2024-2025学年广东省肇庆市广信中学、四会中学等五校高二（上）第二次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广信中学、四会中学等五校高二（上）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过，两点的直线的倾斜角是，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线：与：若，则( )
A. B. C. D.
3.一个平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个圆面的距离为，则这个球的体积为( )
A. B. C. D.
4.关于直线，及平面，，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的倍，则其表面积为( )
A. B. C. D.
6.圆台的高为，体积为，两底面圆的半径比为：，则母线和轴的夹角的正切值为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.九章算术中关于“刍童”上、下底面均为矩形的棱台体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角为
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线过定点
D. 三条直线，，交于同一点
10.下列说法正确的是( )
A. 已知空间向量，且，则实数
B. 直线与直线之间的距离是．
C. 已知直线过点，且与，轴正半轴交于点、两点，则面积的最小值为
D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
11.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A. 平面
B. 向量与的夹角是
C.
D. 直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：，：，若，则 ______．
13.已知点到直线的距离为，则 ______．
14.如图，在棱长为的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点给出下列四个命题：
三棱锥的体积为；
；
的面积为定值；
四棱锥是正四棱锥．
其中所有正确命题的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点分别为，，．
求边的中线和高所在直线的方程；
若过顶点的直线的斜率存在，且原点到直线的距离为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形．
求证：平面；
求点到直线的距离；
求平面与平面夹角的余弦值
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点．
求点到平面的距离；
求直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上
求圆的标准方程；
点在圆上运动，求的取值范围．
19.本小题分
在中，，，，，分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求证：平面；
在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：边的中点为，又，直线的斜率为，
边上的中线所在直线的方程为，即．
直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为，
边上的高所在直线的方程为，即．
当直线的斜率存在时，直线的方程可设为，即，
由题意，原点到直线的距离为，即，解得，
所求直线的方程为．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
综上，所求直线的方程为或．
16.解：证明：设，连接，
由四边形为矩形，得为中点，
又为中点，则，
又平面，平面，
所以平面．
由垂直于梯形所在平面，，得直线、、两两垂直，
以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
，，
所以点到直线的距离为．
由可知，，，
设平面的法向量，
则，则，
令，得，
易知平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：，，，，底面为正方形，
以为原点，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，分别为，中点，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，所以，
则，，
点到平面的距离；
首先设平面的法向量，，，
由，即，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，，
所以，
所以，
则直线与平面所成角的余弦值．
18.解：因为圆心在直线上，
所以设圆心的坐标为，
所以圆的方程为，
因为圆经过，两点，
所以，解得，
所以圆的标准方程为，
因为点在圆上运动，设，
所以
，
因为，
所以，
所以的取值范围是．
19.证明：因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，
又已知，，且都在面内，
所以平面；
解：由，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故C，，，，，，
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，
，
设平面的一个法向量为，
则，
不妨令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
不妨令，则，，
所以，
若平面与平面所成角余弦值为，
则满足，
化简得，解得或，
即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面所成角余弦值为，
此时的长度为或．
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