02 专题2 一元二次方程（含答案） 2024-2025学年初中数学沪科版八年级下册单元专题练

专题2 一元二次方程
题型归类 举一反三
题型一 一元二次方程的有关概念
例1 若关于的一元二次方程有一个根为0,则的值为（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
变式跟进
1．若关于的一元二次方程有一个根是2,则__________.
2．.已知关于的方程的一个解为,则它的另一个解是____________.
题型二 一元二次方程的解法
例2 解方程:.
变式跟进
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根,则该等腰三角形的周长是 （ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
4．解下列方程:
（1） （用配方法）;
（2） （用公式法）;
（3） （用因式分解法）;
（4） .
题型三 一元二次方程根的判别式
例3 已知关于的方程
（1） 求证:无论取何实数,该方程总有两个不相等的实数根;
（2） 若方程的一根为2,试求出的值和另一根.
变式跟进
5．定义新运算“”:对于任意实数,,都有,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如:.若为实数)是关于的方程,则它的根的情况为（ ）
A．无法确定 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．关于的一元二次方程有实数根,则实数的取值范围是____________.
7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1） 求的取值范围;
（2） 如果符合条件的最大整数是关于的一元二次方程的根,求的值.
8．已知关于的一元二次方程.
（1） 求证:方程总有两个实数根;
（2） 若方程的两个根均为整数,且为正整数,求的值.
题型四 一元二次方程的根与系数的关系
例4 已知关于的一元二次方程有实数根.
（1） 求的取值范围;
（2） 若此方程的两个实数根,满足,求的值.
变式跟进
9．关于的方程的两个根互为相反数,则的值是（ ）
A． B． C．1 D．0
10．一元二次方程的两根为,,则的值为________.
11．[2024淮北模拟].若关于的一元二次方程有实数根，，且．
（1） 求的取值范围；
（2） 若，求的值．
12．已知,是关于的一元二次方程的两根.
（1） 求的值.
（2） 若,求的值.
题型五 一元二次方程的应用
例5 [2024浙江模拟]随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现．受公司各方资源因素的影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度．
（1） 求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2） 现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
变式跟进
13．如图是一个长为、宽为的矩形花园,现要在花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为,那么小道进出口的宽度应为____________.
14．[2024安庆模拟]某青年旅社有60间客房供游客居住.在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了元．
（1） 填表（不需化简）：
入住的房间数量/间 房间价格/元 总维护费用/元
提价前 60 200
提价 后 ________________ ______________ ______________________
（2） 若该青年旅社希望每天纯收入为14 000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入-维护费用）
15．[2024阜阳模拟]如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距院墙处，规划有机动车停车位）
（1） 若设车棚宽度为，则车棚长度为________________.
（2） 若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
（3） 若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．把方程配方成的形式,则,的值分别是（ ）
A．, B．, C．, D．,
2．方程的解是（ ）
A． B．
C．, D．无解
3．若一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛,共要比赛110场.设参加比赛的球队有支,根据题意,下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯.如图,它的长为、宽为.如果地毯中央矩形图案的面积为,那么花边的宽是（ ）
A． B． C． D．
6．关于的一元二次方程的一个根为1,则的值是________.
7．解一元二次方程时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程:________________________________.
8．如果关于的方程有两个不相等的实数根,那么的取值范围是____________.
9．已知关于的方程的两根分别是,,且满足,则的值是________.
10．用适当的方法解下列方程:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
B组·能力提升 强化突破
11．[2024池州模拟]某厂一月份生产某种机器100台，计划二、三月份共生产280台.设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.若,则的值是（ ）
A．2 B． C．2或 D．不存在
13．已知关于的一元二次方程有两个实数根,.
（1） 求的取值范围;
（2） 若,求的值.
14．阅读材料:
材料1 若关于 的一元二次方程 的两个根分别为,,则,.
材料2 已知一元二次方程 的两个实数根分别为,,求 的值.
解: 一元二次方程 的两个实数根分别为,,
,,
.
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
（1） 【材料理解】一元二次方程的两个根分别为,,则________,__________;
（2） 【类比应用】已知一元二次方程的两根分别为,,求的值;
（3） 【思维拓展】已知实数,满足,,且,求的值.
专题2 一元二次方程
题型归类 举一反三
题型一 一元二次方程的有关概念
例1 D
【点悟】 已知一元二次方程的根求未知系数,其方法是:（1）已知一根,直接代入原方程,得到一个关于待定系数的方程,解方程求出待定系数的值;（2）已知两根,把两根直接代入原方程,列出关于待定系数的方程组,解方程组,求待定系数;（3）利用根与系数的关系求解.注意,求出的待定系数不能使二次项系数等于0.
变式跟进
1．
2．
题型二 一元二次方程的解法
例2 解:解法一:,
,
,
,
,.
解法二:,,,
,
,
,.
变式跟进
3．A
4．（1） 解:,.
（2） ,.
（3） ,.
（4） ,.
题型三 一元二次方程根的判别式
例3 （1） 证明:,
无论取何实数,该方程总有两个不相等的实数根.
（2） 解:将代入方程中,
得,
解得.
原方程可化为,
解得,.
故的值为,方程的另一根为.
例3 【点悟】 当 时,方程 有两个不相等的实数根;当 时,方程 有两个相等的实数根;当 时,方程 无实数根.另外,解这类问题必须分清方程是一元一次方程还是一元二次方程,是方程有实数解还是一元二次方程有实数解.
变式跟进
5．C
6．
7．（1） 解:根据题意,得
且,
解得且.
（2） 由（1）知符合条件的最大整数,
把代入,得
,
解得.
8．（1） 证明:根据题意,得
,
,,
又, 方程总有两个实数根.
（2） 解:方程可变形为,
解得,.
方程有两个整数根,,
为正整数,.
题型四 一元二次方程的根与系数的关系
例4 （1） 解: 关于的一元二次方程有实数根,
,
即,
解得.
（2） 由根与系数的关系,可得,,
.
,
,解得或.
,不合题意,应舍去,
.
例4 【点悟】 运用根与系数的关系时,注意二次项系数不为零和判别式大于等于零的前提条件.
变式跟进
9．B
10．
11．（1） 解：由，得
，
．
此方程有两个实数根且不相等，
，
解得，
故的取值范围是．
（2） 方程的两个实数根为，，
，．
，
，
即，
解得，
故的值为3．
12．（1） 解:根据题意,得.
（2） 当时,方程化为,
是关于的一元二次方程的根,
,
即.
,
.
,是关于的一元二次方程的两根,
,
.
题型五 一元二次方程的应用
例5 （1） 解：设该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为.
根据题意,得，
解得（不符合题意，舍去），．
答：该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为.
（2） 设应该再增加个工厂，则每个工厂的最大产能是万辆/季度.
根据题意,得，
整理,得，
解得，，
又 要节省投入成本，．
答：应该再增加3个工厂．
变式跟进
13．
14．（1） ； ；
（2） 解：根据题意，得，
整理，得，
解得，．
当时，有游客入住的客房数量是（间）,
当时，有游客入住的客房数量是（间）,
当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
15．（1）
（2） 解：设车棚宽度的长为，则车棚长度为，
根据题意，得，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去），
.
答：自行车车棚的长为，宽为.
（3） 不能围成面积为的自行车车棚.理由如下：
设车棚宽度的长为，则车棚长度为.
根据题意，得，
整理得，
，
原方程无解，
不能围成面积为的自行车车棚．
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．A 2．C 3．D 4．D 5．B
6．
7．（或）
8．
9．
10．（1） 解:,,
,,
解得,.
（2） ,
,
,
,
解得,.
（3） ,
,
,
,
解得,.
（4） ,
.
,,,
,
.
,.
B组·能力提升 强化突破
11．B 12．A
13．（1） 解:由题意，可知
,
整理,得,解得.
的取值范围为.
（2） 由题意,得
.
,,
,
整理,得,
解得,.
又由（1）可知,
的值为3.
14．（1） ；
（2） 解: 一元二次方程的两根分别为,,
,,
.
（3） 实数,满足,,
与可看作是方程的两个实数根,
,,
,
,
.