04 专题4 四边形 2024-2025学年初中数学沪科版八年级下册单元专题练（含答案）

专题4 四边形
题型归类 举一反三
题型一 多边形的内角与外角
例1 [2023滁州模拟]下列多边形中,内角和是 的是（ ）
A． B．
C． D．
变式跟进
1．[2023蚌阜模拟]九边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
2．[2023滁州模拟]八边形的外角和是（ ）
A． B． C． D．
3．过多边形的一个顶点可以作2 022条对角线,则这个多边形的边数是（ ）
A．2 025 B．2 024 C．2 023 D．2 022
题型二 平行四边形的性质和判定
例2 如图,已知垂直平分,,.
（1） 求证:四边形是平行四边形;
（2） 若,,求的长.
变式跟进
4．如图,在四边形中,与相交于点,且,点在上,满足.
（1） 求证:四边形是平行四边形;
（2） 若,,,求四边形的面积.
题型三 矩形的性质和判定
例3 如图,在中,过点作于点,点在上,,连接,.
（1） 求证:四边形是矩形;
（2） 若平分,且,,求矩形的面积.
变式跟进
5．如图,在中,对角线,相交于点,为的中点,连接,的延长线交的延长线于点,连接.
（1） 求证:;
（2） 若, ,判断四边形的形状,并证明你的结论.
题型四 菱形的性质和判定
例4 如图,在中,,,垂足分别为,,且.
（1） 求证:是菱形;
（2） 若,,求的面积.
变式跟进
6．如图,在中, ,是斜边上的中线,是的中点,过点作,交的延长线于点,连接.
（1） 求证:;
（2） 判断四边形的形状,并证明你的结论.
题型五 正方形的性质和判定
例5 [2024潜山模拟]如图，四边形是正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以,为邻边作矩形，连接．
（1） 求证：矩形是正方形；
（2） 若，，求的长度；
（3） 当线段与正方形的某条边的夹角是 时，直接写出的度数．
变式跟进
7．如图,在中,,,分别是,的中点,连接并延长交外角的平分线于点.
（1） 求证:;
（2） 连接,,当满足什么条件时,四边形为正方形？请证明你的结论.
题型六 矩形、菱形、正方形的综合
例6 [2024淮北模拟]如图，在中， ，过点的直线，为边上的一点，过点作，垂足为，交直线于点，连接，．
（1） 求证：；
（2） 当为中点时，证明：四边形是菱形；
（3） 在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？直接写出你的答案．
变式跟进
8．如图,已知是的边的中点,连接并延长,交的延长线于点.
（1） 求证:;
（2） 连接,,若,求证:四边形为矩形;
（3） 在（2）的条件下,当再满足一个什么条件时,四边形为正方形？
题型七 与矩形、菱形、正方形有关的动态型问题
例7 如图,在中, ,, ,点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动,同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点,运动的时间是.过点作于点,连接,.
（1） 求证:.
（2） 四边形能够成为菱形吗？如果能,求出相应的值;如果不能,请说明理由.
变式跟进
9．[2024安庆模拟]如图，在四边形中，， ，，，点从点出发，沿线段向点以的速度匀速运动;点从点出发，沿线段向点以的速度匀速运动.已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
（1） 如图①，连接，两点，则线段长的取值范围是______________________________．
（2） 当时，求的值．
（3） 如图②,在线段上有一点，，连接和，请问是否存在某一时刻使得平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．[2023六安模拟]下列度数可能是边形内角和的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2023合肥模拟]一个多边形的每个外角都等于 ,则这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．[2023大庆]将两个完全相同的菱形按如图方式放置.若 , ,则（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．[2023兰州]如图,在矩形中,为延长线上一点,为的中点,以点为圆心,的长为半径的圆弧过与的交点,连接.若,,则的长为（ ）
第4题图
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．如图,在五边形中, ,,分别平分,,则的度数是（ ）
第5题图
A． B． C． D．
6．[2023青岛]如图,在正方形中,,分别是,的中点,,相交于点,为上一点,为的中点.若,,则线段的长度为（ ）
第6题图
A． B． C．2 D．
7．如图,将矩形折叠,折痕为,的对应边与交于点.若 ,则的度数为____________.
第7题图
8．[2023牡丹江]如图,在平面直角坐标系中,菱形的顶点,在轴上,,, ,将菱形绕点旋转 后,得到菱形,则点的坐标是______________________________________.
第8题图
9．[2024蚌埠模拟].如图，在中，对角线,交于点，过点且绕该点旋转的动直线分别交线段,于点,（点不与点重合），连接,．
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 当四边形是菱形时，，，求的边上的高．
B组·能力提升 强化突破
10．[2023巴中]如图,是等边三角形,,为的中点.以点为圆心,适当长为半径画弧,交于点,交于点,分别以点,为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点,作射线交于点.过点作交射线于点,连接,.
（1） 求证:四边形是菱形;
（2） 若,求的面积.
11．[2024宿州模拟]如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在轴上.已知， ，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点移动.是的中点，的延长线交于点．
（1） 求点，的坐标;
（2） 当四边形是平行四边形时，求点的移动时间；
（3） 当为等腰三角形时，点的坐标是__________________________________________________．
12．[2024阜阳模拟]问题：如图①，点，分别在正方形的边，上， ，试判断，，之间的数量关系．
【发现证明】 小聪延长至点，使得，得到，从而发现，请你利用图①证明上述结论．
【类比引申】 如图②，在四边形中， ，， ，点，分别在边，上，则当与满足什么数量关系时，仍有？请说明理由．
【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形.已知， ， ， ，道路，上分别有景点，，且，，现要在,之间修一条笔直道路，则这条道路的长为____________（结果取整数.参考数据：，）
专题4 四边形
题型归类 举一反三
题型一 多边形的内角与外角
例1 C
变式跟进
1．B 2．A 3．A
题型二 平行四边形的性质和判定
例2 （1） 证明:垂直平分,
,,
,.
,
.
,
,.
,,,
四边形是平行四边形.
（2） 解: 四边形是平行四边形,,
四边形为菱形,
.
设,则.
,
,
即,解得,
,
.
例2 【点悟】1.证明一个四边形是平行四边形的基本思路:
（1）若已知一组对边平行,可以证明这组对边相等,或另一组对边平行;
（2）若已知一组对边相等,可以证明这组对边平行,或另一组对边相等;
（3）若已知条件与对角线有关,可以证明对角线互相平分.
2.解决与平行四边形的性质有关的问题:
（1）平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质,这为计算边与角、证明三角形全等提供了很多条件,因此,要灵活运用这些性质解题;
（2）在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时,常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决.
变式跟进
4．（1） 证明:在和中,
,
.
又,
四边形是平行四边形.
（2） 解:,,
,
是菱形.
,
.
在中,由勾股定理,得
,
,
.
题型三 矩形的性质和判定
例3 （1） 证明: 四边形是平行四边形,
,,
.
,
,
,
四边形是平行四边形.
,
,
四边形是矩形.
（2） 解:,
.
平分,
,
,
.
在中,,,
,
,
.
例3 【点悟】1.证明一个四边形是矩形的基本思路:
（1）若四边形（或可证明）为平行四边形,则再证明一个角是直角或对角线相等;
（2）若直角较多,可证明三个角是直角.
2.利用矩形的性质解题的基本思路:
（1）从对角上看,矩形的四个角都是直角,可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决;
（2）从对角线上看,对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形,可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决.
变式跟进
5．（1） 证明: 四边形是平行四边形,
,,.
为的中点,
.
在和中,
,
.
又,.
（2） 解:四边形为矩形.证明如下：
,四边形为平行四边形，
,
.
又,,
,
为等边三角形,
.
,,
四边形为平行四边形,
,.
又,
,
四边形为矩形.
题型四 菱形的性质和判定
例4 （1） 证明: 四边形是平行四边形,
.
,,
.
又,
,
,
是菱形.
（2） 解:如答图,连接,交于点.
例4答图
由（1）知四边形是菱形,,
,.
在中,
,
.
.
例4 【点悟】1.证明一个四边形是菱形的基本思路:
（1）若四边形（或可证）为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直;
（2）若相等的边数较多（或容易证出）时,可证明四条边相等.
2.利用菱形的性质解题的基本思路:
（1）菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形,可将菱形问题转化为直角三角形的问题去解决;
（2）有一个内角为 （或）的菱形,连接对角线可构成等边三角形,可将菱形问题转化为等边三角形的问题去解决.
变式跟进
6．（1） 证明:,
.
是的中点,
.
在和中,
,
.
（2） 解:四边形是菱形.证明如下:
由（1）知.
是边上的中线,
,
.
,
四边形是平行四边形.
又 ,是的中点,
,
四边形是菱形.
题型五 正方形的性质和判定
例5 （1） 证明：作于点，于，如答图①．
例5答图①
四边形是正方形，
，
又,,
.
, ，
， ，
．
在和中，
，
，
矩形是正方形．
（2） 解：如答图②．
例5答图②
在中，,
，
,
，
点与点重合，此时是等腰直角三角形，易知．
（3） ①当与的夹角为 时， ；
②当与的夹角为 时， ．
例5 【点悟】 证明一个四边形是正方形的一般步骤:
（1）先证明它是平行四边形;
（2）再证明有一组邻边相等（或一个角是直角）;
（3）最后证明它有一个角是直角（或有一组邻边相等）.
变式跟进
7．（1） 证明:,
.
,
.
平分,
.
.
是的中点,
.
在和中,
,
.
（2） 解:当 时,四边形是正方形.
证明:由（1）知,,
,
四边形是平行四边形.
是的中点,,
,
,
四边形是矩形.
,是的中点,
,
四边形是正方形.
题型六 矩形、菱形、正方形的综合
例6 （1） 证明：，
.
，
，
.
，即，
四边形是平行四边形，
.
（2） 证明：为的中点，
.
，
.
又，
四边形是平行四边形.
，为的中点，
，
四边形是菱形.
（3） 解：当 时，四边形是正方形.理由如下：
， ,
.
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
例6 【点悟】 解答特殊平行四边形的结论探究型试题时,要善于根据已知条件和图形,以及由已知条件得出的结论来全面分析,逐步找到所要探究的结论.
变式跟进
8．（1） 证明:在中,,
.
为的中点,
.
在和中,
.
（2） 证明:,
.
,
四边形为平行四边形,
.
,
,
四边形是矩形.
（3） 解:在（2）的条件下,当为等腰三角形,即时,四边形为正方形.理由如下:
由（2）知四边形是矩形.
又,
四边形为正方形.
题型七 与矩形、菱形、正方形有关的动态型问题
例7 （1） 证明: 在中,
, ,
.
,,
且在中, ,
,
.
（2） 解: ，,又,
四边形是平行四边形.
当时,四边形是菱形,
即,解得.
当时,四边形是菱形.
变式跟进
9．（1）
（2） 解：过点作于点，如答图①，则四边形是矩形，
,,
,
,
,，且两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，
．
过点作于点，如答图①，
第9题答图①
则四边形是矩形，
，
，
或，
解得或．
（3） 存在某一时刻使得平分.理由如下：
当平分时，四边形是平行四边形，即，如答图②所示.
第9题答图②
，
或,
解得（不合题意，舍去）或，
当的值为6时，平分．
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．C 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B
7．
8．或
9．（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，，，
.
在和中，
，
.
又，
四边形是平行四边形.
（2） 解：当四边形是菱形时，.
，，
，，
.
设菱形的边上的高为，
则，
即，
解得，
即的边上的高为12．
B组·能力提升 强化突破
10．（1） 证明:是等边三角形,
, .
,
.
为的中点,
.
,
是等边三角形.
.
由作图知,平分,
.
,,
,.
又,
四边形是平行四边形.
,
四边形是菱形.
（2） 解:是等边三角形,,
, , .
,,
.
四边形是菱形,
,.
在中, ,
,.
.
.
11．（1） 解：， ，，
，．
在中，由勾股定理，得
.
，，
，
.
四边形是平行四边形，
，
点的坐标为，点的坐标为.
（2） 四边形是平行四边形，
.
.
是的中点，
是的中位线，
是的中点，
，
，
解得，
故点移动的时间为．
（3） 或或
12．【发现证明】 证明：，
，，.
四边形是正方形， ,
， ，
,
．
在和中，
，
，
．
又，,
，
．
【类比引申】 解：当时，仍有.理由如下：
如答图，延长至点，使，连接．
第12题答图
， ，
.
在和中，
，
，.
，
，
.
在和中，
，
，
，
即．
【探究应用】