第18章 勾股定理 质量评估（含答案）2024-2025学年初中数学沪科版八年级下册

第18章 勾股定理 质量评估
［时量:120分钟 分值:150分］
一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分）
1．下列给出的三条线段的长,能首尾相连组成直角三角形的是（ ）
A．1,2,3 B．2,3,4 C．,, D．7,24,25
2．若直角三角形的两直角边长分别为,,则斜边上的高为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是某校的长方形水泥操场,如果一学生要从角走到角,那么至少要走（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．某人在平地上以的速度向西走了,接着以的速度向南走了,这时他离出发点的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中， ，，，则正方形的面积为（ ）
第5题图
A．81 B．144 C．225 D．169
6．如图为的正方形格子,其中所有线段的端点都在格点上,长度为无理数的线段是（ ）
第6题图
A．,, B．, C．, D．,
7．如图,在中, ,作边的垂直平分线,垂足为,交于点,且,,则的周长是（ ）
第7题图
A．14 B．16 C．18 D．22
8．如图，图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为（ ）
第8题图
A．24 B．36 C．40 D．44
9．如图,在四边形中,, ,,,分别以点,为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于点,作射线交于点,交于点.若点是的中点,则的长为（ ）
第9题图
A．4 B． C．5 D．
10．如图，在中， ,，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
第10题图
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）
11．如图,将一副三角尺叠放在一起,若,则的长为 ______.
第11题图
12．如图,数轴上点所表示的数为__________,点所表示的数为______.
第12题图
13．如图,在四边形中, ,平分,,为上的一点,,,则的长为________.
第13题图
14．如图,在离水面高度为的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子的长为,几分钟后船到达点的位置,此时绳子的长为,则船向岸边移动了____________.
第14题图
三、解答题（本大题共9个小题,共90分）
15．（8分）如图，是平面直角坐标系中的一点．
（1） 用二次根式表示线段的长;
（2） 若，，求的长．
16．（8分）如图，在中，，垂足为， ， ．
（1） 求的度数．
（2） 若，求的长．
17．（8分）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知处与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且．
（1） 修建的公路的长；
（2） 公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？
18．（8分）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行,“海天”号每小时航行.它们离开港口后分别位于点，处，且相距.若知道“远航”号沿东北方向航行,请判断“海天”号的航行方向.
19．（10分）如图，在四边形中，已知 ，，,，
（1） 求证：是直角三角形；
（2） 求四边形的面积．
20．（10分）如图，在中，，是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接．若，．
（1） 求证：平分；
（2） 求四边形的面积.
21．（12分）如图，某村有两条笔直公路和相交于点, ,在公路路边有学校,与点的距离长为.有一移动广告宣传车在笔直公路上移动宣讲,宣传车周围以内因为广播噪音会影响学校,宣传车在公路上匀速行驶，已知宣传车的速度是.
（1） 学校到公路的最短距离是多少米？
（2） 请问学校能否被宣传声音影响到？如果能影响到,那么学校总共会被影响多长时间？
22. （12分）如图,在等腰中,,点是斜边上的中点,点,分别为,上的点,且.
（1） 若设,,满足,求及的长;
（2） 求证:.
23．（14分）定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”．
（1） 如图，在中， ，，，求中边的“中偏度值”；
（2） 在中，，，边上的高，求中边的“中偏度值”．
第18章质量评估
一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分）
1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．D 7．B 8．D 9．A 10．B
二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）
11．
12．；
13．
14．
三、解答题（本大题共9个小题,共90分）
15．（1） 解：.
（2） ．
16．（1） 解：在中， ， ，
.
（2） ， ，
，
.
设，由勾股定理,得，
即，解得 ．
即的长为．
17．（1） 解：，，，，
是直角三角形， .
,
.
（2） 在中，，
一辆货车从处经过点到处的路程为
18．解:根据题意,得
,
,
.
,即,
.
由“远航”号沿东北方向航行，可知 ,则 ,
即“海天”号沿西北方向航行.
19．（1） 证明：在中， ，，,
.
在中，，，，
，即，
，即是直角三角形.
（2） 解：，
，
.
20．（1） 证明：，.
，，
，平分.
（2） 解：过点分别作，，垂足分别为,,如答图,
第20题答图
则.
，，且，
，
，.
设，则.
由勾股定理，得，
，解得，
，
，
四边形的面积为60.
21．（1） 解:如答图①,过点作于点,则即为所求最短距离.
第21题答图①
, , .
在中,.
又,.
即学校到公路的最短距离是.
（2） , 学校能被宣传声音影响到.
如答图②,影响路段的长为线段的长.
第21题答图②
在中,,
又,,
.
又,,.
宣传车的速度是,
学校总会被影响的时间为.
22. （1）
解:由题意,得
解得.
则,
,,
解得,.
即,.
（2）
证明:如答图,延长到点,使,连接,.
在和中,
,
,.
在和中,
,
.
,
.
,
,即 .
在中,根据勾股定理,得.
,,
.
第22题答图
23．（1） 解：作的中线，作于点,如答图①.
第23题答图①
，，，.
，，
，.
为斜边上的中线，，，
，即点到的距离为，
中边的“中偏度值”为.
（2） ①当高在内部时，作的中线，如答图②.
第23题答图②
，，，，，，
.
为的中线，，
，即点到的距离为2，
中边的“中偏度值”为2；
②当高在外部时，作的中线，如答图③.
第23题答图③
，，，，，，
.
为的中线，，
，即点到的距离为7，
中边的“中偏度值”为7.
综上所述，中边的“中偏度值”为2或7．