湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考（四）数学试题（含答案）

湖南师大附中2025届高三月考试卷（四）
数学
时量：120分钟 满分：150分得分：
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足（为虚数单位），则的模（ ）
A. 1 B. C. D.
2. 已知命题；命题是质数，则（ ）
A. 均是真命题 B. 均是真命题
C. 均是真命题 D. 均是真命题
3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据分位数等于他们的平均数，则为（ ）
A 10 B. 12 C. 14 D. 16
5. 如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长等于2
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的标准方程可以是
D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
6. 已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（ ）
A. B.
C D.
7. 已知三棱锥内接于直径为的球，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 关于的方程恰有两个根为，且分别满足和，则的值为（ ）
A. B. C. 57 D. 77
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数与，下列说法正确是（ ）
A. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的，并向左平移个单位可以得到的图象
B. 与的图象存在相同的对称中心
C. 与在区间上单调性相同
D. 当时，与的图象有且仅有个交点
10. 已知三次函数，则（ ）
A. 当时，函数为单调递增函数
B. 当时，函数的图象关于对称
C. 存在，使得函数图象关于直线对称
D. 函数有三个零点的一个充分条件是
11. 已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，过轴左侧一点作抛物线的两条切线，切点为分别交轴于两点，设，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. 四点共圆
C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则____________.
13. 若数列的前项和是首项为，公比为的等比数列，则的前项积为__________.
14. 现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一 二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 记锐角三角形的内角的对边分别为，的面积为，已知.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
16. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数和有相同的最大值，求的值.
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，
，点分别是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动.
（1）抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止.抽到卡片送精美校园明信片一张，抽到卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有卡片的概率.
（2）领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢福袋，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概率相等，乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前个福袋，自第个开始，只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设，记乙同学摘到最大的福袋概率为.
①若，求；
②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取）
19. 已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.
（1）求点，的坐标；
（2）记，证明：数列为等比数列；
（3）为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值.
湖南师大附中2025届高三月考试卷（四）
数学
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】B
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】C
6.
【答案】C
7.
【答案】B
8.
【答案】D
9.
【答案】ACD
10.
【答案】BD
11.
【答案】ABC
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】##
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.
【答案】（1）
（2）
16.
【答案】（1）
（2）.
17.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用随机事件的关系结合独立事件乘法公式与互斥事件加法公式求解即可；
（2）①由题意可知，要摘到最适合他的福袋，有两种情况，最适合他的福袋是第3个和最适合他的福袋是最后1个，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果；
②记事件表示最适合的福袋被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再用导数求出最值即可．
【小问1详解】
8张完全相同的卡片，3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，
由抽取规则可知，甲同学取到写有卡片的概率为
【小问2详解】
①这4个福袋的位置从第1个到第4个排序，有种情况，
要摘到最大的福袋，有以下两种情况：
最大的福袋是第3个，其他的福袋随意在哪个位置，有种情况，
最大的福袋是最后1个，第二大的福袋是第1个或第2个，其他的福袋随意在哪个位置，有种情况，
故所求概率为；
②记事件表示最大的福袋被摘到，事件表示最大的福袋在福袋中排在第个，
因为最大的福袋出现在各个位置上的概率相等，所以，
以给定所在位置的序号作为条件，，
当时，最大的福袋在前个福袋之中，不会被摘到，此时，
当时，最大福袋被摘到，当且仅当前个福袋中的最大的一个在前个福袋中时，所以，
由全概率公式知，
令函数，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，取得最大值，最大值为，此时，
即的最大值为，此时的值为.
19. 已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.
（1）求点，的坐标；
（2）记，证明：数列为等比数列；
（3）为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由点可得的值，求出的方程后联立双曲线可得，即可得，再借助的方程后联立双曲线可得，即可得；
（2）联立与双曲线方程，结合韦达定理可得，结合点代入可得，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证；
（3）由，结合，从而可得与，再利用面积公式分别计算，即可得.
【小问1详解】
由题知，所以双曲线，
又过点斜率为的直线方程为，
由双曲线与直线的对称性可知，所以，
又过，且斜率为的直线方程为，
即，
由，解得或，
当时，，
所以，所以；
【小问2详解】
设，
则过，且斜率为的直线方程为，
联立，
消得到，
由题有，得到，
由题知点在直线上，
即有，所以，
因为，
则
，
由（1）知，
所以数列是以3为首项，为公比的等比数列；
【小问3详解】
由（2）知，由，
即，
即，
则，
，
故，，
，，
从而，
，
即，则，
则，，
从而.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问的关键点在于得到后，结合，从而可得与，再利用面积公式计算即可得.