2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
2.已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则( )
A. B. C. D.
3.坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知实数，，，满足，，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知点，，圆：，若在圆上存在唯一的点使得，则可以为( )
A. B.
C. 或或或 D. 或或
7.设拋物线：的焦点是，直线与抛物线相交于，两点，且，线段的中点到拋物线的准线的距离为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是( )
A. 当或时，曲线是双曲线
B. 当时，曲线是椭圆
C. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
9.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量，，则在上的投影向量为
10.已知数列的前项和为，下列说法正确的( )
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且，，则
11.如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于，，，四点，为弦的中点，有下列结论( )
A. 弦长度的最小值为
B. 线段长度的最大值为
C. 点的轨迹是一个圆
D. 四边形面积的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______．
13.若圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则直线斜率的取值范围是______．
14.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是______．
15.记为数列的前项和，已知对任意的，，且存在，，则的取值集合为______用列举法表示．
四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知直线：与圆：交于，两点．
若圆心到直线的距离为，求的值．
是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线与直线的交点坐标；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线．
证明：平面；
直线上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知正项等比数列前项和为，当时，，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知双曲线：的右焦点为，点，分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，设直线，的斜率分别为，，且．
求双曲线的方程；
当点在第一象限，且时，求直线的方程．
20.本小题分
记数列的前项和为，，．
求的通项公式；
设，记的前项和为若对于且恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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16.解：圆：，则圆心，
直线：，圆心到直线的距离为，
，即，即，解得或；
假设存在，
圆：，则圆心，
要使过点的直线垂直平分弦，则直线必经过圆心，
，直线的方程为，即，
又，且直线：，，即，
直线的方程为，
联立直线与的方程得，解得，
直线与直线的交点坐标为
17.解：证明：连接并延长，交圆于点，连接，，，
则，四边形为矩形，，
因为，所以，
故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线，
因为为直径，所以，
因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，即平面；
在上取点，连接，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
得：，令，则，故，，
故，
得：，
故，
即直线上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，且．
18.解：设正项等比数列的公比为，，，
由得，解得，
当时，，，，，
则，即，
，
．
由得，，
，，
，
，
．
19.解：由双曲线：，知左右顶点，的坐标为，，
设，则，，，
又，，
，，
双曲线的方程为；
设直线的方程为，，，
，
同理可得，又，，，
由，消去得，
，，
，，，解得或舍去，
直线的方程为，即．
20.解：已知数列的前项和为，，，
则，
由可得，
即，，
又，
即，
即，
即，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即；
已知，
则，
又的前项和为，
则，
则，
由可得：
，
即，
又对于且恒成立，
则对于恒成立，
即对于恒成立，
设，，
则，
当且仅当时取等号，
即，
又，
即数列的最小值为，
即，
即实数的取值范围为．
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