第18章 勾股定理 复习课 知识点分类训练 （含答案）2024-2025学年初中数学沪科版八年级下册

第18章 勾股定理 复习课
类型之1 勾股定理的计算
1．若一个直角三角形的两直角边的长为12和5,则第三边的长为（ ）
A．13或 B．13或15 C．13 D．15
2．[2023无为模拟]甲、乙两艘客轮同时离开港口,航行的速度都是,甲客轮用到达点,乙客轮用到达点.若,两点的距离为,甲客轮沿着北偏东 的方向航行,则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西
3．在一棵树的高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树远的池塘,而另一只爬到树顶后直扑入池塘.如果这两只猴子经过的路程相等,那么这棵树有多高？
类型之2 勾股定理的证明
4．[2024南阳模拟]勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图①是由边长均为1的小正方形和构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.将图①按图②所示“嵌入”长方形，则该长方形的面积为（ ）
A．120 B．110 C．100 D．90
5．如图①,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图②的图案,记阴影部分的面积为,空白部分的面积为,大正方形的边长为,小正方形的边长为.若,则的值为________________.
① ②
类型之3 勾股定理的逆定理
6．[2024永州模拟]如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均在格点上．
（1） 求证：是直角三角形；
（2） 四边形的面积为__________．
7．阅读下列解题过程.
已知,,为 的三边长,且满足,试判断 的形状.
解:,①
,②
,③
为直角三角形.④
（1） 上述解题过程中,从第____步开始出现了错误;
（2） 错误的原因为:____________________________________________________________________;
（3） 请写出本题正确的解答过程及结论.
类型之4 平面展开——最短路径问题
8．[2024南宁模拟]如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是__________．
类型之5 折叠问题中的勾股定理
9．如图,在三角形纸片中,, ,为的中点,沿过点的直线折叠,使点与点重合,折痕交于点.若,则的长是（ ）
第9题图
A． B． C．3 D．
10．如图,折叠长方形纸片,使点落在边上,折痕的两端分别在,上（含端点）,且,.折痕的最大值是____________.
第10题图
类型之6 勾股定理的新定义问题
11．定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.如图,将绕顶点按顺时针方向旋转 得到,连接,,,已知 .
（1） 求证:是等边三角形;
（2） 求证:,即四边形是勾股四边形.
本章复习课
类型之1 勾股定理的计算
1．C 2．C
3．解:如答图,为树顶,,为池塘,.
第3题答图
设,则.
,
.
在中, ,
由勾股定理,得,
即,解得,
.
答:这棵树高.
类型之2 勾股定理的证明
4．B
5．
类型之3 勾股定理的逆定理
6．（1） 解：由图，得，
，．
，
，即是直角三角形．
（2）
7．（1） ③
（2） 等式两边同时除以,而可能等于0
（3） 解:,
.
,
或.
当时,,此时为等腰三角形;
当时,,此时为直角三角形.
综上所述,为等腰三角形或直角三角形.
类型之4 平面展开——最短路径问题
8．
类型之5 折叠问题中的勾股定理
9．B
10．
类型之6 勾股定理的新定义问题
11．（1） 证明:,.
,是等边三角形.
（2） ,
.
是等边三角形,
, .
, ,
在中,,
,即四边形是勾股四边形.