北师大版数学八年级上学期期末模拟卷（二）
阅卷人 一、选择题（每题3分，共36分）
得分
1．（2024八上·南海期中）若是关于、的方程的一个解，则的值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
2．（2024·陕西）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·烟台中考）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为S甲2和S乙2，则S甲2和S乙2的大小关系是（ ）
≈
A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定
4．（2024·重庆）估计的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
5．（2024·新疆维吾尔自治区）若一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
6．（2023·呼和浩特）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·巴中）若一组数据1，2，4，3，，0的平均数是2，则众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021·广东）设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
9．（2024八上·深圳期中）若方程组的解中，则等于（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
10．（2024·南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h
11．（2024九下·北京市模拟）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024九上·涪城开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于B（a，﹣a），与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）2+＝0，那么，下列说法：
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么，，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题（每题3分，共18分）
得分
13．（2022·荆州）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是 .
14．（2023·聊城）计算： ．
15．（2023·舟山）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 。
16．（2024·凉山州）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ．
17．（2024·常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝ ．
18．（2024·凉山州）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 ．
阅卷人 三、解答题（共9题，共66分）
得分
19．（2024·武威）计算：.
20．（2024八上·深圳期中）计算：．
21．（2019·金华）解方程组：
22．（2024九上·郑州开学考）解方程组：
23．（2024·盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF．
若 ▲ ，则AB＝CD．
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
24．（2024·青海） 为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
项目 统计量 学生 操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 1.8 a
小海 4 b 2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ，比较和的大小 ；
（2）计算表格中b的值；
（3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
（4）为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
25．（2023八上·长清期中）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg）
方式一：金卡会员 500 1600
方式二：银卡会员 200 1800
设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元．
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量；
（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
26．（2024八上·深圳期中）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是的中点．
（1）求出点B、点C的坐标及b的值；
（2）在y轴上存在点D，使得，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2020·牡丹江）在等腰 中， ，点D，E在射线 上， ，过点E作 ，交射线 于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段 上， 是 的角平分线时，如图①，求证： ；（提示：延长 ， 交于点M．）
（2）当点E在线段 的延长线上， 是 的角平分线时，如图②；当点E在线段 的延长线上， 是 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若 ，则 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠B=180°-145°=35°，
又∵BC∥DE，
∴∠D=∠C=35°，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质从条件角逐一往目标角推导角度即可.
3．【答案】A
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由图表知：甲数据偏离平均数较大，乙数据偏离平均数较小，
∴甲的波动较大，即方差大，
∴S甲2＞S乙2 .
故答案为：A.
【分析】根据图表中数据的波动大小进行判断即可.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】先将二次根式进行化简，根据的取值范围即可求出的取值范围.
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可以是1，
故答案为：D
【分析】先根据一次函数的性质得到k＞0，进而结合题意对比选项即可求解。
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连结BM，
∵BM垂直平分BD，
∴BM=MD，BO=DO，∠BON=∠DOM=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90°.
∴∠DMO=∠BNO，
∴△BNO≌△DMO（AAS）.
∴MD=BN=2.
∴BM=DM=2，AD=AM+MD=3.
又AM=1，
∴AB=
∴BD=
故答案为：A.
【分析】先根据垂直平分线的性质说明BM=MD，再通过证明△BNO≌△DMO，得出MD的长，然后利用勾股定理求出AB，最后利用勾股定理求出BD.
7．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，2，4，3，，0的平均数是2，
∴，
∴；
∴这组数据的众数是2；
故答案为：B.
【分析】根据平均数就是这组数据的总和除以这组数据的总个数建立方程，可得x的值，再找出出现次数最多的数据可得众数.
8．【答案】A
【知识点】无理数的估值；代数式求值
【解析】【解答】
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴的整数部分a=2，小数部分b=
∴
故答案为：A．
【分析】考查无理数的估算、整数部分与小数部分，先估算出无理数的范围，确定整数部分，再用无理数减去整数部分，得到小数部分，最后再计算表达式的数值。
9．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①×6+②得：20x=25k－30
解得：x=1.25k－1.5.
把x=1.25k－1.5代入①得：3.75k－4.5－y=4k－5.
解得：y=0.5－0.25k.
∴x+y=k－1.
∵，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组求出x和y，可得，代入求解即可．
10．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、根据函数图象可知，甲比乙早出发1h，A错误；
B、根据函数图象可知，乙全程用时1h，B错误；
C、根据函数图象可知，乙比甲早到B地2h，C错误；
D、根据函数图象可知，甲的速度为：20÷4=5km/h，D正确；
故答案为：D.
【分析】观察函数图象，结合题意进行求解并判断即可.
11．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由刻度线的两边互相平行，
∴
∴
故选：B．
【分析】利用平行线的性质即特殊直角三角尺的特殊角逐一表示角度向目标角推理即可．
12．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵a、b满足（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
∵点A的坐标是(0，b)，点B的坐标是（a，﹣a），
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2），
故（1）正确；
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∵点B的坐标为（﹣2，2），
∴.
∴S△ABO＝×OA×＝×3×2＝3，
故（2）正确；
设直线l2的解析式为y＝kx+c（k≠0），
∵直线l2与l1交于B（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3） ，
∴，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝x+3，
取y＝0，则x+3=0，解得x＝﹣6，
∴点C的坐标是（﹣6，0），
∴OC=6.
∵点B的坐标是（﹣2，2），
∴.
∴S△OBC＝＝6，
∵S△ABO＝3，
∴S△OBC：S△AOB＝2：1；
故（3）正确；
∵点P的坐标是（﹣2，5），点B的坐标是（﹣2，2），
∴PB＝5﹣2＝3，
∴S△BCP＝＝6，S△AOB＝×3×2＝6，
∴S△BCP＝S△AOB．
故（4）正确；
故答案为：D．
【分析】（1）根据非负数的性质，列出关于a，b的方程组求解，可求得a、b的值，就可得到点B的坐标；
（2）利用三角形面积公式求解；
（3）分别求得△OBC和△AOB的面积，再求出它们的比；
（4）分别求出S△BCP和S△AOB的值，再作判断．
13．【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， .
∴ ，
故答案为：2.
【分析】先估算出，再根据不等式的性质得，从而确定a、b的值，然后代入式子计算即可.
14．【答案】3
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：3
【分析】根据二次根式的混合运算即可求解。
15．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵花了100钱，
∴5×8+3x+y=100.
∵买了100只鸡，
∴8+x+y=100，
∴方程组为.
故答案为：.
【分析】根据花了100钱可得5×8+3x+y=100；根据买了100只鸡可得8+x+y=100，联立即可得到方程组.
16．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形的两锐角互余；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：△ABC中，∵CD是边AB上的高，
∴△CDB是直角三角形，
∵∠BCD＝30°，
∴∠B=90°－∠BCD=60°.
∴∠BAC=180°－∠B－∠ACB=180°－60°－80°=40°.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE=∠BAE=20°.
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=80°+20°=100°.
故答案为：100°
【分析】根据三角形高线的定义得∠CDB，于是可求得∠B的度数.根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的性质可得∠CAE.最后利用三角形的外角性质求∠AEB即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处， ∠ACB＝90°，
∴△CED≌△FED，
∴CD=FD，CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°.
∵AC=6，点D是边AC的中点，
∴CD=AD=3=DF.
∵CD=3，BC=4，∠BCD=90°，
∴BD=5，
∴BF=BD－DF=5－3=2.
在Rt△EFB中，EF2+BF2=BE2.
∴CE2+22=(4－CE)2.
解得：.
故答案为：.
【分析】根据翻折可得△CED≌△FED，于是有CD=FD，CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°.求出CD和DF长，从而可利用勾股定理求出BD长，再利用线段加减求出BF长.再在Rt△BEF中利用勾股定理，即可得到CE长.
18．【答案】9
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，
，
解得：.
∴一次函数解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴．
故答案为：9．
【分析】利用待定系数法求得直线AC的表达式，令y=0，求出点C的坐标，于是可根据三角形的面积公式求出△AOC的面积.
19．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将第一个二次根式化简，同时计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可.
20．【答案】解：，
，
，
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算.先利用根式的运算性质可计算：，再将各二次根式化为最简二次根式，最后进行加减计算可求出答案．
21．【答案】解：原方程可变形为： ，
①+②得：6y=6，
解得：y=1，
将y=1代入②得：
x=3，
∴原方程组的解为： .
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先将原方程组化简，再利用加减消元法解方程组即可得出答案.
22．【答案】解：原方程组化简，得
，，
②×5+①，得
7x=-7，
∴x=-1，
把x=-1代入②，得
-1+y=2，
∴y=3，
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由于方程组中第一个方程有分数系数，故先根据等式性质在方程两边同时乘以各个分母的最简公分母10，将方程组整理成一般形式，然后利用加减消元法，用②×5+①消去y，求出x的值，再将x的值代入②方程求出y的值，从而即可得到方程组的解.
23．【答案】解：若选择①，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（AAS），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD；
若选择③，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】选择①，利用AAS证明△AEC≌△BFD，可得AC＝BD，再减去公用部分BC即可得解；选择②无法证明；选择③，证明△AEC≌△BFD（ASA），可得AC＝BD，再减去公用部分BC即可得解.
24．【答案】（1）2；＞
（2）解：小海的平均数
（3）解：方法一：从操作规范性来分析，小青和小海的平均得分相等，但是小海的方差小于小青的方差，所以小海在物理实验操作中发挥较稳定.
方法二：从书写准确性来分析，小海的平均得分比小青的平均得分高，所以小海在物理实验中书写更准确.
方法三：从两个方面综合分析，小海的操作更稳定，并且书写的准确性更高，所以小海的综合成绩更好.
（4）解：方法一：熟悉实验方案和操作流程；
方法二：注意仔细观察实验现象和结果；
方法三：平稳心态，沉稳应对.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解（1） 小青书写准确性的数据从小到大排列为：1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 ，
∴小青书写准确性 的中位数a=；
根据①操作规范性统计图可得出小青的数据波动较大，小海的数据波动较小，
∴＞；
故第1空答案为：2；＞；
【分析】（1）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此即可求得a的值；根据方差的意义即可得出＞；
（2）根据平均数的定义即可求得b的值；
（3）因为他们的中位数相同，所以可以结合特征数平均数和方差两个特征数的意义进行分析，可得出小海的综合成绩更好；
（4）答案不唯一，言之有理即可.
25．【答案】（1）解：根据题意得：y1＝500+1600x，y2＝200+1800x，
∴y1关于x的函数解析式为y1＝500+1600x，y2关于x的函数解析式为y2＝200+1800x；
（2）解：根据题意得：500+1600x＝200+1800x，
解得x＝1.5，
答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg；
（3）解：按照第一种方式购买茶叶：500+1600x＝6500，
解得x＝；
按照第二种方式购买茶叶：200+1800x＝6500，
解得x＝．
∵，
∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据题干中的收费标准列出函数解析式即可；
（2）根据题意列出方程500+1600x＝200+1800x，再求解即可；
（3）先分别求出两种方式茶叶的数量，再比较大小即可.
26．【答案】（1）解：将代入解析式可得，
解得，
，
点C是的中点，
；
（2）解：根据题意可得，，
，
当点在点上方时，，
当点在点下方时，，
综上，点的坐标为或；
（3）解：当时，在x轴上不存在一点P，使得是直角三角形；
当时，，
当时，设点的横坐标为，
，
根据勾股定理可得，
即，解得，
，
综上，存在，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查一次函数的图象和性质，勾股定理，三角形的面积公式．
（1）将代入解析式可列出方程，解方程可求出得值，据此可求出点坐标，根据点C是的中点，利用中点坐标公式可求出的坐标；
（2）先利用三角形的面积计算公式可求出，，再根据， 可推出，分两种情况：点在点上方和下方，可求出点D的坐标；
（3）分三种情况：三个角为直角三种情况，利用勾股定理可列出对应的方程，解方程可求出可求出m的值，据此可求出点P的坐标．
（1）解：将代入解析式可得，
解得，
，
点C是的中点，
；
（2）解：根据题意可得，，
，
当点在点上方时，，
当点在点下方时，，
综上，点的坐标为或；
（3）解：当时，在x轴上不存在一点P，使得是直角三角形；
当时，，
当时，设点的横坐标为，
，
根据勾股定理可得，
即，解得，
，
综上，存在，点的坐标为或．
27．【答案】（1）解：如图①，延长 ， 交于点M．
∵ ，
∴∠A=∠BCA=∠EFA，
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF；
（2）解：当点E在线段 的延长线上， 是 的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长 ，EF交于点M．
由①同理可证 ，
∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段 的延长线上， 是 的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长 交EF于点M，
由上述证明过程易得 ，BC=EM，
CF=FM，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵
∴∠F=∠FCB，
∴EF=AE，
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
（3）18或6
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，
∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，
∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
【分析】（1）延长 ， 交于点M．利用AAS证明 ，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；（2）延长 ，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段 的延长线上， 是 的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段 的延长线上， 是 的外角平分线时，AE=CF+BC；（3）先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
1 / 1北师大版数学八年级上学期期末模拟卷（二）
阅卷人 一、选择题（每题3分，共36分）
得分
1．（2024八上·南海期中）若是关于、的方程的一个解，则的值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
2．（2024·陕西）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠B=180°-145°=35°，
又∵BC∥DE，
∴∠D=∠C=35°，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质从条件角逐一往目标角推导角度即可.
3．（2024·烟台中考）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为S甲2和S乙2，则S甲2和S乙2的大小关系是（ ）
≈
A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定
【答案】A
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由图表知：甲数据偏离平均数较大，乙数据偏离平均数较小，
∴甲的波动较大，即方差大，
∴S甲2＞S乙2 .
故答案为：A.
【分析】根据图表中数据的波动大小进行判断即可.
4．（2024·重庆）估计的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】先将二次根式进行化简，根据的取值范围即可求出的取值范围.
5．（2024·新疆维吾尔自治区）若一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可以是1，
故答案为：D
【分析】先根据一次函数的性质得到k＞0，进而结合题意对比选项即可求解。
6．（2023·呼和浩特）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连结BM，
∵BM垂直平分BD，
∴BM=MD，BO=DO，∠BON=∠DOM=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90°.
∴∠DMO=∠BNO，
∴△BNO≌△DMO（AAS）.
∴MD=BN=2.
∴BM=DM=2，AD=AM+MD=3.
又AM=1，
∴AB=
∴BD=
故答案为：A.
【分析】先根据垂直平分线的性质说明BM=MD，再通过证明△BNO≌△DMO，得出MD的长，然后利用勾股定理求出AB，最后利用勾股定理求出BD.
7．（2022·巴中）若一组数据1，2，4，3，，0的平均数是2，则众数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，2，4，3，，0的平均数是2，
∴，
∴；
∴这组数据的众数是2；
故答案为：B.
【分析】根据平均数就是这组数据的总和除以这组数据的总个数建立方程，可得x的值，再找出出现次数最多的数据可得众数.
8．（2021·广东）设 的整数部分为a，小数部分为b，则 的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值；代数式求值
【解析】【解答】
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴的整数部分a=2，小数部分b=
∴
故答案为：A．
【分析】考查无理数的估算、整数部分与小数部分，先估算出无理数的范围，确定整数部分，再用无理数减去整数部分，得到小数部分，最后再计算表达式的数值。
9．（2024八上·深圳期中）若方程组的解中，则等于（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①×6+②得：20x=25k－30
解得：x=1.25k－1.5.
把x=1.25k－1.5代入①得：3.75k－4.5－y=4k－5.
解得：y=0.5－0.25k.
∴x+y=k－1.
∵，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组求出x和y，可得，代入求解即可．
10．（2024·南通）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、根据函数图象可知，甲比乙早出发1h，A错误；
B、根据函数图象可知，乙全程用时1h，B错误；
C、根据函数图象可知，乙比甲早到B地2h，C错误；
D、根据函数图象可知，甲的速度为：20÷4=5km/h，D正确；
故答案为：D.
【分析】观察函数图象，结合题意进行求解并判断即可.
11．（2024九下·北京市模拟）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由刻度线的两边互相平行，
∴
∴
故选：B．
【分析】利用平行线的性质即特殊直角三角尺的特殊角逐一表示角度向目标角推理即可．
12．（2024九上·涪城开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于B（a，﹣a），与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）2+＝0，那么，下列说法：
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么，，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵a、b满足（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
∵点A的坐标是(0，b)，点B的坐标是（a，﹣a），
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2），
故（1）正确；
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∵点B的坐标为（﹣2，2），
∴.
∴S△ABO＝×OA×＝×3×2＝3，
故（2）正确；
设直线l2的解析式为y＝kx+c（k≠0），
∵直线l2与l1交于B（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3） ，
∴，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝x+3，
取y＝0，则x+3=0，解得x＝﹣6，
∴点C的坐标是（﹣6，0），
∴OC=6.
∵点B的坐标是（﹣2，2），
∴.
∴S△OBC＝＝6，
∵S△ABO＝3，
∴S△OBC：S△AOB＝2：1；
故（3）正确；
∵点P的坐标是（﹣2，5），点B的坐标是（﹣2，2），
∴PB＝5﹣2＝3，
∴S△BCP＝＝6，S△AOB＝×3×2＝6，
∴S△BCP＝S△AOB．
故（4）正确；
故答案为：D．
【分析】（1）根据非负数的性质，列出关于a，b的方程组求解，可求得a、b的值，就可得到点B的坐标；
（2）利用三角形面积公式求解；
（3）分别求得△OBC和△AOB的面积，再求出它们的比；
（4）分别求出S△BCP和S△AOB的值，再作判断．
阅卷人 二、填空题（每题3分，共18分）
得分
13．（2022·荆州）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是 .
【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， .
∴ ，
故答案为：2.
【分析】先估算出，再根据不等式的性质得，从而确定a、b的值，然后代入式子计算即可.
14．（2023·聊城）计算： ．
【答案】3
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：3
【分析】根据二次根式的混合运算即可求解。
15．（2023·舟山）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为 。
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵花了100钱，
∴5×8+3x+y=100.
∵买了100只鸡，
∴8+x+y=100，
∴方程组为.
故答案为：.
【分析】根据花了100钱可得5×8+3x+y=100；根据买了100只鸡可得8+x+y=100，联立即可得到方程组.
16．（2024·凉山州）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形的两锐角互余；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：△ABC中，∵CD是边AB上的高，
∴△CDB是直角三角形，
∵∠BCD＝30°，
∴∠B=90°－∠BCD=60°.
∴∠BAC=180°－∠B－∠ACB=180°－60°－80°=40°.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE=∠BAE=20°.
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=80°+20°=100°.
故答案为：100°
【分析】根据三角形高线的定义得∠CDB，于是可求得∠B的度数.根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的性质可得∠CAE.最后利用三角形的外角性质求∠AEB即可.
17．（2024·常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝ ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处， ∠ACB＝90°，
∴△CED≌△FED，
∴CD=FD，CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°.
∵AC=6，点D是边AC的中点，
∴CD=AD=3=DF.
∵CD=3，BC=4，∠BCD=90°，
∴BD=5，
∴BF=BD－DF=5－3=2.
在Rt△EFB中，EF2+BF2=BE2.
∴CE2+22=(4－CE)2.
解得：.
故答案为：.
【分析】根据翻折可得△CED≌△FED，于是有CD=FD，CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°.求出CD和DF长，从而可利用勾股定理求出BD长，再利用线段加减求出BF长.再在Rt△BEF中利用勾股定理，即可得到CE长.
18．（2024·凉山州）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 ．
【答案】9
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，
，
解得：.
∴一次函数解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴．
故答案为：9．
【分析】利用待定系数法求得直线AC的表达式，令y=0，求出点C的坐标，于是可根据三角形的面积公式求出△AOC的面积.
阅卷人 三、解答题（共9题，共66分）
得分
19．（2024·武威）计算：.
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将第一个二次根式化简，同时计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可.
20．（2024八上·深圳期中）计算：．
【答案】解：，
，
，
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算.先利用根式的运算性质可计算：，再将各二次根式化为最简二次根式，最后进行加减计算可求出答案．
21．（2019·金华）解方程组：
【答案】解：原方程可变形为： ，
①+②得：6y=6，
解得：y=1，
将y=1代入②得：
x=3，
∴原方程组的解为： .
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先将原方程组化简，再利用加减消元法解方程组即可得出答案.
22．（2024九上·郑州开学考）解方程组：
【答案】解：原方程组化简，得
，，
②×5+①，得
7x=-7，
∴x=-1，
把x=-1代入②，得
-1+y=2，
∴y=3，
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由于方程组中第一个方程有分数系数，故先根据等式性质在方程两边同时乘以各个分母的最简公分母10，将方程组整理成一般形式，然后利用加减消元法，用②×5+①消去y，求出x的值，再将x的值代入②方程求出y的值，从而即可得到方程组的解.
23．（2024·盐城）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，AE＝BF．
若 ▲ ，则AB＝CD．
请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
【答案】解：若选择①，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（AAS），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD；
若选择③，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBD，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（ASA），
∴AC＝BD，
∴AB＝CD．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】选择①，利用AAS证明△AEC≌△BFD，可得AC＝BD，再减去公用部分BC即可得解；选择②无法证明；选择③，证明△AEC≌△BFD（ASA），可得AC＝BD，再减去公用部分BC即可得解.
24．（2024·青海） 为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
项目 统计量 学生 操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 1.8 a
小海 4 b 2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ，比较和的大小 ；
（2）计算表格中b的值；
（3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
（4）为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
【答案】（1）2；＞
（2）解：小海的平均数
（3）解：方法一：从操作规范性来分析，小青和小海的平均得分相等，但是小海的方差小于小青的方差，所以小海在物理实验操作中发挥较稳定.
方法二：从书写准确性来分析，小海的平均得分比小青的平均得分高，所以小海在物理实验中书写更准确.
方法三：从两个方面综合分析，小海的操作更稳定，并且书写的准确性更高，所以小海的综合成绩更好.
（4）解：方法一：熟悉实验方案和操作流程；
方法二：注意仔细观察实验现象和结果；
方法三：平稳心态，沉稳应对.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解（1） 小青书写准确性的数据从小到大排列为：1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 ，
∴小青书写准确性 的中位数a=；
根据①操作规范性统计图可得出小青的数据波动较大，小海的数据波动较小，
∴＞；
故第1空答案为：2；＞；
【分析】（1）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此即可求得a的值；根据方差的意义即可得出＞；
（2）根据平均数的定义即可求得b的值；
（3）因为他们的中位数相同，所以可以结合特征数平均数和方差两个特征数的意义进行分析，可得出小海的综合成绩更好；
（4）答案不唯一，言之有理即可.
25．（2023八上·长清期中）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg）
方式一：金卡会员 500 1600
方式二：银卡会员 200 1800
设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元．
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量；
（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
【答案】（1）解：根据题意得：y1＝500+1600x，y2＝200+1800x，
∴y1关于x的函数解析式为y1＝500+1600x，y2关于x的函数解析式为y2＝200+1800x；
（2）解：根据题意得：500+1600x＝200+1800x，
解得x＝1.5，
答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg；
（3）解：按照第一种方式购买茶叶：500+1600x＝6500，
解得x＝；
按照第二种方式购买茶叶：200+1800x＝6500，
解得x＝．
∵，
∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据题干中的收费标准列出函数解析式即可；
（2）根据题意列出方程500+1600x＝200+1800x，再求解即可；
（3）先分别求出两种方式茶叶的数量，再比较大小即可.
26．（2024八上·深圳期中）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是的中点．
（1）求出点B、点C的坐标及b的值；
（2）在y轴上存在点D，使得，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将代入解析式可得，
解得，
，
点C是的中点，
；
（2）解：根据题意可得，，
，
当点在点上方时，，
当点在点下方时，，
综上，点的坐标为或；
（3）解：当时，在x轴上不存在一点P，使得是直角三角形；
当时，，
当时，设点的横坐标为，
，
根据勾股定理可得，
即，解得，
，
综上，存在，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题考查一次函数的图象和性质，勾股定理，三角形的面积公式．
（1）将代入解析式可列出方程，解方程可求出得值，据此可求出点坐标，根据点C是的中点，利用中点坐标公式可求出的坐标；
（2）先利用三角形的面积计算公式可求出，，再根据， 可推出，分两种情况：点在点上方和下方，可求出点D的坐标；
（3）分三种情况：三个角为直角三种情况，利用勾股定理可列出对应的方程，解方程可求出可求出m的值，据此可求出点P的坐标．
（1）解：将代入解析式可得，
解得，
，
点C是的中点，
；
（2）解：根据题意可得，，
，
当点在点上方时，，
当点在点下方时，，
综上，点的坐标为或；
（3）解：当时，在x轴上不存在一点P，使得是直角三角形；
当时，，
当时，设点的横坐标为，
，
根据勾股定理可得，
即，解得，
，
综上，存在，点的坐标为或．
27．（2020·牡丹江）在等腰 中， ，点D，E在射线 上， ，过点E作 ，交射线 于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段 上， 是 的角平分线时，如图①，求证： ；（提示：延长 ， 交于点M．）
（2）当点E在线段 的延长线上， 是 的角平分线时，如图②；当点E在线段 的延长线上， 是 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若 ，则 ．
【答案】（1）解：如图①，延长 ， 交于点M．
∵ ，
∴∠A=∠BCA=∠EFA，
∴AE=EF
∴
∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD
又∵∠FCM=∠BCM，
∴∠M=∠FCM
∴CF=MF
又∵BD=DE
∴
∴ME=BC
∴CF=MF=ME+EF=BC+AE
即AE+BC=CF；
（2）解：当点E在线段 的延长线上， 是 的角平分线时，BC=AE+CF，
如图②，延长 ，EF交于点M．
由①同理可证 ，
∴ME=BC
由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF，
∴BC=ME=EF+MF=AE+CF；
当点E在线段 的延长线上， 是 的外角平分线时，AE=CF+BC.
如图③，延长 交EF于点M，
由上述证明过程易得 ，BC=EM，
CF=FM，
又∵AB=BC，
∴∠ACB=∠CAB=∠FAE
∵
∴∠F=∠FCB，
∴EF=AE，
∴AE=FE=FM+ME=CF+BC
（3）18或6
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）CF=18或6
当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15，
∴CF=AE+BC=3+15=18；
图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9，
∴CF=BC-AE=9-3=6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
【分析】（1）延长 ， 交于点M．利用AAS证明 ，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；（2）延长 ，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段 的延长线上， 是 的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段 的延长线上， 是 的外角平分线时，AE=CF+BC；（3）先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
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