江苏省无锡市江阴市南菁中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省江阴市南菁中学 2023-2024 学年高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 √ 3
1.已知平面向量 = (0,1,0)， = (0, , )，则 与 + 的夹角为( )
2 2
2 5
A. B. C. D.
3 3 6 6
2.已知过点 (2,2)的直线与圆( 1)2 + 2 = 5相切，且与直线 + 1 = 0平行，则 =( )
1 1
A. 2 B. 1 C. D.
2 2
3.坐标平面内有相异两点 ( , sin2 )， (0,1)，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( )
3 3 3
A. [ , ] B. (0, ] ∪ [ , ) C. [0, ] ∪ [ , ) D. [ , ]
4 4 4 4 4 4 4 4
4.已知实数 ， ， ， 满足 2 + 21 2 1 2 1 1 = 4，
2
2 +
2
2 = 4， 1 2 + 1 2 = 0，则| 1 + 1 4| + | 2 + 2 4|
的最大值是( )
A. 6 B. 8 C. 6√ 2 D. 12
2 , 为奇数
5.已知数列{ }满足 +1 = { ，若3 ≤ 9 ≤ 15，则 1的取值范围是( )
+ 1, 为偶数
3 3
A. [ 1,0] B. [ , 0] C. [0, ] D. [0,1]
4 4
6.已知点 ( 2,0)， (5,7)，圆 ： 2 + 2 4 + = 0，若在圆 上存在唯一的点 使得∠ = 90°，则
可以为( )
A. 2 B. 68
C. 2或 68或 12或 54 D. 2或 68或54
2
7.设拋物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点是 ，直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且∠ = ，线段 的
3
| |
中点 到拋物线 的准线的距离为 ，则( )2的最小值为( )

√ 3 1
A. √ 3 B. C. 3 D.
3 3
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
8.已知方程 + = 1表示的曲线为 ，则下列四个结论中正确的是( )
6 2
A. 当 > 6或 < 2时，曲线 是双曲线
B. 当2 < < 6时，曲线 是椭圆
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C. 若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 > 6
D. 若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则2 < < 4
9.给出下列命题，其中正确的命题是( )
2
A. 若直线 的方向向量为 = (1,0,3)，平面 的法向量为 = ( 2,0, )，则直线 //
3
1 1 1
B. 若对空间中任意一点 ，有 = + + ，则 ， ， ， 四点共面
4 4 4
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量 = (9,4, 4)， = (1,2,2)，则 在 上的投影向量为(1,2,2)
10.已知数列{ }的前 项和为 ，下列说法正确的( )
A. 若 2 = + 1，则{ }是等差数列
B. 若 = 3
1，则{ }是等比数列
C. 若{ }是等差数列，则 9 = 9 5
D. 若{ }是等比数列，且 1 > 0， > 0，则 1 >
2
3 2
11.如图，经过坐标原点 且互相垂直的两条直线 和 与圆 2 + 2 4 +
2 20 = 0相交于 ， ， ， 四点， 为弦 的中点，有下列结论( )
A. 弦 长度的最小值为4√ 5
B. 线段 长度的最大值为10 √ 5
C. 点 的轨迹是一个圆
D. 四边形 面积的取值范围为[20√ 5, 45]
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
12.正方体 的棱长为2，若动点 在线段 上运动，则 1 1 1 1 1 的取值范围是______．
13.若圆 2 + 2 4 4 10 = 0上至少有三个不同的点到直线 ： = 的距离为2√ 2，则直线 斜率的
取值范围是______．
2 2
14.如图，已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1，
2，| 1 2| = 6， 是双曲线右支上的一点， 2 与 轴交于点 ，△ 1
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的内切圆在边 1上的切点为 ，若| | = 1，则双曲线的离心率是______．
15.记 为数列{ }的前 项和，已知对任意的 ∈ ， + +1 = 2 + 1，且存在 ∈ ， = +1 = 210，
则 1的取值集合为______(用列举法表示)．
四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知直线 ： + 2 = 0与圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 4交于 ， 两点．
√ 2
(1)若圆心 到直线 的距离为 ，求 的值．
2
1 9
(2)是否存在过点 ( , )的直线 ′垂直平分弦 ？若存在，求出直线 ′与直线 的交点坐标；若不存在，请说
4 4
明理由．
17.(本小题15分)
如图， 是以 为直径的圆 上异于 ， 的点，平面 ⊥平面 ， = = = 2， = 4， ， 分
别是 ， 的中点，记平面 与平面 的交线为直线 ．
(1)证明： ⊥平面 ；
√ 5
(2)直线 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ？若存在，求出| |的值；若不存
5
在，请说明理由．
18.(本小题15分)
已知正项等比数列{ 3 }前 项和为 , 4 = 2，当 ≥ 2时， = 2 1 + ， ∈ ．
(1)求{ }的通项公式；
2
(2)求数列{ }的前 项和 ． +1
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19.(本小题15分)
2
已知双曲线 ： 2
2 = 1的右焦点为 ，点 ， 分别为双曲线 的左、右顶点，过点 的直线 交双曲线的

1
右支于 ， 两点，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2，且 1 2 = ． 3
(1)求双曲线 的方程；
tan∠ 1
(2)当点 在第一象限，且 = 时，求直线 的方程．
tan∠ 2
20.(本小题15分)
记数列{ }的前 项和为 ， 1 = 2， + +1 = 3 +1 4．
(1)求{ }的通项公式；
(2)设 2 = log2 ，记{ }的前 项和为 .若 ( 1) + 2 ≤ 对于 ≥ 2且 ∈ 恒成立，求实数 的取
值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[0,4]
13.【答案】[2 √ 3, 2 + √ 3]
14.【答案】3
15.【答案】{ 20,21}
16.【答案】解：(1)圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 4，则圆心 (1,2)，
√ 2
∵直线 ： + 2 = 0，圆心 到直线 的距离为 ，
2
| 2+2 | √ 2 7
∴ = = ，即17 2 24 + 7 = 0，即( 1)(17 7) = 0，解得 = 1或 = ；
2 17
√ 2 +1
(2)假设存在，
圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 4，则圆心 (1,2)，
1 9
要使过点 ( , )的直线 ′垂直平分弦 ，则直线 ′必经过圆心 ，
4 4
9
2
4 1 1∴ ′ = 1 = ，∴直线 ′的方程为 2 = ( 1)，即 + 3 7 = 0，
1 3 3
4
又 ⊥ ，且直线 ： + 2 = 0，∴ ′ = 1，即 = 3，
∴直线 的方程为3 + 6 = 0，
11
3 + 6 = 0 =
联立直线 与 ′的方程得{ ，解得{ 10，
+ 3 7 = 0 27 =
10
11 27
∴直线 ′与直线 的交点坐标为( , ).
10 10
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17【. 答案】解：(1)证明：连接 并延长，交圆 于点 ，连接 ， ，
，
则 = ，四边形 为矩形， // ，
因为 // ，所以 // ，
故平面 与平面 的交线为 所在直线，即 所在直线为直线 ，
因为 为直径，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，交线为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，即 ⊥平面 ；
(2)在 上取点 ，连接 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，垂直 ， 的直线为 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，
因为 = = = 2， = 4，
所以 1 √ 3 1 √ 3 (1,0,√ 3), ( , 0, ), (2,0,0, ), (0,4,0), ( , 2, ), (2, , 0)，
2 2 2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
3 √ 3 3 √ 3 = ( , 0, ) ( , , ) = + = 0
则{ 2 2 2 2 ，
3 √ 3 3 √ 3 = ( , 2, ) ( , , ) = + 2 + = 0
2 2 2 2
得： = 0，令 = 1，则 = √ 3，故 = (1,0, √ 3)， = (1, , √ 3)，
| | |1 3| √ 5故|cos , | = = = ，
| | | | 2√ 1+3+ 2 5
得： = ±1，
故| | = 1，
即直线 上存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为√ 5，且| | = 1．
5
18.【答案】解：(1)设正项等比数列{ }的公比为 ，∵ > 0，∴ > 0，
∴由 4 =
3
2得 1
3 = ( 31 ) ，解得 1 = 1，
∵当 ≥ 2时， = 2 1 + ， ∈ ，∴ 2 = 2 1 + ， 3 = 2 2 + ，
则 3 2 = 2( 2 1)，即 3 = 2 2，

∴ = 3 = 2，
2
∴ 1 = 1 = 2
1( ∈ )．
(2)由(1)得 2 = 2，∵ 2 = 2 1 + ，
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∴ 1 + 2 = 2 1 + ，∴ = 2 1 = 1，
1×(1 2 )
∵ = = 2 1( ∈
)，
1 2
2 2 1 1
∴ = =
+1 2
，
+1 (2 1)(2 1) 1 2
+1 1
1 1 1 1 1 1 1
∴ = ( 1 2 ) + ( 2 ) + + ( ) = 1 ． 2 1 2 1 2 1 23 1 2 1 2 +1 1 2 +1 1
2
19.【答案】解：(1)由双曲线 ： 22 = 1，知左右顶点 ， 的坐标为( , 0)，( , 0)，
2 1
设 ( , )，则 1 = ， = ，∴ = = ， + 2 1 2 2 2 3
2 2 2 2
又 2
2 = 1，∴ 2 = 2 1 = 2
，
1 1
∴ 2 = ，∴
2 = 3，
3
2
∴双曲线 的方程为 2 = 1；
3
(2)设直线 的方程为 = + 2， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
1 1
2 1 1 √ 3 1+√ 3 3 1( 1+√ 3 1+√ 3) 3 2√ 3 1 3 2√ 3 1 √ 3tan∠ = = = × = ×
1+ 1 4 2 3 4 2
= × 2 = ，
1 2 1+ 1 1 3 4 3 2 3 1 1
√ 3 tan∠ 1 1
同理可得tan∠ = ，又 = ，∴ 2 = ，∴ = 2 ，
2 2 tan∠ 2 2
1 2
1
= + 2
由{ ，消去 得( 2 3) 22 2 + 4 + 1 = 0， 3 = 3
4 1
∴ 1 + 2 = 2 ， = ， 3 1 2 2 3
4 1 4 1 1 1
∴ 2 =
2 2
2
， 2 2 = 3 2 ，∴ 2( 3 2 ) = 2 ，解得 = 或 = (舍去)， 3 3 √ 11 √ 11
1
∴直线 的方程为 = + 2，即√ 11 2√ 11 = 0．
√ 11
20.【答案】解：(1)已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 2， + +1 = 3 +1 4，①
则 1 + = 3 4，②
由① ②可得 + +1 = 3 +1 3 ，
即 +1 = 2 ，( ≥ 2)，
又 1 + 1 + 2 = 3 2 4，
即 2 = 4，
即 2 = 2 1，
即 +1 = 2 ，
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即数列{ }是以2为首项，2为公比的等比数列，
即 = 2 ；
(2)已知 = log2 ，
则 = 2 ，
又{ }的前 项和为 ，
则 1 2 3 = 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 2 +. . . + × 2
，③
则2 = 1 × 2
2 + 2 × 23 + 3 × 24+. . . + × 2 +1，④
由③ ④可得：
1 2 3 = 2 + 2 + 2 +. . . +2 × 2
+1，
2(1 2 )
即 = × 2
+1 = ( 1) × 2 +1 + 2，
1 2
又 ( 1)2 + 2 ≤ 对于 ≥ 2且 ∈ 恒成立，
则 ( 1) ≤ 2 +1对于 ≥ 2恒成立，
2 +1
即 ≤ 对于 ≥ 2恒成立，
1
2 +1
设 = ， ≥ 2， 1

则 +1
2 2 2
= = 1 + ≥ 1，

当且仅当 = 2时取等号，
即 2 = 3 < 4 < 5 <. . . < ，
又 2 = 8，
即数列{ }的最小值为8，
即 ≤ 8，
即实数 的取值范围为( ∞, 8]．
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