台），
当甲车辆时，运送的机器数量为：（台），
则乙车辆，运送的机器数量为：（台），
在表二中，当租用甲货车辆时，租用甲种货车的费用为：（元），
则租用乙种货车辆，租用乙种货车的费用为：（元），
当租用甲货车辆时，租用甲种货车的费用为：（元），
则租用乙种货车辆，租用乙种货车的费用为：（元），
故答案为：表一：，，，；
表二：，，，．
（2）解：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车辆，乙车辆，
理由：当租用甲种货车辆时，设两种货车的总费用为元，
则两种货车的总费用为：，
又∵，
解得：，
∵，
∴在函数中，随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车辆，乙种货车辆．
8．（2024·浙江温州·二模）实践活动：最多可以将几个杯子放进橱柜？周末，小洲同学在家整理杯子时，想把一些规格相同的杯子（如图1），尽可能多地叠放在一起（如图2），放入高为的橱柜里，于是他开始了以下探究：
【测量数据】
小洲同学经过探究测量后，将图2方式叠放杯子的总高度与杯子的个数的数据情况记录如下表：
杯子的个数（个） 1 2 3 4 5
杯子的总高度 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8
【建立模型】
根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中描出对应点，依据你所学的知识选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式．
【应用模型】
请根据你所探究出的规律，帮助小洲算算看，他最多可以将多少个杯子放入橱柜里．
【答案】画图见解析，，最多可以将23个杯子放入橱柜里．
【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握利用待定系数法求出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
先描点、连线，画出函数图像，根据函数图像判断函数类型，然后用待定系数法求得函数解析式，将函数关系式代入，求出n的最大值即可．
【详解】解：【建立模型】根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中画出函数图像如下：
这些点在一条直线上，即该函数为一次函数，
设y与x之间的函数关系式为．
将点、代入可得：
，解得
∴y与x之间的函数关系式为．
【应用模型】当时，有，解得：，
所以最多可以将23个杯子放入橱柜里．
9．（2024·山西晋中·一模）小王和小丽在物理课学习了水在标准气压的沸点是 ，据此他两在老师指导下进行了有关食用油的沸点探究活动：
活动主题：有关食用油沸点探究活动．
活动过程：某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度． 小王想用刻度不超过 的温度计测算出这种食用油沸点的温度． 在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔 测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间 0 10 20 30 40
油温 10 30 50 70 90
如果你参与了这个探究学习活动，根据他们的探究情况，请你完成下列任务．
任务一：在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温度y（单位：）与加热的时间t(单位：s) 符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是 函数关系 ；
任务二：请你根据以上判断，求出这种食用油达到沸点前y关于t的函数解析式；
任务三：当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
【答案】任务一：一次；任务二：；任务三：
【详解】解：任务一：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高，
故可知可能是一次函数关系，
故答案为：一次；
任务二：设这个一次函数的解析式为，
当时，；当时，，
，
解得，
∴y关于t的函数解析式为；
任务三：当时，
答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
