湖南省长沙市长郡十八校2024-2025学年高一上学期12月检测数学试题（含答案）

1
2024年秋季高一检测卷
数学
（考试范围：必修一第一章至第五章第1节《任意角和弧度制》
时量：120分钟满分：150分
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1. 已知全集，则（）
A. B. C. D.
2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，若角与终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（）.
A. B.
C. D.
4. 已知函数（其中a，b为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是（）
A. B.
C. D.
5. 函数的单调递减区间是（）
A. B. C. D.
6. 已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示，
1 1.5 1.25 1.375 1.3125
0.875 0.2246
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（）
A. 1 B. 1.5 C. 1.25 D. 1.3125
7. 已知，，，则、、大小关系为（）
A. B. C. D.
8. 已知二次函数的值域为，则的最小值为（）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知命题，则命题成立的一个充分条件可以是（）
A. B. C. D.
10. 关于函数，下列结论正确的是（）
A. 若函数，则与是同一个函数
B. 是奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 的值域为
11. 已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（）
A.
B. 的图象关于轴对称
C. 在上单调递减
D. 不等式解集为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知幂函数的定义域是，则______．
13. 在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度（单位：）和所携带的燃料的质量（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式近似满足（为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，约等于，则常数的值为______．
14. 已知函数关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 计算：
（1）；
（2）．
16. 已知，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
17. 已知函数为奇函数．（e为自然对数底数，）
（1）求的值及函数的值域；
（2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；
（3）求不等式的解集．
18. 已知函数．
（1）当时，若函数恰有两个不同的零点，求实数的值；
（2）当时，若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集．
（1）当时，写出集合的积集；
（2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；
（3）若是由4个有理数构成集合，积集，求集合中的所有元素之和．
2024年秋季高一检测卷
数学
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】D
4.
【答案】A
5.
【答案】B
6.
【答案】D
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.
【答案】ACD
10.
【答案】CD
11.
【答案】ABD
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.
【解析】
【分析】（1）利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值；
（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
16.
【解析】
分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论；
（2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【小问1详解】
已知，且，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，证毕；
【小问2详解】
因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为
17.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求出，再求出函数值域.
（2）利用函数单调性的定义，结合指数函数单调性推理证明.
（3）利用函数奇偶性和单调性，把不等式转化为代数不等式，再借助一元二次不等式求解.
【小问1详解】
因为函数为奇函数，定义域为，所以.
所以
因为，所以，所以.
所以，
因为，所以，即.
所以函数的值域为：.
【小问2详解】
设，
则.
因为，所以，于是，，，
所以.
所以即.
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
由.
因为函数为奇函数，且在上单调递增.
所以
所以.
即所求不等式的解集为：
18.
【解析】
【分析】（1）写出，分，，，，，等情况，结合函数图象，求出零点个数，得到；
（2）根据函数的对称轴和特殊点函数值，得到当，即时，在R上单调递增；
（3）分和两种情况，结合函数单调性，得到当时，关于的方程有3个不等实根，即，所以，设，故只需，求出，求出实数的取值范围是.
【小问1详解】
时，，
当时，的对称轴为，
当时，的对称轴为，
当时，，
此时函数图象如下：
其中令，解得或0，满足要求，
令，解得，满足要求，0舍去，
故此时有3个零点，不合要求，舍去；
当时，
故，
令得，满足要求，
令，解得或0（舍去），
满足恰有两个不同的零点；
当时，，
令，解得或0（舍去），
令，解得，满足要求，
满足恰有两个不同的零点；
当时，，
画出函数图象，如下：
令，解得或，满足要求，
令得或0（舍去），满足要求，
此时有3个不同的零点，不合题意；
当时，，
画出函数图象，如下：
令，解得或0（舍去），
令得或0，满足要求，
此时有3个不同的零点，不合题意；
当时，，画出函数图象，如下：
其中令，解得或0（舍去），
令，解得或0，
故此时有3个零点，不合要求，舍去；
综上，恰有两个不同的零点，则；
【小问2详解】
时，，
当时，的对称轴为，
当时，的对称轴为，
并且，
故当，即时，在R上单调递增；
【小问3详解】
当时，，
的解即为方程的解，
当时，在R上单调递增；
故关于的方程不可能有三个不等的实根，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，关于的方程有3个不等实根，
即，
因为，所以，
设，故只需，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
故，
故若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，
实数的取值范围是.
19.
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到；
（2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5；
（3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，.
【小问1详解】
，故，
，
故；
【小问2详解】
是由4个正实数构成的集合，
不妨设，
因为，故中的元素个数大于等于5，
当时，此时，
故中元素个数最小值为5；
【小问3详解】
由条件可知，对于一个4元集合，
中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数，
同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数，
由此知，的绝对值互不相等，不妨设，
则中最小的与次小的两个数分别为与，
最大与次大的两个数分别为与，
从而必有，
于是，
所以，
当时，，解得，
又为有理数，不合要求，舍去，
当，解得，满足要求，
易得或，
经检验，均满足要求，故，
集合中的所有元素之和为.
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