(共16张PPT)
第1讲 函数与方程思想
【思想概述】函数的思想,是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,是通过建立函数关系或构造函数并运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得以解决.
方程的思想,是分析数学问题中变量间的等量关系来建立方程、方程组或者构造方程,是通过解方程、方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题,从而使问题得以解决.
应用一 运用函数相关概念的本质解题
例1(2024辽宁模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)=f'(x)-2ex+x也是定义在R上的奇函数,则关于x的不等式g(1-x2)+g(2x+2)>0的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.(-1,3) D.(-3,1)
A
解析 因为g(x)=f'(x)-2ex+x,且g(x)为奇函数,故f'(x)-2ex+x+f'(-x)-2e-x-x=0,故f'(x)+f'(-x)=2ex+2e-x,
因为f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)+f(-x)=0,
故f'(x)-f'(-x)=0,故f'(x)=ex+e-x,故g(x)=-ex+e-x+x,
此时g'(x)=-ex-e-x+1≤-2+1<0,故g(x)为R上的减函数,而g(1-x2)+g(2x+2)>0等价于g(1-x2)>g(-2x-2),
即1-x2<-2x-2,即x2-2x-3>0,故x<-1或x>3.故选A.
[应用体验1](2024江西南昌二模)已知 则不等式f(x)<2的解集是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,3) C.[0,3) D.(3,+∞)
B
解析 当x<0时,不等式f(x)<2可化为-x2-2x<2,所以x2+2x+2>0,可得x<0;
当x≥0时,不等式f(x)<2可化为log2(x+1)<2,所以x+1<4,且x+1>0,所以0≤x<3,所以不等式f(x)<2的解集是(-∞,3),故选B.
应用二 利用函数性质解不等式、方程问题
例2(1)设函数f(x)=sin x+ex-e-x+2,则满足f(x)+f(3-2x)<4的x的取值范围
是( )
A.(3,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,3) D.(-∞,1)
A
解析 设g(x)=f(x)-2=sin x+ex-e-x,x∈R,则g(-x)=-sin x+e-x-ex=-g(x),故g(x)是奇函数.
又g'(x)=cos x+ex+e-x≥cos x+ =cos x+2>0,当且仅当x=0时等号成立,所以g(x)是R上的增函数,则f(x)+f(3-2x)<4等价于f(x)-2<-f(3-2x)+2,而g(2x-3)=-g(3-2x)=-f(3-2x)+2,因此有g(x)
3.故选A.
(2)(2024北京朝阳一模)已知函数 若实数a,b,c(a2
[6,7)
解析 由 故f(x)在(-∞,1],(2,+∞)上单调递减,在[1,2]上单调递增,且有f(1)=0,f(2)=1,f(0)=1,f(4)=1,f(5)=0,5-2=3;
由f(a)=f(b)=f(c),则0≤a<1[应用体验2](2024广东佛山二模)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(1)=2,则满足f(x)+f(-x)>4的实数x的取值范围为 .
解析 由f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递减,故f(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(1)=2,故f(x)>2,可得x∈(-1,1),又f(-x)=f(x),故f(x)+f(-x)>4等价于f(x)>2,故符合条件的x的取值范围为(-1,1).
(-1,1)
应用三 构造函数解决方程、不等式问题
例3已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1)=2,且对任意0≤x1>-1,则不等式f(2x-1)<4-2x的解集为( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,1) D.(0,1)
C
可得f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x,则函数g(x)=f(x)+x在[0,+∞)上单调递增,
又x∈R,且f(x)是定义域为R的奇函数,
所以g(-x)=f(-x)-x=-[f(x)+x]=-g(x),
所以g(x)为R上的奇函数,
所以g(x)在R上是增函数.
由f(1)=2,不等式f(2x-1)<4-2x等价于f(2x-1)+(2x-1)<3=f(1)+1,
所以g(2x-1)[应用体验3](2024天津二模)已知函数 若 x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是 .
解析 当a=0时,可得f(x)=-x,易知在R上单调递减,不满足题意;
当a≠0,x≥-1时,f(x)=ax2-x,其图象对称轴为直线x= ,
当x<-1时,f(x)=-x+a,此时函数在(-∞,-1)上单调递减;(共17张PPT)
第2讲 数形结合思想
【思想概述】数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
应用一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
B
A
解析 由f(x)的图象关于点(1,0)对称可得f(x+2)=-f(-x).
由f(x+1)+f(x+2)=0,可得f(x+1)=-f(x+2)=f(-x),故函数f(x)的图象关于直线x= 对称,且f(x+2)=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x),得f(x)的周期为2.
应用二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
例2(1)在平面直角坐标系xOy中,已知P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,若A(-a,0),B(a,0),a≠0,则 的最小值为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
B
(2)(2024浙江嘉兴二模)已知圆C:(x-5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(-6,0),B(0,8),若圆C上存在点P使得PA⊥PB,则r的取值范围为( )
A.(0,5] B.[5,15] C.[10,15] D.[15,+∞)
B
解析 如图,由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆,设为圆M,因为
A(-6,0),B(0,8),故圆M:(x+3)2+(y-4)2=25.
依题意知圆M与圆C必至少有一个公共点.
应用三 几何动态问题中的数形结合
例3(1)已知直线l:x-y+2=0与圆O:x2+y2=1,过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA,PB,切点分别为A,B,则∠AOB的最小值为( )
C
(2)已知椭圆C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,M为椭圆C上任意一点,N为圆E:(x-4)2+(y-3)2=1上任意一点,则|MN|-|MF1|的最小值为 .
解析 如图,M为椭圆C上任意一点,N为圆E:(x-4)2+(y-3)2=1上任意一点,则|MF1|+|MF2|=4,|MN|≥|ME|-1,当且仅当M,N,E三点共线时,等号成立,
∴|MN|-|MF1|=|MN|-(4-|MF2|)=|MN|+|MF2|-4≥|ME|+|MF2|-5≥|EF2|-5,当且仅当M,N,E,F2四点共线时,等号成立.
∵F2(1,0),E(4,3),(共18张PPT)
第3讲 分类讨论思想
【思想概述】分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时,需对研究的对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结论,最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想.
应用一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论
例1(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为 .
(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
解析 令g(x)=x2-ax+1,方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4.
①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,
所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).
若a=0或a=1,则f(x)仅有一个零点-1;
若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1,
②当Δ>0,即a>2或a<-2时,分两种情况.
若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1),(*),
若x2-ax+1<0,有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1), (**),
[应用体验1](2024山东泰安二模)已知函数 且f(m)=-12,则f(6-m)=( )
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
D
解析 由题意知,当m≤1时,f(m)=2m+1-8=-12,得2m+1=-4,又2m+1>0,所以方程无解;
应用二 由图形位置或形状引起的分类讨论
例2(多选题)已知P是圆O:x2+y2=4上任意一点,定点A在x轴上,线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q,当P在圆O上运动时,Q的轨迹可以是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
ABC
解析 当点A在圆外时,如图(1),(2)所示,设线段AP的中点为B,过点B作AP的垂线交直线OP于Q,连接AQ,则|QP|=|QA|,则||QO|-|QA||=|OP|=2,又|AO|>2,则此时点Q的轨迹为以O,A为焦点的双曲线;
图(1)
图(2)
图(3)
当点A在圆内(非原点)时,如图(3)所示,此时|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=2,又0<|AO|<2,则此时Q的轨迹为以O,A为焦点的椭圆;
当A在坐标原点时,如图(4)所示,此时B,Q重合,|QO|=1,则此时Q的轨迹是以原点O为圆心,半径为1的圆;
图(4)
图(5)
当点A在圆上时,如图(5)所示,由垂径定理,可知Q与O重合,此时Q的轨迹为点O.
综上,点Q的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线或一点.故选ABC.
C
应用三 由变量的范围引起的分类讨论
例3(2024广东茂名二模)在一场乒乓球赛中,甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”,具体赛制为:首先,四人通过抽签两两对阵,胜者进入“胜区”,败者进入“败区”;接下来,“胜区”的两人对阵,胜者进入最后决赛;“败区”的两人对阵,败者直接淘汰出局获第四名;紧接着,“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵,胜者晋级最后的决赛,败者获第三名;最后,剩下的两人进行最后的冠军决赛,胜者获得冠军,败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0(1)若p=0.6,经抽签,第一轮由甲对阵乙,丙对阵丁,
①求甲获得第四名的概率;
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.
(2)除“双败淘汰制”外,也经常采用“单败淘汰制”:抽签决定两两对阵,胜者晋级,败者淘汰,直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利 请说明理由.
解 (1)①记“甲获得第四名”为事件A,则P(A)=(1-0.6)2=0.16;
②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X,则X的所有可能取值为2,3,4,连败两局:P(X=2)=(1-0.6)2=0.16,X=3可以分为:连胜两局,第三局不管胜负;负胜负;胜负负,
P(X=3)=0.62+(1-0.6)×0.6×(1-0.6)+0.6×(1-0.6)×(1-0.6)=0.552, P(X=4)=(1-0.6)×0.6×0.6+0.6×(1-0.6)×0.6=0.288.
故X的分布列如下:
X 2 3 4
P 0.16 0.552 0.288
故数学期望E(X)=2×0.16+3×0.552+4×0.288=3.128.(共27张PPT)
第4讲 转化与化归思想
【思想概述】转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时,思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形,也就是转化到另一种情形使问题得到解决的情况.这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.
应用一 特殊与一般的转化
AC
ACD
应用二 命题的等价转化
例2(1)(2024北京景山中学模拟)已知斐波那契数列{an}满足:a1=a2=1, an+2=an+1+an(n∈N*),若a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=ak,则k=( )
A.2 022 B.2 023 C.59 D.60
D
解析 a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=a2+a3+a5+a7+a9+…+a59
=a4+a5+a7+a9+…+a59=a6+a7+a9+…+a59=……=a58+a59=a60=ak,所以k=60.故选D.
BCD
应用三 函数、方程、不等式之间的转化
例3(1)(2023全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )
C
解析 (方法一)令x-y=k,k∈R,则x=k+y,代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4 =0,因为存在满足条件的实数y,则Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,
A.a>c>b B.b>a>c
C.a>b>c D.c>b>a
D
令f(x)=x-sin x,则f'(x)=1-cos x≥0,
所以函数f(x)在R上单调递增,
所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,
即有x>sin x(x>0)成立,
应用四 正难则反的转化
例4(1)(2024安徽合肥模拟)已知圆C:(x-6)2+(y-8)2=1和两点A(-m,0),B(m,0) (m>0),若圆C上至少存在一点P,使得∠APB>90°,则m的取值范围是( )
A.(9,11) B.(9,+∞) C.[9,+∞) D.(11,+∞)
B
解析 ☉C:(x-6)2+(y-8)2=1的圆心C(6,8),半径r=1,
∵圆C上至少存在一点P,使得∠APB>90°,
∴☉C:(x-6)2+(y-8)2=1与☉O:x2+y2=m2(m>1)位置关系为相交,内切或内含,记☉O半径为R,其中R=m,如图所示,则|OC|10,∴m>9.故选B.
B(共23张PPT)
第5讲 客观题答题技巧
【思想概述】客观题在数学试卷中所占比重较大,是能否得到高分的关键.如果能根据题目特点,运用恰当的方法速解数学客观题,则既能提高正确率,还能节省时间,达到事半功倍的效果.常用的速解技巧有特例法、图解法、排除法、估算法等.
应用一 特例(特值)法
B
解析 ∵函数f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x).
不妨令x=1,则有f(-1)=f(1),
(2)(2023全国甲,文16)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是 .
解析 第一步,弄清球O与正方体棱有公共点,球半径最小的球为棱切球(即与棱相切的球),最大的球为外接球.
第二步,作对角面ABC1D1截正方体与其棱切球、外接球分别得如下矩形和小、大两个圆(如图).
应用二 图解法
AC
图1
图2
应用三 验证法
例3(1)(2024安徽马鞍山三模)已知函数y=f(x)的大致图象如图所示,则y=f(x)的解析式可能为( )
D
A.x=1,y=1,z=4 B.x=1,y=2,z=5
C.x=2,y=2,z=7 D.x=1,y=3,z=9
BC
应用四 估算法
例4(1)(2024湖北武汉模拟)如图所示,下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成对称形态,图(2)形成“右拖尾”形态,图(3)形成“左拖尾”形态,根据所给图作出以下判断,正确的是( )
图(1)
图(2)
图(3)
A.图(1)的平均数=中位数=众数 B.图(2)的平均数<众数<中位数
C.图(2)的众数<中位数<平均数 D.图(3)的平均数<中位数<众数
ACD
解析 图(1)是对称的,所以平均数=中位数=众数,故A正确;图(2)众数最小,右拖尾平均数大于中位数,故B错误,C正确;图(3)左拖尾众数最大,平均数小于中位数,故D正确.故选ACD.
(2)(2024陕西商洛模拟)人工智能(Artificial Intelligence),英文缩写为AI.它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.利用机器人配送、机器人测控体温等都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5 000万元,并将其全部投入生产,到当年年底资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底各项人员工资、税务等支出合计1 500万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为an万元,若第m(m∈N*)年年底企业的剩余资金超过21 000万元,则整数m的最小值为 .(参考数据:lg 2≈0.301 0;lg 3≈0.477 1)
6(共11张PPT)
第6讲 新知识应用方法探究
【思想概述】在近几年高考数学命题中,“新定义、新情境”问题越来越受到关注和重视.所谓“新定义、新情境”问题,是指在高中教材中不曾出现过的概念、定义、情境.它的一般形式是:由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则,或者给出一个抽象函数的性质等,然后让学生按照这种“新定义、新情境”去解决相关的问题.“新定义、新情境”问题的题型较为新颖,所包含的信息丰富,能较好地考查学生分析问题、解决问题的能力.下列几种解题的思路与方法,为我们在宏观上把握这类题型提供了思维方向.
应用一 新定义问题
例1(2024山西临汾二模)在计算机科学中,n维数组X=(x1,x2,…,xn), xi∈{0,1},i=1,2,…,n是一种基础而重要的数据结构,它在各种编程语言中被广泛使用.对于n维数组A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),定义A与B的差为
A-B=(|a1-b1|,|a2-b2|,…,|an-bn|),A与B之间的距离为d(A,B)=
(1)若n维数组O=(0,0,…,0),证明:d(A,O)+d(B,O)≥d(A,B);
(2)证明:对任意的数组A,B,C,有d(A-C,B-C)=d(A,B);
(3)设集合P中有m(m≥2)个n维数组,记P中所有两元素间的距离的平均值为
证明 (1)设A与B的对应项中同时为0的有x(0≤x≤n)个,同时为1的有y(0≤y≤n-x)个,则对应项不同的有n-x-y个,所以d(A,B)=n-x-y.
所以d(A,O)+d(B,O)=2y+(n-x-y)≥n-x-y=d(A,B).
应用二 新情境问题
例2(2024河北保定二模)三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一,如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图的不可能问题,如果不局限于尺规,三等分任意角是可能的.下面是一种三等分角的方法:已知角α(0<α<π)的顶点为A,在α的两边上截取|AB|=|AC|,连接BC,在线段BC上取一点O,使得|BO|=2|CO|,记BO的中点为D,以O为中心,C,D为顶点作离心率为2的双曲线M,以A为圆心,AB为半径作圆,与双曲线M左支交于点E(射线AE在∠BAC内部).在上述作法中,以O为原点,直线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,
若B(-2,0),点A在x轴的上方.
(1)求双曲线M的方程.
(2)若过点A作与x轴垂直的直线交x轴于点G,
点E到直线AG的距离为d.