2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（七）（含答案）

2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（七）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，为两个非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.从年第届洛杉矶夏季奥运会到年第届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为、、、、、、、、、、，这个数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.对于，下列选项中正确的是( )
A. 关于直线对称 B. 是偶函数
C. 的最小正周期为 D. 的最大值为
7.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，，则( )
A. B. C. D.
8.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块．下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石( )
A. 块
B. 块
C. 块
D. 块
9.斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列满足：，，则下列结论错误的是( )
A. 是奇数
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数为虚数单位，则的虚部为______．
11.的展开式中，含的项的系数为______用数字作答
12.在平行四边形中，为的中点，为的中点，且，若，则 ______．
13.已知角，，，，则 ______．
14.甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则 ______； ______．
15.设，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，．
Ⅰ求的大小；
Ⅱ若，．
求的值；
(ⅱ)求的值．
17.本小题分
如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的大小；
若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求点到直线的距离．
18.本小题分
已知过点，斜率为的直线过椭圆：的焦点，椭圆的中心关于直线的对称点在直线上．
求椭圆的方程；
过点的直线交椭圆于点、，且满足为坐标原点，求直线的方程．
19.本小题分
设是公比大于的等比数列，是等差数列，已知，，，．
求数列，数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数，，．
求曲线与的一条公共切线方程；
证明：；
若，求实数的取值范围．
参考答案
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16.解：Ⅰ因为，
由正弦定理得，
整理得，，
即，
因为，，
因为有意义，
所以，
所以，
即，又，；
Ⅱ因为，，
由余弦定理得，
整理得，
解得舍负，
故；
由余弦定理得，
所以，
所以，
，
故．
17.解：证明：连接，因为，，
所以，
又因为，
所以四边形为平行四边形，
因为点和分别为和的中点，
所以且，
因为，，为的中点，
所以且，
可得且，
即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
因为平面，，
故以为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，
，，，
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得．
所以，
设平面与平面夹角为，
所以，
即平面与平面夹角的正弦值为，
故平面与平面夹角为．
设，即，
则．
从而．
由知平面的法向量为，
而直线与平面所成的角为，
所以，
即，
整理得，解得或，
因为，
所以，所以，，
令，
所以点到直线的距离为．
18.解：过点，斜率为的直线过椭圆：的焦点，
直线的方程为，
令，得椭圆焦点坐标为，
椭圆的中心关于直线的对称点在直线上，
设椭圆的中心关于直线的对称点为，
则，解得，，，
，
椭圆的方程为．
当直线的斜率不存在时，满足，此时直线的方程为．
当直线的斜率存在时，由题设知直线的斜率不为零，
直线的方程可设为
代入椭圆方程得：
设，，
，，
由，
得：，
，
又，原点到的距离，
则，
解得，
的方程是或．
19.解：设等比数列的公比为，，设等差数列的公差为．
，，，
，，．
，，，
，．
由得，
令，，
记数列的前项和为，数列的前项和为，
，
则，
得，，
．
又，
，
．
20.解：，，，
，，
注意到，
所以曲线与的一条公共切线可以是经过且斜率为的直线，
故所求为；
证明：由，，
设，，则，，
所以在上单调递增，从而，，
故原命题得证；
第一步：，，
，，
设，，
则，
所以，，
从而在上单调递增，则，所以在上单调递减，
所以，，所以，，
第二步：，，，
设，，则，，
所以在上单调递减，从而在上的值域为，
所以，，当且仅当，
第三步：，，，
设，，则，
所以在上单调递减，从而在上的值域为
所以，，当且仅当，
第四步：注意到，从而若，
则实数的取值范围为．
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