天津市南开中学2025届高三上学期统练数学试卷7（PDF版，含答案）

天津市南开中学 2025 届高三上学期统练数学试卷 7
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 1 ≤ ≤ 2}， = { ∈ | 3 ≥ }，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. { 1,1,2} D. { 1,0,1,2}

2.设 ， 为两个非零向量，则“ = ”是“ // ”的( )
| | | |
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次
为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的60%分位数是( )
A. 16 B. 30 C. 32 D. 51
4.已知函数 ( )的图象如图所示，则函数 ( )的解析式可能为( )
A. ( ) = 2 ( )
2+1
B. ( ) = 2 ln
2
+
C. ( ) =

1 2
D. ( ) = ln
2
+1
1 3 1
5.已知 = sin , = ln , = 3 2，则( )
3 2
A. < < B. < < C. < < D. < <
5
6.对于 ( ) = cos2( ) + sin2( + ) 1，下列选项中正确的是( )
12 12

A. ( )关于直线 = 对称 B. ( )是偶函数
3
C. ( )的最小正周期为2 D. ( )的最大值为1
7.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是
东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦
图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形
是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 = ， = ， =
1 ，则 =( )
2
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2 1 1 2 3 1 1 3
A. + B. + C. + D. +
5 5 5 5 4 4 4 4
8.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一
块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外
每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依
次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面
形石板(不含天心石)( )
A. 3699块
B. 3474块
C. 3402块
D. 3339块
9.斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波
那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇
宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”.斐波那契数列用递推的方式可定义如下：
数列{ }满足： 1 = 2 = 1， +2 = +1 + ( ∈ )，则下列结论错误的是( )
A. 2024是奇数
B. 3 = 2 + +2( ≥ 3)
C. 2 2 2 21 + 2 + 3 + + 2023 = 2023 2024
D. 1 + 2 + 3 + + 2022 = 2024 + 1
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
2
10.已知复数 = ( 为虚数单位)，则 的虚部为______．

11.(1 2 )(1 + 3 )6的展开式中，含 2的项的系数为______. (用数字作答)
12.在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，且
1
= ，若 = + ，则 =
3
______．
5
13.已知角 ， ∈ (0, )， = 2，sin( ) = ，则cos( + ) = ______．
2 13
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14.甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等
可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.如果第一次由甲将球传出，设 次传球后球在
甲手中的概率为 ，则 3 = ______； = ______．
15.设 ∈ ，若关于 的方程2 | | ( 2) + | | + 1 = 0有3个不同的实数解，则实数 的取值范围为
______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
√ 3
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， + = ．

(Ⅰ)求 的大小；
(Ⅱ)若 = 8， = 4√ 7．
( )求 的值；

(ⅱ)求sin(2 + )的值．
4
17.(本小题12分)
如图， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， // ， = = = 2 = 2 = 2，点 ， ， 分
别为 ， ， 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的大小；

(3)若 为线段 上的点，且直线 与平面 所成的角为 ，求点 到直线 的距离．
6
18.(本小题12分)
2 2
已知过点(0, 2√ 3)，斜率为√ 3的直线 过椭圆 ：
2
+ 2 = 1( > > 0)的焦点，椭圆 的中心关于直线 的

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2
对称点在直线 = 上．
2
(1)求椭圆 的方程；
4√ 6
(2)过点 ( 2,0)的直线 交椭圆 于点 、 ，且满足tan∠ = ( 为坐标原点)，求直线 的方程．
3
19.(本小题12分)
设{ }是公比大于0的等比数列，{ }是等差数列，已知 1 = 1， 3 = 2 + 2， 4 = 3 + 5， 5 = 4 + 2 6．
(1)求数列{ }，数列{ }的通项公式；
(2)设 = ( 1) 1
( 2) 1
+
，求数列{ }的前2 项和 ( 2 ． +1)( +1 1)
20.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = (1 ) 2 ， ( ) = ， 1 ≤ ≤ 0．
1
(1)求曲线 = ( )与 = ( )的一条公共切线方程；
(2)证明： ( ) ≤ ( )；
(3)若 ( ) ≥ 2 2 + 1，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】 2
11.【答案】99
5
12.【答案】
9
4
13.【答案】
13
2 1 1
14.【答案】0.25 × ( ) +
3 2 3
15.【答案】(9,+∞)
√ 3
16.【答案】解：(Ⅰ)因为 + = ，

√ 3
由正弦定理得 + = ，

( + ) √ 3
整理得， = ，

( + ) √ 3
即 = ，

因为sin( + ) = sin( ) = ， ∈ (0, )，
因为 有意义，
所以 ≠ 0，
所以 = √ 3 ，

即 = √ 3，又 ∈ (0, )， = ；
3
(Ⅱ)( )因为 = 8， = 4√ 7，
1 64+ 2 116
由余弦定理得 = = ，
2 16
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整理得 2 8 48 = 0，
解得 = 12(舍负)，
故 = 12；
2
(4 2 2√ 7) +12 8 2√ 7
( )由余弦定理得 = = ，
2×4√ 7×12 7
√ 21
所以 = ，
7
2√ 7 √ 21 4√ 3
所以 2 = 2 = 2 × × = ，
7 7 7
4 1
2 = 2 2 1 = 2 × 1 = ，
7 7
√ 2 √ 2 4√ 3+1 √ 2+4√ 6
故sin(2 + ) = ( 2 + 2 ) = × = ．
4 2 2 7 14
17.【答案】解：(1)证明：连接 ，因为 // ， // ，
所以 // ，
又因为 = ，
所以四边形 为平行四边形，
因为点 和 分别为 和 的中点，
所以 // 且 = ，
因为 // ， = 2 ， 为 的中点，
所以 // 且 = ，
可得 // 且 = ，
即四边形 为平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， ⊥ ，
故以 为原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
依题意可得 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,1,0)， (0,2,0)，
(0,0,2)， (0,1,2)， (1,1,1)，
= (1,1, 1), = (0,1,0), = (1, 1,1), = (0,2, 2)，
设 = ( , , )为平面 的法向量，
= 0 + = 0
则{ ，即{ ，不妨设 = 1，可得 = (1,0,1)，
= 0 = 0
设 = ( , , )为平面 的法向量，
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= 0 2 2 = 0则{ ，即{ ，不妨设 = 1，可得 = (0,1,1)．
= 0 + = 0
1
所以cos < , >= = ，
| | | | 2
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 1 2 √ 3 = √ 1 ( ) = ，
2 2
即平面 与平面 夹角的正弦值为√ 3，
2
故平面 与平面 夹角为60°．
(3)设 = (0 ≤ ≤ 1)，即 = = (0, , 2 )，
则 (0, + 1,2 2 )．
从而 = (0, + 1,2 2 )．
由(2)知平面 的法向量为 = (1,0,1)，

而直线 与平面 所成的角为 ，
6
| |
所以sin = |cos < , > | = ，
6 | | | |
1 |2 2 |
即 =2 ，
√ 2 2 ( +1) +(2 2 ) √ 2
整理得3 2
1
10 + 3 = 0，解得 = 或 = 3，
3
因为0 ≤ ≤ 1，
1 4 4 4 4 4 2
所以 = ，所以 (0, , )， = (0,0,2) (0, , ) = (0, , )，
3 3 3 3 3 3 3
1 √ 3 √ 3 √ 3
令 = = × (1,1, 1) = ( , , )，
| | √ 3 3 3 3
2
所以点 到直线 的距离为 16 4 2√ 3 20 12 2√ 2 = √ ( )2 = √ ( + ) ( )2 = √ = ．
9 9 3 9 9 3
2 2
18.【答案】解：(1) ∵过点(0, 2√ 3)，斜率为√ 3的直线 过椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的焦点，
∴直线 的方程为 = √ 3 2√ 3，
令 = 0，得椭圆焦点坐标为(2,0)，
2
∵椭圆 的中心关于直线 的对称点在直线 = 上，
2
设椭圆 的中心关于直线 的对称点为( , )，
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√ 3
= 2√ 3
2 2
则 √ 3= ，解得 = √ 3， = 3， 2 = 2 = 6，
3
2
{ = 2
∴ 2 = 2 2 = 6 4 = 2，
2 2
∴椭圆 的方程为 + = 1．
6 2
4√ 6
(2)①当直线 的斜率不存在时，满足tan∠ = ，此时直线 的方程为 = 2．
3
②当直线 的斜率存在时，由题设知直线 的斜率不为零，
∴直线 的方程可设为 = ( + 2)
代入椭圆方程得：(3 2 + 1) 2 + 12 2 + 12 2 6 = 0
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
12 12 6
∴ 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
3 +1 3 +1
4√ 6
由tan∠ = ，
3
4√ 6
得：| | | |sin∠ = ，
3
2√ 6
∴ △ = ， 3
2
又| | = √ 1 + 2
2√ 6(1+ ) |2 |
| 1 2| = 2 ，原点 到 的距离 = ，
3 +1 √ 2 1+
2
1 √ 6(1+ ) |2 | 2√ 6
则 △ = | | = = ， 2 23 +1 √ 2 3 1+
√ 3
解得 = ± ，
3
√ 3
∴ 的方程是 = ± ( + 2)或 = 2．
3
19.【答案】解：(1)设等比数列{ }的公比为 ， > 0，设等差数列{ }的公差为 ．
∵ 21 = 1， 3 = 2 + 2，∴ = + 2，
∵ > 0，∴ = 2，∴ = 1 = 2 1 1 ．
2 + 6 = 8
∵ 4 = 3 + 5， 5 = 4 + 2 ，∴ {
1
6 ， 3 1 + 13 = 16
∴ 1 = = 1，∴ = 1 + ( 1) = ．
( 2) 2 1 1 ( 2) 2 1 1
(2)由(1)得 = ( 1) 1 2
1 + 1
(2 1
= ( 2) + ，
+1)(2 +1) (2 1+1)(2 +1)
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( 2) 2 1 1
令 = ( 2)
1， = 1 ， (2 +1)(2 +1)
记数列{ }的前2 项和为 ，数列{ }的前2 项和为 ，
= 1 × ( 2)0 + 2 × ( 2)1 + 3 × ( 2)2 + + 2 ( 2)2 1，①
则 2 = 1 × ( 2)1 + 2 × ( 2)2 + 3 × ( 2)3 + + 2 ( 2)2 ，②
0 2
( 2) ( 2)
① ②得，3 = ( 2)0 + ( 2)1 + ( 2)2 + + ( 2)2 1 2 ( 2)2 = 2 ( 2)2 =
1+2
1 1+6
22 ，
3 3
1 1+6
∴ = 4 ．
9 9
( 2) 2 1 1 1
又 = = ，
(2 1+1)(2 +1) 2 1+1 2 +1
0 1 1 2 2 1 2 2
∴ = 1 + 2 + + 2 = ( 0 1 ) + ( 2 +1 2 +1 21+1 22
) + + (
+1 22 1
) = ，
+1 22 +1 4 +1
1 1+6 2
∴ 2 = + = 4

9 9 4
．
+1
1
20.【答案】解：(1) ( ) = (1 ) 2 ， ( ) = ， 1 ≤ ≤ 0，
1
1
′( ) = ( 1 + 2 2 ) 2 = (1 2 ) 2 ， ′( ) = 2 , 1 ≤ ≤ 0，
(1 )
注意到 (0) = (0) = ′(0) = ′(0) = 1，
所以曲线 = ( )与 = ( )的一条公共切线可以是经过(0,1)且斜率为 的直线，
故所求为 + 1 = 0；
1
(2)证明：由 ( ) = (1 ) 2 ≤ ( ) = 2 (1 )2 1 ≤ 0， 1 ≤ ≤ 0，
1
设 ( ) = 2 (1 )2 1， 1 ≤ ≤ 0，则 ′( ) = 2 (2 2 4 + 2 + 2 2) = 2 ( 1) 2 ≥ 0， 1 ≤
≤ 0，
所以 ( )在[ 1,0]上单调递增，从而， ( ) ≤ (0) = 0 2 (1 )2 1 ≤ 0，
故原命题得证；
(3)第一步： ( ) = ( ) 1 = (1 ) 2 1， 1 ≤ ≤ 0，
′( ) = ( 1 + 2 2 ) 2 1 = (1 2 ) 2 1， 1 ≤ ≤ 0，
设 ′( ) = 1( )， 1 ≤ ≤ 0，
则 1( ) = (1 2 )
2 1, 1 ≤ ≤ 0，
所以 1′( ) = ( 2 + 2 4 )
2 = 4 2 ≥ 0， 1 ≤ ≤ 0，
从而 ′( )在[ 1,0]上单调递增，则 ′( ) ≤ ′(0) = 0，所以 ( )在[ 1,0]上单调递减，
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所以 ( ) ≥ (0) = 0， 1 ≤ ≤ 0，所以 ( ) ≥ + 1， 1 ≤ ≤ 0，
第二步： + 1 ≥ 2 2 + 1， 1 ≤ ≤ 0 ≤ 2 1， 1 ≤ < 0，

设 ( ) = 2 1， 1 ≤ < 0，则 ′( ) = 1 2 < 0， < 1 ≤ < 0，
3
所以 ( )在[ 1,0)上单调递减，从而 ( )在[ 1,0)上的值域为( 1,2 2]，
所以 + 1 ≥ 2 2 + 1， 1 ≤ ≤ 0，当且仅当 ≤ 1，
1 1
第三步： ( ) = ≥ 2 2 + 1， 1 < < 0 < 2 + ， 1 < < 0，
1 1
1 1
设 ( ) = 2 + ， 1 ≤ < 0，则 ′( ) = 1 2 2 < 0, < 1 ≤ < 0， 1 ( 1) 3
3
所以 ( )在[ 1,0)上单调递减，从而 ( )在[ 1,0)上的值域为( 1,2 1 ],
2
所以 + 1 ≥ 2 2 + 1， 1 ≤ ≤ 0，当且仅当 ≤ 1，
第四步：注意到 + 1 ≤ ( ) ≤ ( )，从而若 ( ) ≥ 2 2 + 1，
则实数 的取值范围为( ∞, 1]．
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