第4课时 三角形的中位线
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知识点1 三角形中位线定理的证明
1．[2023河北模拟]数学课上,大家一起研究三角形中位线定理的证明.嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线,如图①,②.其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
A．嘉嘉的作法不可以,淇淇的作法可以
B．嘉嘉的作法可以,淇淇的作法不可以
C．嘉嘉和淇淇的作法都不可以
D．嘉嘉和淇淇的作法都可以
知识点2 三角形中位线定理的运用
2．[2024广安]如图，在中，，分别是，的中点.若 ， ，则的度数为（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2024长沙]如图，在中，，分别是，的中点.连接.若，则的长为__________．
第3题图
4．[2024无锡].在中，，，，，，分别是，，的中点，则的周长为________．
5．.如图,的对角线,相交于点,,分别是线段,的中点.若,的周长是18,则的长为________.
6．如图,在中, , ,,,分别为边,的中点.
（1） 求的度数;
（2） 求的长.
B组·能力提升 强化突破
7．[2023泸州]如图,的对角线,相交于点,的平分线与边相交于点,是的中点.若,,则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．[2023株洲]如图,在中,,分别为,的中点,点在线段上,连接,,分别为,的中点.
（1） 求证:四边形为平行四边形;
（2） 若,,,求线段的长.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．[2023北京模拟]【推理能力】如图,在四边形中,已知,,分别为,的中点,延长,,分别交射线于点,.求证:.
第4课时 三角形的中位线
课堂导学
例题引路
【思路分析】
根据三角形中位线定理可得，，，，从而得到且，再根据平行四边形的判定定理1判定四边形是平行四边形，即可得出．
例 【规范解答】证明：，都是 的中线，
是 的中位线，
，．
，分别是，的中点，
，，
且，
四边形 是平行四边形，
．
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知识点1 三角形中位线定理的证明
1．D
知识点2 三角形中位线定理的运用
2．D
3．
4．
5．
6．（1） 解:在中, , ,
.
（2） 在中, , ,
,
.
,分别为边,的中点,
是的中位线,
.
B组·能力提升 强化突破
7．A
8．（1） 证明:,分别为,的中点,,分别为,的中点,
是的中位线,是的中位线，
,,,,,,
四边形为平行四边形.
（2） 解: 四边形为平行四边形,
.
, ，
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
9．证明:如答图,连接,取的中点,连接,.
第9题答图
是的中点,是的中点,
是的中位线，
,,
.
同理可证,,,
.
又,
,
,
.第2课时 平行四边形的性质3
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知识点1 平行四边形对角线互相平分
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A．相等 B．互相平分
C．互相垂直 D．互相垂直且相等
2．[2024贵州]如图，的对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2022芜湖模拟]如图,在中,对角线与相交于点, ,,,则的长为（ ）
第3题图
A．4 B．5 C．6 D．8
4．如图,已知的对角线,相交于点,且,,,则________,________,的周长为__________.
第4题图
5．如图,在中,与相交于点.若,,则的取值范围是________________.
第5题图
6．.如图,在中,对角线与相交于点,,在对角线上,且.求证:.
知识点2 平行四边形的面积
7．如图,的对角线与相交于点,与面积相等的三角形（不包括本身）的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
易错点 考虑不全面而致错
8．已知的面积为36，，，则的长为________________________．
B组·能力提升 强化突破
9．如图，为内的任意一点,连接，，，.设，，，的面积分别为，，，，则，，，之间的等量关系为 ____________________________．
10．.如图,在中,对角线,相交于点,分别过点,作,,垂足分别为,,平分.
（1） 若 ,则的度数为 ____________；
（2） 求证:.
11．[2023镇江模拟]如图,在中,对角线,相交于点,,分别为,的中点,连接,,.
（1） 求证:;
（2） 若,且,,则的长为____________.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．[2024广西模拟]【逻辑推理】如图，在中，，分别是，上的点，且，连接交于点，延长交的延长线于点．
（1） 与的数量关系是______________；
（2） 若， ， ，，求的长．
第2课时 平行四边形的性质3
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例题引路
【思路分析】
（1）根据平行四边形的性质得出，，则，，即可根据“”证明；（2）根据,得出，．
例 （1） 【规范解答】
证明： 四边形 是平行四边形，
，，
，，
在 和 中，
．
（2）
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知识点1 平行四边形对角线互相平分
1．B 2．B 3．A
4．； ；
5．
6．证明: 四边形是平行四边形,
,.
,.
在和中,
,,
.
知识点2 平行四边形的面积
7．B
易错点 考虑不全面而致错
8．或
B组·能力提升 强化突破
9．
10．（1）
（2） 证明: 四边形是平行四边形,
.
,,
.
又,
,
.
11．（1） 证明: 四边形是平行四边形,
,,,
.
,分别为,的中点,
,,
,
.
（2）
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．（1）
（2） 解： 四边形是平行四边形，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，，.
，
是等腰直角三角形，
，，.
，， ，
．第3课时 平行四边形的判定
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知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1．在四边形中,,要判定四边形是平行四边形,则还需满足（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2．[2023 河北模拟]要使如图所示的四边形是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
知识点3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3．如图,在四边形中,,则下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
第3题图
A． B．
C． D．
4．小敏不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,她带了两块碎玻璃,其编号应该是（ ）
第4题图
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
知识点4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．如图,四边形的对角线和相交于点,下列能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
6．[2024河北]下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在中，，平分的外角，是的中点，连接并延长交于点，连接. 求证：四边形是平行四边形. 证明：，. ，，， . 又，， ). 四边形是平行四边形.
若以上解答过程正确，①②应分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
知识点5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
7．[2022河北]依据所标数据,下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
B组·能力提升 强化突破
8．[2022赤峰]如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边形,转动其中一张纸条,在转动过程中下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形的周长不变 B．
C．四边形的面积不变 D．
9．[2024达州]如图，线段，相交于点，且，于点．
（1） 尺规作图：过点作的垂线，垂足为点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2） 若，请判断四边形的形状，并说明理由.
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．【推理能力】如图，在四边形中，，，，点自点向点以的速度运动，到点即停止.点自点向点以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为．
（1） 用含的代数式表示：________，________________，________________，__________．
（2） 当________时，四边形是平行四边形；
（3） 当________时，四边形是平行四边形．
第3课时 平行四边形的判定
课堂导学
例题引路
【思路分析】
根据平行四边形的性质，可以得出，，再结合，得出四边形的对角线互相平分，即可得出四边形是平行四边形．
例 【规范解答】证明： 四边形 是平行四边形，
，．
又，
．
四边形 是平行四边形．
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知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1．A
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2．C
知识点3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3．D 4．D
知识点4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．D 6．D
知识点5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
7．D
B组·能力提升 强化突破
8．D
9．（1） 解：如答图，，，即为所求作．
第9题答图
（2） 四边形是平行四边形.理由如下：
，.
，，
， .
在和中，，，，
，．
又，
四边形是平行四边形．
C组·核心素养拓展 素养渗透
10．（1） ； ； ；
（2）
（3）19.2 平行四边形
第1课时 平行四边形的性质1和性质2
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知识点1 平行四边形的定义
1．如图,在中,是延长线上的一点.若 ,则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024吉林]如图，在中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点.求证：．
知识点2 平行四边形的边、角的性质
3．平行四边形不一定具有的特征是（ ）
A．内角和为 B．对角互补
C．邻角互补 D．对角相等
4．在中,,,则的周长为 （ ）
A． B． C． D．
5．如图,在中,下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．
（1） 在中,若 ,则____________;若,则____________.
（2） 已知的周长为,若,则________,________.
知识点3 两条平行线之间的距离
7．如图,点,在直线上,点,在直线上,,于点,,,,,则直线与之间的距离是__________.
第7题图
8．如图,,.若,,则中边上的高为________.
第8题图
易错点 位置不确定，造成漏解
9．在平面直角坐标系中，平行四边形的三个顶点，，，则其第四个顶点的坐标是______________________________________________．
B组·能力提升 强化突破
10．[2023聊城]如图,在中,线段的垂直平分线交于点,交于点,连接,,过点作,交的延长线于点,连接.若,,则四边形的面积为__________.
11．.如图,四边形是平行四边形,延长至点,使得,连接交于点.
（1） 求证:;
（2） 连接,若,,求的长.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．[2024新疆]【推理能力】如图，已知．
（1） 尺规作图：作的平分线交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2） 在（1）的条件下，求证：是等腰三角形．
19.2 平行四边形
第1课时 平行四边形的性质1和性质2
课堂导学
例题引路
【思路分析】
依据“”可证明，即可得到．
例 【规范解答】证明： 四边形 为平行四边形，
，，
.
，
，
.
在 和 中，
，
，
．
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 平行四边形的定义
1．A
2．证明：是的中点，．
四边形是平行四边形，
，．
又，
，．
知识点2 平行四边形的边、角的性质
3．B 4．A 5．C
6．（1） ；
（2） ；
知识点3 两条平行线之间的距离
7．
8．
易错点 位置不确定，造成漏解
9．或或
B组·能力提升 强化突破
10．
11．（1） 证明: 四边形是平行四边形,
,,
,.
又,.
在和中,
.
（2） 解: 四边形是平行四边形,
,.
由（1）得,
,,
.
,,
.
在中,
,
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
12．（1） 解：如答图，即为所求作．
第12题答图
（2） 证明：为的平分线，
．
四边形为平行四边形，，
，，
，
是等腰三角形．
