2024-2025学年河北省衡水市河北冀州中学高三（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年河北省衡水市河北冀州中学高三（上）月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，比较，，的大小为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知角，满足，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，且公差，则以下结论正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则的最大值为
D. 若，，成等比数列，则
10.已知，则下列结论正确的是( )
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是
B. 当且时，
C. 若满足，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，，且为奇函数，则下列说法正确的是( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的一个周期是 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，，设的前项和为，则 ．
13.函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是 ．
14.若正实数，满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知．
求；
若为边上一点，，求．
16.本小题分
已知函数．
证明：曲线是中心对称图形；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知数列，，，，且为等比数列．
求的值；
记数列的前项和为，若，求的值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，讨论的零点个数；
当时，，求实数的取值范围．
19.本小题分
若存在常数，使得对定义域内的任意，，都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”．
判断函数是否是区间上的“利普希兹条件函数”？并说明理由；
已知函数是区间上的“利普希兹条件函数”，求实数的取值范围；
若函数为连续函数，其导函数为，若，其中，且定义数列：，，证明：．
参考答案
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14.
15. ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
法：如图在 中，由余弦定理
，即 ，
在 中由正弦定理 ，
即 ，所以 ，
因为 ，故 ，
在 中 ．
法：同解法 ，在 中由正弦定理 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，即 ，所以 ．
法同上 ，在直角 中 ，所以 ，
由问知 ，所以 ，
即 ，得
即 ，所以 ， ．
法如图由知 ，则 ，
因为 ，所以
，
即 ，解得 ，
所以 ，即 ，
在 中，由正弦定理 ，即 ，
解得 ．

16.解：证明：函数，定义域为，
，
所以曲线关于点对称．
，
因为，，所以，
所以在定义域上单调递增．
方法一又关于点对称，，
所以，
解得．
方法二因为关于点对称，
所以是奇函数，且在区间上单调递增．
由，即，
即，
所以，所以，
解得．
所以实数的取值范围为．
17.解：由，，可得，
，，
由为等比数列，可得，即，
解得舍去；
由可得，，，
，
则当为偶数时，；
当为奇数时，．
若为奇数，由，可得，方程无解；
若为偶数，由，可得，
解得舍去．
18.解：，
令，得，
因为，
所以，，
所以在时，，单调递减，
在时，，则在区间上单调递增，
所以，
设，，
则，
因为，
所以，
所以在区间上单调递减，
又因为，
所以当时，，则，无零点，
当时，，有个零点，
当时，，
又，
当趋近于时，趋近于，有个零点，
综上所述，当时，无零点，
当时，有个零点，
当时，有个零点．
，即，
即，
当时，，，
所以，可得，
可得，
两边同时取自然对数得，，
当时，成立，
当时，，则，可得，
设，，
则，
设，，
则，
设，，
则，
设，，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以，
所以，则在区间上单调递增，
又，
所以，
所以，则在区间上单调递增，
又，
所以，
所以，则在区间上单调递增，
又当趋近于时，趋近于，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为
19.解：依题意，
注意到 ，，因此 ，从而 ，
故 ，
即 是区间 上的“利普希兹条件函数“．
依题意，，，均有，
不妨设 ，则 ，即 ，
设 ，则 单调递减，
故 ，恒成立，即 ，因此 ．
证明：因为 ，设 ，则 ，
故 为单调递增函数，
则，恒有 ，即 ，
设，则 ，故 为单调递减函数，
则，恒有 ，
即 ，
综上可知，，
则，
当 时，
，
则
，
综上可知，．
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