2024-2025学年江苏省南通市通州高级中学高一（上）第二次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市通州高级中学高一（上）第二次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设是定义域为的函数，命题：“，”，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数则( )
A. B. C. D.
5.已知实数，，满足，则下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
6.下列运算中正确的是( )
A. 当时， B.
C. 若，则 D.
7.已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知全集，集合，，则下列说法不正确的是( )
A. 集合的真子集有个 B.
C. D. ，
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的定义域为 B. 是偶函数
C. 的值域为， D.
11.已知，则下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，使和同时成立的一个充分条件是______．
13.已知，且，则 ______．
14.已知函数，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在；；这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合，．
当时，求；
若_____，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知命题：“，使等式成立”是真命题．
求实数的取值集合；
设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
证明：函数是奇函数；
用定义证明：函数在上是增函数；
若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
在的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
19.本小题分
我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数若函数的图象关于点对称，且当时，．
求的值；
设函数．
证明函数的图象关于点对称；
若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：集合或，
当时，，
所以，
所以．
由集合或和，
若选择：由或，得，
要使，则，解得，所以实数的取值范围是；
若选择：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围是；
若选择：由，可得，可得，解得，
所以实数的取值范围．
16.解：由，可得，
，，
；
由，
当，即时，，
是的必要条件，，
，解得；
当，即时，，不满足题设条件；
当，即时，，
，，解得．
综上可得，实数的取值范围为．
17.解：证明：根据，可得其定义域为，关于原点对称，
又根据，
因此为定义域上的奇函数．
证明：当时，函数，
任取，，且，
所以，
由于，，，所以，
因此，所以，
因此在上是增函数．
由于为定义域上的奇函数，且在上是增函数，
因此在上也是增函数，
又由于，因此在上是增函数，
又因为不等式，所以，
根据对于任意实数恒成立，
所以对于任意实数恒成立，
所以对于任意实数恒成立，
所以对于任意实数恒成立，
当时，则满足，解得；
当时，不等式即为恒成立，符合题意．
综上可得，，即实数的取值范围．
18.解：由题意得：，
即，又，所以．
即最多调整名员工从事第三产业．
从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则
所以，
所以，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立．
所以，又，所以，
即的取值范围为．
19.解：为奇函数，
，得，
则令，得；
证明：令，
的定义域为关于原点对称，
且，
为奇函数，
函数的图象关于点对称．
在区间上单调递增，在区间上的值域为，记在区间上的值域为，
由对，总，使得成立知，
当时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递增，
只需即可，得，满足题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
或，
当时，，，
满足题意；
当时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，在上单调递减，
只需即可，得，满足题意．
综上所述，的取值范围为．
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