北师大版数学八年级上学期期末模拟卷（三）
阅卷人 一、选择题（每题3分，共36分）
得分
1．（2024八上·天心开学考）已知实数，满足，且，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①＋②得：5x＋5y＝7k＋4，
∴x+y=，
∵，
∴，
解得：k＝.
故答案为：C．
【分析】先利用加减消元法可得5x＋5y＝7k＋4，可得x+y=，再结合可得，最后求出k的值即可.
2．（2024·凉山州）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D．45°
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由直角三角板的性质可得∠ABC=45°，∠EDF=30°.
∵DF//AB，
∴∠BDF=∠ABC=45°，
∴∠BDE=∠BDF－∠DEF=15°.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角板的特性得∠ABC=45°，∠EDF=30°.根据平行线的性质求得∠BDF的度数，∠BDF－∠DEF即可到结论.
3．（2023·青岛）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：等式左边不是同类二次根式，不能合并，所以计算不正确；
B：，所以B计算不正确；
C：，所以C计算正确；
D：，，所以D不正确。
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的运算法则，正确进行运算即可得出正确答案。
4．（2024·雅安）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中名同学的成绩单位：分分别为：，，，，，，，关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是 B．中位数是
C．平均数是 D．方差是
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：把已知的数据从小到大依次排列为：81、82、82、83、85、86、89、92，
A、出现次数最多的数据是82，所以这组数据的众数为82；此选项不符合题意；
B、∵第四和第五个数据为83和85，
∴这两个数的平均数为：，即中位数为84；此选项不符合题意；
C、平均数为：=85，此选项不符合题意；
D、S2=[]=13，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意，将这组数据从小到大依次排列，众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；根据众数、中位数、平均数、方差的定义并结合题意即可判断求解.
5．（2024·长沙）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与轴交于点
B．随的增大而减小
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、一次函数y=2x-1中x=0得y=-1，∴y=2x-1与y轴的交点坐标为（0，-1），所以A正确；
B、因为2＞0，所以y随x的增大而增大，所以B错误；
C、当x=时，y=2×-1=0，所以当x＞时，y＞0，所以C错误；
D、因为k=2＞0，所以图象经过一三象限，因为-1＜0，所以图象经过三，四，所以图象经过一三四象限，所以、D不正确.
故答案为：A.
【分析】首先令x=0，求得直线与y轴的交点坐标，可得出A正确；根据函数的增减性可得出B不正确；根据函数的增减性，通过计算可得出C不正确；根据函数图象的位置与系数的关系可得出D不正确，故而得出答案.
6．（2024八上·乌鲁木齐期中）如图，在中，，是内一点，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查三角形内角和定理．先利用三角形内角和定理求出，再根据，，利用角的运算可求出：，再利用三角形内角和定理可得：，代入数据进行计算可求出的度数．
7．（2024九上·内江开学考）某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（ ）
A．6，5 B．6，6 C．和6 D．和6
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，x=5，
∴ 某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，5，6，7，8，
∴ 中位数是6，众数是5.
故答案为：A.
【分析】根据平均数求出x的值，再求中位数和众数即可.
8．（2024·重庆）已知，则实数m的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】
解：
∵
∴
故答案为：B
【分析】本题考查无理数的估算与二次根式的计算，掌握取值范围的方法是关键，先化简得m=，再估算m的范围。
9．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意得
解之：
∴点P的坐标为
∴点P在第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用已知可得到（x，y）是方程组的解，解方程组求出x，y的值，可得到点P的坐标，据此可得到点P的位置.
10．（2023·恩施）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，作直线a∥m，
∵a∥m，m∥n，
∴a∥n，
∴∠1=∠4=20°，
∴∠3=60°-∠4=60°-20°=40°，
∵a∥m，
∴∠3=∠2=40°.
故答案为：A.
【分析】由平行于同一直线的两条直线互相平行得a∥n，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠4=20°，进而根据角的和差得∠3=40°，最后再根据二直线平行，内错角相等得∠3=∠2=40°.
11．（2024八上·恩施期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：是由沿折叠得到，
，，
，，
，
，即：，
，
故答案为：C．
【分析】先利用折叠的性质可得，，再结合，可得，即：，最后利用角的运算求出即可.
12．（2024八下·邕宁期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于、的方程组的解为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 直线：与直线：交于点，
∴ b=-1+3=2，即A（-1，2），
∴ 交点的横纵坐标 即为 方程组的解.
故答案为：C.
【分析】将A坐标代入直线 函数解析式求得b的值，再根据两个一次函数图象的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可求得.
阅卷人 二、填空题（每题3分，共18分）
得分
13．（2017七上·乐清期中）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ；点B表示的数是 ．
【答案】；
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由图可知，正方形的边长是1，所以，对角线是 ，所以，点A表示的数是 ；点B表示的数是 ．故答案为 ， ．
【分析】由图可知，正方形的边长是1，根据勾股定理知其对角线长，根据同圆的半径相等得出A点到表示2的点的距离就是，B点到表示2的点的距离就是，OA=2-，OB=2+，从而得出A，B两点所表示的数。
14．（2018·毕节）观察下列运算过程：
……
请运用上面的运算方法计算：
= ．
【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= （ ﹣1）+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）+…+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）
= （ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ ）
= ．
故答案为 ．
【分析】根据分母有理化将各个加数分别化简，再根据乘法分配律的逆用将运算简化，即可算出结果。
15．（2022·吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】由题意得：
故答案为：．
【分析】根据题意列出方程组即可。
16．（2024·宿迁）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ °．
【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-30°=100°，
根据题意，得AF平分∠BAC，
∴，
∵AD是的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-50°-90°=40°，
∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=50°-40°=10°，
故答案为：10.
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC=100°，根据题意得AF平分∠BAC，从而根据角平分的定义得∠BAF=50°，接下来再次利用三角形内角和定理得∠BAD=40°，最后有∠DAF=∠BAF-∠BAD.
17．（2024·甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为 .
【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠得，
设，则，
由勾股定理得，
解得.
故答案为：3．
【分析】先根据折叠的性质得到，设，则，进而根据勾股定理即可求解.
18．（2020·黔南）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为 .
【答案】（﹣ ，2）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）.
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示.
∵BC＝OC＝OA，
∴OC＝3，OE＝2，
∴CE＝ ＝ ，
∴点C的坐标为（﹣ ，2）.
故答案为：（﹣ ，2）.
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，由BC＝OC利用等腰三角形的性质可得出OC、OE的值，再利用勾股定理可求出CE的长度，此题得解.
阅卷人 三、解答题（共7题，共66分）
得分
19．（2024九上·乐业期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】（）先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可求出答案.
（）先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，然后再合并即可求出答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（2024八上·深圳期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
+得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：两边同时乘以12，得，即，
∴原方程转化为，
+得：，
解得：
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）先把方程组其中一个方程去分母进行整理，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案．
（1）由+得
∴
将代入得
∴
∴
（2）两边同时乘以12得
∴
∴
+得
∴
将代入得
∴
∴．
21．（2024八上·天心开学考）如图，在中，，平分，交于点F．
（1）若，，求的度数；
（2）在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由；
（3）直接写出当与满足怎样的数量关系时，．
【答案】（1）解：（1）∵，，
∴，
∵，∴.
（2）解：（2）与不垂直，理由如下：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，
∴与不垂直.
（3）解：（3），理由如下：
∵，∴，，
∵平分，∴，
要使，即使，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）求出，再利用平行线性质即可求解；
（2）利用平行求出，利用角平分线求出，利用内角和求出，判断即可；
（3）利用平行求出，，利用角平分线求出，利用及，列式即可，其中熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：与不垂直，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴与不垂直；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
要使，
即使，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
22．（2024·潍坊）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
（1）【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b 1.24
①直接写出表中a和b的值，并求的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
【答案】（1）解：①由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%＝30个评价分值，
从乙商家抽取了3÷15%＝20个评价分值，
∴甲商家4分的评价分值个数为30﹣2﹣1﹣12﹣5＝10个，
乙商家4分的评价分值个数为20﹣1﹣3﹣3﹣4＝9个，
补全条形统计图如下：
②；
（2）①∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，
∴众数b＝4，
乙商家平均数；
②小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1） ① 先根据公式：样本的总数=某项的频数÷该项的百分数，算出甲乙两甲抽取的总评价分值，再计算评价分值为4的甲乙两家的个数，再补全统计图即可.
②圆心角等于评价分值为4的百分率×360°即可.
（2）①当数据的个数为偶数个时，先把数据进行排序，第15个数和第16个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义，可以得出众数，再根据加权平均数公式求解平均数即可.
（2）根据中位数，众数 和平均数进行分析，只要符合题意即可.
23．（2024八上·文山期末）为迎接“创文创卫活动”，某市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元；买1个A型垃圾箱和3个B型垃圾箱共需150元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）购买A、B两种型号的垃圾箱共50个，其中A型垃圾箱a（0≤a≤16）个，求购买垃圾箱的总费用w（元）与A型垃圾箱a（个）之间的函数关系式，并说明总费用最少需要多少元？
【答案】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．根据题意，得：
．
解得：．
答：每个A型垃圾箱30元，每个B型垃圾箱40元．
（2）解：W＝30a+40（50﹣a）＝﹣10a+2000．
∵k＝﹣10＜0，
∴W随a的增大而减小．
∵0≤a≤16，
∴当a＝16时，W最小＝﹣10×16+2000＝1840（ 元）．
答：总费用最少要1840元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“ 买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元；买1个A型垃圾箱和3个B型垃圾箱共需150元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）先根据题意求出总费用的函数表达式W＝30a+40（50﹣a）＝﹣10a+2000，再利用一次函数的性质求解即可.
24．如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地.两车同时出发，匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
（1）填空：A，B两地相距 千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）客、货两车何时相遇
【答案】（1）420
（2）解：由图2可得：
2小时后货车由B地到达C地
∴货车速度为：60÷2=30（千米/小时）
∴货车到达A地的时间为出发后小时，即图2中点P的坐标为（14，360）
设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：
将点D（2，0），P（14，360）代入关系式可得：
，解得：
∴两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：
（3）解：设y1与行驶时间x之间的函数关系式为：
将点（0，360），（6，0）代入关系式可得：
，解得：
∴y1与行驶时间x之间的函数关系式为：
当y1=y2时，
解得：
即客、货两车出发小时候相遇.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图2可得：
A，C两地相距360千米，B，C两地相距60千米
∴A，B两地相距360+60=420千米
故答案为：420
【分析】（1）根据图2信息可得A，C两地相距360千米，B，C两地相距60千米，则A，B两地相距360+60=420千米，即可求出答案.
（2）根据图2信息可得2小时后货车由B地到达C地，根据速度=路程÷时间，可得货车速度，求出货车到达A地时间，则点P的坐标为（14，360），设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：，根据待定系数法将点D，P坐标代入关系式即可求出答案.
（3）设y1与行驶时间x之间的函数关系式为：，根据待定系数法将点（0，360），（6，0）代入关系式可得y1与行驶时间x之间的函数关系式为：，当当y1=y2时，建立方程，解方程即可求出答案.
25．（2024八下·荔湾期末）如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．
（1）求的面积；
（2）点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标，
【答案】（1）取y=0，
则，
，
，
解，
得：，
点的坐标为，
=；
（2）设直线的解析式为，作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点，
，
，
∵三点共线，
∴有最小值，
，，
。
∴，
解得：，
直线的解析式为，
取，得，
点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，联立两直线解析式得到方程组求解，由此求出点A的坐标，再利用三角形面积公式求解；
（2）直线与轴的交点，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用待定系数法求出的解析式，取函数值为0，就可求出点的坐标．
1 / 1北师大版数学八年级上学期期末模拟卷（三）
阅卷人 一、选择题（每题3分，共36分）
得分
1．（2024八上·天心开学考）已知实数，满足，且，则的值为( )
A． B． C． D．
2．（2024·凉山州）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D．45°
3．（2023·青岛）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·雅安）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中名同学的成绩单位：分分别为：，，，，，，，关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是 B．中位数是
C．平均数是 D．方差是
5．（2024·长沙）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与轴交于点
B．随的增大而减小
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
6．（2024八上·乌鲁木齐期中）如图，在中，，是内一点，且，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·内江开学考）某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（ ）
A．6，5 B．6，6 C．和6 D．和6
8．（2024·重庆）已知，则实数m的范围是( )
A． B． C． D．
9．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2023·恩施）将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八上·恩施期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
12．（2024八下·邕宁期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于、的方程组的解为( )
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题（每题3分，共18分）
得分
13．（2017七上·乐清期中）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是 ；点B表示的数是 ．
14．（2018·毕节）观察下列运算过程：
……
请运用上面的运算方法计算：
= ．
15．（2022·吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为 ．
16．（2024·宿迁）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ °．
17．（2024·甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为 .
18．（2020·黔南）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为 .
阅卷人 三、解答题（共7题，共66分）
得分
19．（2024九上·乐业期中）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024八上·深圳期中）计算：
（1）
（2）
21．（2024八上·天心开学考）如图，在中，，平分，交于点F．
（1）若，，求的度数；
（2）在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由；
（3）直接写出当与满足怎样的数量关系时，．
22．（2024·潍坊）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
（1）【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b 1.24
①直接写出表中a和b的值，并求的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
23．（2024八上·文山期末）为迎接“创文创卫活动”，某市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元；买1个A型垃圾箱和3个B型垃圾箱共需150元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）购买A、B两种型号的垃圾箱共50个，其中A型垃圾箱a（0≤a≤16）个，求购买垃圾箱的总费用w（元）与A型垃圾箱a（个）之间的函数关系式，并说明总费用最少需要多少元？
24．如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地.两车同时出发，匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
（1）填空：A，B两地相距 千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）客、货两车何时相遇
25．（2024八下·荔湾期末）如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．
（1）求的面积；
（2）点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标，
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
①＋②得：5x＋5y＝7k＋4，
∴x+y=，
∵，
∴，
解得：k＝.
故答案为：C．
【分析】先利用加减消元法可得5x＋5y＝7k＋4，可得x+y=，再结合可得，最后求出k的值即可.
2．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由直角三角板的性质可得∠ABC=45°，∠EDF=30°.
∵DF//AB，
∴∠BDF=∠ABC=45°，
∴∠BDE=∠BDF－∠DEF=15°.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角板的特性得∠ABC=45°，∠EDF=30°.根据平行线的性质求得∠BDF的度数，∠BDF－∠DEF即可到结论.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：等式左边不是同类二次根式，不能合并，所以计算不正确；
B：，所以B计算不正确；
C：，所以C计算正确；
D：，，所以D不正确。
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的运算法则，正确进行运算即可得出正确答案。
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：把已知的数据从小到大依次排列为：81、82、82、83、85、86、89、92，
A、出现次数最多的数据是82，所以这组数据的众数为82；此选项不符合题意；
B、∵第四和第五个数据为83和85，
∴这两个数的平均数为：，即中位数为84；此选项不符合题意；
C、平均数为：=85，此选项不符合题意；
D、S2=[]=13，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意，将这组数据从小到大依次排列，众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；根据众数、中位数、平均数、方差的定义并结合题意即可判断求解.
5．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、一次函数y=2x-1中x=0得y=-1，∴y=2x-1与y轴的交点坐标为（0，-1），所以A正确；
B、因为2＞0，所以y随x的增大而增大，所以B错误；
C、当x=时，y=2×-1=0，所以当x＞时，y＞0，所以C错误；
D、因为k=2＞0，所以图象经过一三象限，因为-1＜0，所以图象经过三，四，所以图象经过一三四象限，所以、D不正确.
故答案为：A.
【分析】首先令x=0，求得直线与y轴的交点坐标，可得出A正确；根据函数的增减性可得出B不正确；根据函数的增减性，通过计算可得出C不正确；根据函数图象的位置与系数的关系可得出D不正确，故而得出答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查三角形内角和定理．先利用三角形内角和定理求出，再根据，，利用角的运算可求出：，再利用三角形内角和定理可得：，代入数据进行计算可求出的度数．
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，x=5，
∴ 某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，5，6，7，8，
∴ 中位数是6，众数是5.
故答案为：A.
【分析】根据平均数求出x的值，再求中位数和众数即可.
8．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】
解：
∵
∴
故答案为：B
【分析】本题考查无理数的估算与二次根式的计算，掌握取值范围的方法是关键，先化简得m=，再估算m的范围。
9．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意得
解之：
∴点P的坐标为
∴点P在第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用已知可得到（x，y）是方程组的解，解方程组求出x，y的值，可得到点P的坐标，据此可得到点P的位置.
10．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，作直线a∥m，
∵a∥m，m∥n，
∴a∥n，
∴∠1=∠4=20°，
∴∠3=60°-∠4=60°-20°=40°，
∵a∥m，
∴∠3=∠2=40°.
故答案为：A.
【分析】由平行于同一直线的两条直线互相平行得a∥n，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠4=20°，进而根据角的和差得∠3=40°，最后再根据二直线平行，内错角相等得∠3=∠2=40°.
11．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：是由沿折叠得到，
，，
，，
，
，即：，
，
故答案为：C．
【分析】先利用折叠的性质可得，，再结合，可得，即：，最后利用角的运算求出即可.
12．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 直线：与直线：交于点，
∴ b=-1+3=2，即A（-1，2），
∴ 交点的横纵坐标 即为 方程组的解.
故答案为：C.
【分析】将A坐标代入直线 函数解析式求得b的值，再根据两个一次函数图象的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，即可求得.
13．【答案】；
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】由图可知，正方形的边长是1，所以，对角线是 ，所以，点A表示的数是 ；点B表示的数是 ．故答案为 ， ．
【分析】由图可知，正方形的边长是1，根据勾股定理知其对角线长，根据同圆的半径相等得出A点到表示2的点的距离就是，B点到表示2的点的距离就是，OA=2-，OB=2+，从而得出A，B两点所表示的数。
14．【答案】
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】原式= （ ﹣1）+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）+…+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）
= （ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ ）
= ．
故答案为 ．
【分析】根据分母有理化将各个加数分别化简，再根据乘法分配律的逆用将运算简化，即可算出结果。
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】由题意得：
故答案为：．
【分析】根据题意列出方程组即可。
16．【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-30°=100°，
根据题意，得AF平分∠BAC，
∴，
∵AD是的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-50°-90°=40°，
∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=50°-40°=10°，
故答案为：10.
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC=100°，根据题意得AF平分∠BAC，从而根据角平分的定义得∠BAF=50°，接下来再次利用三角形内角和定理得∠BAD=40°，最后有∠DAF=∠BAF-∠BAD.
17．【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠得，
设，则，
由勾股定理得，
解得.
故答案为：3．
【分析】先根据折叠的性质得到，设，则，进而根据勾股定理即可求解.
18．【答案】（﹣ ，2）
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）.
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示.
∵BC＝OC＝OA，
∴OC＝3，OE＝2，
∴CE＝ ＝ ，
∴点C的坐标为（﹣ ，2）.
故答案为：（﹣ ，2）.
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，由BC＝OC利用等腰三角形的性质可得出OC、OE的值，再利用勾股定理可求出CE的长度，此题得解.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】（）先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可求出答案.
（）先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，然后再合并即可求出答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．【答案】（1）解：，
+得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：两边同时乘以12，得，即，
∴原方程转化为，
+得：，
解得：
把代入得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）先把方程组其中一个方程去分母进行整理，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案．
（1）由+得
∴
将代入得
∴
∴
（2）两边同时乘以12得
∴
∴
+得
∴
将代入得
∴
∴．
21．【答案】（1）解：（1）∵，，
∴，
∵，∴.
（2）解：（2）与不垂直，理由如下：∵，∴，
∵平分，∴，
∴，
∴与不垂直.
（3）解：（3），理由如下：
∵，∴，，
∵平分，∴，
要使，即使，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）求出，再利用平行线性质即可求解；
（2）利用平行求出，利用角平分线求出，利用内角和求出，判断即可；
（3）利用平行求出，，利用角平分线求出，利用及，列式即可，其中熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：与不垂直，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴与不垂直；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
要使，
即使，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
22．【答案】（1）解：①由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%＝30个评价分值，
从乙商家抽取了3÷15%＝20个评价分值，
∴甲商家4分的评价分值个数为30﹣2﹣1﹣12﹣5＝10个，
乙商家4分的评价分值个数为20﹣1﹣3﹣3﹣4＝9个，
补全条形统计图如下：
②；
（2）①∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，
∴众数b＝4，
乙商家平均数；
②小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1） ① 先根据公式：样本的总数=某项的频数÷该项的百分数，算出甲乙两甲抽取的总评价分值，再计算评价分值为4的甲乙两家的个数，再补全统计图即可.
②圆心角等于评价分值为4的百分率×360°即可.
（2）①当数据的个数为偶数个时，先把数据进行排序，第15个数和第16个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义，可以得出众数，再根据加权平均数公式求解平均数即可.
（2）根据中位数，众数 和平均数进行分析，只要符合题意即可.
23．【答案】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．根据题意，得：
．
解得：．
答：每个A型垃圾箱30元，每个B型垃圾箱40元．
（2）解：W＝30a+40（50﹣a）＝﹣10a+2000．
∵k＝﹣10＜0，
∴W随a的增大而减小．
∵0≤a≤16，
∴当a＝16时，W最小＝﹣10×16+2000＝1840（ 元）．
答：总费用最少要1840元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“ 买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元；买1个A型垃圾箱和3个B型垃圾箱共需150元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）先根据题意求出总费用的函数表达式W＝30a+40（50﹣a）＝﹣10a+2000，再利用一次函数的性质求解即可.
24．【答案】（1）420
（2）解：由图2可得：
2小时后货车由B地到达C地
∴货车速度为：60÷2=30（千米/小时）
∴货车到达A地的时间为出发后小时，即图2中点P的坐标为（14，360）
设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：
将点D（2，0），P（14，360）代入关系式可得：
，解得：
∴两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：
（3）解：设y1与行驶时间x之间的函数关系式为：
将点（0，360），（6，0）代入关系式可得：
，解得：
∴y1与行驶时间x之间的函数关系式为：
当y1=y2时，
解得：
即客、货两车出发小时候相遇.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图2可得：
A，C两地相距360千米，B，C两地相距60千米
∴A，B两地相距360+60=420千米
故答案为：420
【分析】（1）根据图2信息可得A，C两地相距360千米，B，C两地相距60千米，则A，B两地相距360+60=420千米，即可求出答案.
（2）根据图2信息可得2小时后货车由B地到达C地，根据速度=路程÷时间，可得货车速度，求出货车到达A地时间，则点P的坐标为（14，360），设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：，根据待定系数法将点D，P坐标代入关系式即可求出答案.
（3）设y1与行驶时间x之间的函数关系式为：，根据待定系数法将点（0，360），（6，0）代入关系式可得y1与行驶时间x之间的函数关系式为：，当当y1=y2时，建立方程，解方程即可求出答案.
25．【答案】（1）取y=0，
则，
，
，
解，
得：，
点的坐标为，
=；
（2）设直线的解析式为，作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点，
，
，
∵三点共线，
∴有最小值，
，，
。
∴，
解得：，
直线的解析式为，
取，得，
点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，联立两直线解析式得到方程组求解，由此求出点A的坐标，再利用三角形面积公式求解；
（2）直线与轴的交点，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用待定系数法求出的解析式，取函数值为0，就可求出点的坐标．
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