北京市第十九中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高一上·北京市期中）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·北京市期中）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·北京市期中）下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一上·北京市期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．（2024高一上·北京市期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·北京市期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·北京市期中）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（ ）
A．2080 B．20 C． D．400
8．（2024高一上·北京市期中）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2024高一上·北京市期中）对，表示不超过x的最大整数，我们把，称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，则
10．（2024高一上·北京市期中）设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
11．（2024高一上·北京市期中）函数 的定义域为 .
12．（2024高一上·北京市期中）绝对值不等式的解集为 ..
13．（2024高一上·北京市期中）已知函数的图象如图所示，则的值为 .
14．（2024高一上·北京市期中）已知函数.若，则 ；若的值域是，则实数的取值范围是 .
15．（2024高一上·北京市期中）函数，给出下列四个结论
①的值域是；
②任意且，都有；
③任意且，都有；
④规定，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是 ．
16．（2024高一上·北京市期中）已知全集，，，.
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
17．（2024高一上·北京市期中）已知函数.
（1）证明：为奇函数；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
18．（2024高一上·北京市期中）已知二次函数的最小值为1，且.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
19．（2024高一上·北京市期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得对于任意都有，且，则称为上的增长函数.
（1）已知函数，，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；
（2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，.
故答案为：B.
【分析】直接求交集即可得解.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题 ，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，故其否定为：
故答案为：C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断；
3．【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的值域；函数的表示方法
【解析】【解答】解：A、值域不是，故A错误；
B、定义域不是，故B错误；
C、定义域和值域均为，故C正确；
D、不满足函数的定义，故D错误。
故答案为：C。
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、若，，，，则，故B错误；
C、若，则，即，故C正确；
D、若，，，，则，故D错误.
故答案为：C.
【分析】通过举反例和作差法逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】A选项：虽然为偶函数，但是 在上单调递减，故A错误，
B选项：，，故为偶函数，且在上单调递增，符合要求.
C选项：，，则，故为奇函数.
D选项：，，则，故为奇函数.
故答案：B
【分析】根据和判定出函数奇偶性，在结合 在上单调递增 进行判定即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】集合中元素的个数问题；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为中恰有2个元素，所以有两个不相等的实根，
所以，解得且，
所以的范围是.
故答案为：A.
【分析】由的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意知，，，
当且仅当，即时等号成立，最小时，的值为20。
故答案为：B。
【分析】根据已知条件，利用基本不等式求解即可。
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，所以，，得，所以由，
时，有，所以由不能推出，
所以是的充分不必要条件。
故答案为：B。
【分析】根据充分条件必要条件关系判断即可。
9．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A正确；
B、令Z，则，或。
当时，，
此时，；
当时，，，
此时，，
综上，，故B正确；
C、当时，，，，故C错误；
D、若，设Z，则，
，，故D正确.
故答案为：C.
【分析】取特殊值判断AC，利用不等式性质及取整数的意义判断BD.
10．【答案】B
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题
【解析】【解答】设，（当且仅当中个正整数是连续的个正整数时，等号成立）.
令=i，且，此时保证n最大，此时：解得：
（舍去），故，故n的最大值为11
故答案：B
【分析】要使最小而要使最小，里的元素一定是连续的正整数，则只需要的元素个数从1开始即可，然后列出即可求解.
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：根据题意，要使函数 有意义，
则需满足 ，解得 且 .
所以函数的定义域为：
故答案为：
【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.
12．【答案】
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】解：由得，整理得，解得或，
所以解集为。
故答案为：。
【分析】两边平方转化为一元二次不等式即可得解。
13．【答案】
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由图可知，所以。
故答案为：0。
【分析】根据图象可知，，即可得解。
14．【答案】1；
【知识点】集合间关系的判断；函数的值
【解析】【解答】解：当时，，所以；
函数的定义域为，值域为，
显然，且，否则在上的值域包含，矛盾，因此，
在上递减，在上的值域为，所以，
，从而，当时，，
当且仅当时等号成立，
又，所以，解得，所以，
所以的范围是.
故答案为：1；.
【分析】把代入可求出；根据给定的值域，分段讨论求出实数的范围.
15．【答案】①②④
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：①、当时，，
当时，该函数递增，所以有，
又，
所以时，；
当时，，函数单调递增，
所以，
，所以有，
所以的值域是，故①正确；
②、不妨设，由，
即该函数在R上递增，
由①可知：该函数在时，单调递增，且，
当时，单调递增，且，所以该函数是R上的增函数，符合题意，故②正确；
③、当任意且时，
令，，
，显然，
因此不成立，故③不正确；
④、当时，，
，
，
，
，
于是有，因此，故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质逐项判断即可.
16．【答案】（1）解：由，得，
所以，或，
所以，.
（2）解：由可得，
当时，即，即；
当时，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）化简，根据交并补运算求解即可；
（2）由可知，再根据子集关系求的范围.
（1）由，解得，
，或，
，.
（2）由可得，
当时，即，即；
当时，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
17．【答案】（1）证明：任取，则，
，所以是奇函数；
（2）证明：设，且是上的任意两个实数，
，，，，
则，
即，
所以在区间上是减函数；
（3）解：不等式化为，
是奇函数，则，
又在区间上是减函数，
所以，解得.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）证明出即可得是奇函数；
（2）根据单调性的定义，按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤证明即可；
（3）利用奇偶性以及单调性化简即可。
（1）任取，则，
，所以是奇函数；
（2）设，且是上的任意两个实数，
，，，，
则，
即，
所以在区间上是减函数；
（3）不等式化为，
是奇函数，则，
又在区间上是减函数，
所以，解得．
18．【答案】（1）解：由，则二次函数的对称轴，
由二次函数的最小值为，则其顶点为，
可设二次函数，由，则，
所以.
（2）解：因为的对称轴且在区间上不单调 ，
所以，则，解得.
（3）解：由整理可得，
令，对称轴，
①当，即时，在上单调递增，
则，
令，解得，可得；
②当，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
令，解得，可得；
③当，时，在上单调递减，
，
令，解得，此时无解，
综上，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质结合题意可建立不等式求解即可；
（3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，即可得解.
（1）由，则二次函数的对称轴，
由二次函数的最小值为，则其顶点为，
可设二次函数，由，则，
所以.
（2）由题意可得，则，解得.
（3）由不等式，整理可得，
令，则其对称轴，
①当，即时，在上单调递增，
则，
令，解得，可得；
②当，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
令，解得，可得；
③当，时，在上单调递减，
，
令，解得，此时无解；
综上所述，.
19．【答案】（1）解：不是区间上的增长函数，理由如下：
对于，因为，，
所以为区间上的增长函数；
对于，当时，，
所以不是区间上的增长函数.
（2）解：由题意可知对于恒成立，
即，即对恒成立，
令，而，则在上递增，
，所以，又，解得，
所以正整数的最小值为9.
（3）解：由题意知时，，当时，，
因为是R上的奇函数，所以的图象如图所示：
于是，
又是R上的增长函数，则对任意的，都有，
而函数的图象是函数的图象向左平移4个单位而得，如图，
由图象可知，当且仅当，即时，恒成立，
所以a的范围为.
【知识点】函数的图象与图象变化；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可；
（2）将增长函数问题转换为在区间恒成立问题即可得解；
（3）作出的图象，借助函数图象变换列式求解即可.
（1）对于函数，因为，，
所以函数为区间上的增长函数；
对于函数，当时，，
所以函数不为区间上的增长函数.
（2）依题意，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，而，则函数在上单调递增，
，因此，又，解得，
所以正整数的最小值为9.
（3）依题意， 当时，，当时，，
而函数是R上的奇函数，则函数的图象如图所示：
于是，
又是R上的增长函数，则对任意的，都有，
而函数的图象是函数的图象向左平移4个单位而得，如图，
观察图象知，当且仅当，即时，恒成立，
所以实数a的取值范围为.
1 / 1北京市第十九中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高一上·北京市期中）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，.
故答案为：B.
【分析】直接求交集即可得解.
2．（2024高一上·北京市期中）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题 ，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，故其否定为：
故答案为：C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断；
3．（2024高一上·北京市期中）下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的值域；函数的表示方法
【解析】【解答】解：A、值域不是，故A错误；
B、定义域不是，故B错误；
C、定义域和值域均为，故C正确；
D、不满足函数的定义，故D错误。
故答案为：C。
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念逐项判断即可。
4．（2024高一上·北京市期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、若，，，，则，故B错误；
C、若，则，即，故C正确；
D、若，，，，则，故D错误.
故答案为：C.
【分析】通过举反例和作差法逐项判断即可.
5．（2024高一上·北京市期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】A选项：虽然为偶函数，但是 在上单调递减，故A错误，
B选项：，，故为偶函数，且在上单调递增，符合要求.
C选项：，，则，故为奇函数.
D选项：，，则，故为奇函数.
故答案：B
【分析】根据和判定出函数奇偶性，在结合 在上单调递增 进行判定即可得出答案.
6．（2024高一上·北京市期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】集合中元素的个数问题；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为中恰有2个元素，所以有两个不相等的实根，
所以，解得且，
所以的范围是.
故答案为：A.
【分析】由的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即可.
7．（2024高一上·北京市期中）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（ ）
A．2080 B．20 C． D．400
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：由题意知，，，
当且仅当，即时等号成立，最小时，的值为20。
故答案为：B。
【分析】根据已知条件，利用基本不等式求解即可。
8．（2024高一上·北京市期中）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，所以，，得，所以由，
时，有，所以由不能推出，
所以是的充分不必要条件。
故答案为：B。
【分析】根据充分条件必要条件关系判断即可。
9．（2024高一上·北京市期中）对，表示不超过x的最大整数，我们把，称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，则
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A正确；
B、令Z，则，或。
当时，，
此时，；
当时，，，
此时，，
综上，，故B正确；
C、当时，，，，故C错误；
D、若，设Z，则，
，，故D正确.
故答案为：C.
【分析】取特殊值判断AC，利用不等式性质及取整数的意义判断BD.
10．（2024高一上·北京市期中）设集合A的最大元素为，最小元素为m，记A的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题
【解析】【解答】设，（当且仅当中个正整数是连续的个正整数时，等号成立）.
令=i，且，此时保证n最大，此时：解得：
（舍去），故，故n的最大值为11
故答案：B
【分析】要使最小而要使最小，里的元素一定是连续的正整数，则只需要的元素个数从1开始即可，然后列出即可求解.
11．（2024高一上·北京市期中）函数 的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：根据题意，要使函数 有意义，
则需满足 ，解得 且 .
所以函数的定义域为：
故答案为：
【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.
12．（2024高一上·北京市期中）绝对值不等式的解集为 ..
【答案】
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】解：由得，整理得，解得或，
所以解集为。
故答案为：。
【分析】两边平方转化为一元二次不等式即可得解。
13．（2024高一上·北京市期中）已知函数的图象如图所示，则的值为 .
【答案】
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由图可知，所以。
故答案为：0。
【分析】根据图象可知，，即可得解。
14．（2024高一上·北京市期中）已知函数.若，则 ；若的值域是，则实数的取值范围是 .
【答案】1；
【知识点】集合间关系的判断；函数的值
【解析】【解答】解：当时，，所以；
函数的定义域为，值域为，
显然，且，否则在上的值域包含，矛盾，因此，
在上递减，在上的值域为，所以，
，从而，当时，，
当且仅当时等号成立，
又，所以，解得，所以，
所以的范围是.
故答案为：1；.
【分析】把代入可求出；根据给定的值域，分段讨论求出实数的范围.
15．（2024高一上·北京市期中）函数，给出下列四个结论
①的值域是；
②任意且，都有；
③任意且，都有；
④规定，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：①、当时，，
当时，该函数递增，所以有，
又，
所以时，；
当时，，函数单调递增，
所以，
，所以有，
所以的值域是，故①正确；
②、不妨设，由，
即该函数在R上递增，
由①可知：该函数在时，单调递增，且，
当时，单调递增，且，所以该函数是R上的增函数，符合题意，故②正确；
③、当任意且时，
令，，
，显然，
因此不成立，故③不正确；
④、当时，，
，
，
，
，
于是有，因此，故④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质逐项判断即可.
16．（2024高一上·北京市期中）已知全集，，，.
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由，得，
所以，或，
所以，.
（2）解：由可得，
当时，即，即；
当时，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）化简，根据交并补运算求解即可；
（2）由可知，再根据子集关系求的范围.
（1）由，解得，
，或，
，.
（2）由可得，
当时，即，即；
当时，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
17．（2024高一上·北京市期中）已知函数.
（1）证明：为奇函数；
（2）用定义证明：在区间上是减函数；
（3）解不等式.
【答案】（1）证明：任取，则，
，所以是奇函数；
（2）证明：设，且是上的任意两个实数，
，，，，
则，
即，
所以在区间上是减函数；
（3）解：不等式化为，
是奇函数，则，
又在区间上是减函数，
所以，解得.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）证明出即可得是奇函数；
（2）根据单调性的定义，按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤证明即可；
（3）利用奇偶性以及单调性化简即可。
（1）任取，则，
，所以是奇函数；
（2）设，且是上的任意两个实数，
，，，，
则，
即，
所以在区间上是减函数；
（3）不等式化为，
是奇函数，则，
又在区间上是减函数，
所以，解得．
18．（2024高一上·北京市期中）已知二次函数的最小值为1，且.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由，则二次函数的对称轴，
由二次函数的最小值为，则其顶点为，
可设二次函数，由，则，
所以.
（2）解：因为的对称轴且在区间上不单调 ，
所以，则，解得.
（3）解：由整理可得，
令，对称轴，
①当，即时，在上单调递增，
则，
令，解得，可得；
②当，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
令，解得，可得；
③当，时，在上单调递减，
，
令，解得，此时无解，
综上，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；不等关系与不等式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质结合题意可建立不等式求解即可；
（3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，即可得解.
（1）由，则二次函数的对称轴，
由二次函数的最小值为，则其顶点为，
可设二次函数，由，则，
所以.
（2）由题意可得，则，解得.
（3）由不等式，整理可得，
令，则其对称轴，
①当，即时，在上单调递增，
则，
令，解得，可得；
②当，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
令，解得，可得；
③当，时，在上单调递减，
，
令，解得，此时无解；
综上所述，.
19．（2024高一上·北京市期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得对于任意都有，且，则称为上的增长函数.
（1）已知函数，，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由；
（2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：不是区间上的增长函数，理由如下：
对于，因为，，
所以为区间上的增长函数；
对于，当时，，
所以不是区间上的增长函数.
（2）解：由题意可知对于恒成立，
即，即对恒成立，
令，而，则在上递增，
，所以，又，解得，
所以正整数的最小值为9.
（3）解：由题意知时，，当时，，
因为是R上的奇函数，所以的图象如图所示：
于是，
又是R上的增长函数，则对任意的，都有，
而函数的图象是函数的图象向左平移4个单位而得，如图，
由图象可知，当且仅当，即时，恒成立，
所以a的范围为.
【知识点】函数的图象与图象变化；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可；
（2）将增长函数问题转换为在区间恒成立问题即可得解；
（3）作出的图象，借助函数图象变换列式求解即可.
（1）对于函数，因为，，
所以函数为区间上的增长函数；
对于函数，当时，，
所以函数不为区间上的增长函数.
（2）依题意，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，而，则函数在上单调递增，
，因此，又，解得，
所以正整数的最小值为9.
（3）依题意， 当时，，当时，，
而函数是R上的奇函数，则函数的图象如图所示：
于是，
又是R上的增长函数，则对任意的，都有，
而函数的图象是函数的图象向左平移4个单位而得，如图，
观察图象知，当且仅当，即时，恒成立，
所以实数a的取值范围为.
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