第9章 多边形
9.1.2三角形的内角和与外角和
【教学目标】
知识与技能：
1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的内角和、外角的两条性质以及三角形的外角和.
2．能利用三角形内角和外角和以及外角的两条性质进行有关计算.
过程与方法：
在学生学习外角和性质的推导过程中，使学生学会探索数学问题的归纳法和实验法等研究方法。
情感、态度与价值观：
1.体会一切理论来源于实践，又返回来服务于实际生活的思想。
2.体会一切事物既存在着一定的联系，又有一定的区别。只有弄清它们的本质，才能更好地为人类服务。
3.不等关系是实际生活中最多的数量关系，通过这节课的学习使学生感到我也会研究数学，增强学好不等式的信心。
【教学重点】
掌握三角形的内角和、外角和以及外角的性质.
【教学难点】
在性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法.
【教学过程】
一、活动引入：你有什么办法可以探究它呢
活动内容：（1）:通过具体的度量,验证三角形的内角和
（2） 方法二:剪拼法.把三个角拼在一起试试看？
图1
图2
通过测量发现三角形的三个内角和是180°从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗
已知：△ABC. 求证：∠A +∠B +∠C =180°
验证三角形内角和定理1.gsp
证明：如图，过A作EF∥BC
∴∠2=∠4（两直线平行,内错角相等）
同理：∠3=∠5（两直线平行,内错角相等）
∵∠4+∠1+∠5=180° (平角定义)
∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换)
2、
方法一：过A点作DE∥BC
∵DE∥BC
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C(两直线平行，内错角相等)
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA.
∵CE∥BA
∴∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)
∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
2．直角三角形两锐角之间的关系
由三角形的内角和等于180°，容易得到下面的结论：
直角三角形的两个锐角互余.
新知应用：比一比，赛一赛
（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 ° ，
则∠ C=＿＿＿＿ 102 °
(2) 在△ABC中，∠C +∠B =140°则∠A＝＿40 °
(3)在△ABC中, ∠A=40 ° ∠A=2∠B，
则∠C＝120°。
三角形的外角定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角．
如图，△ＡＢＣ中，∠1是一个外角
3．三角形的外角及其性质
我们已经知道三角形的内角和等于180°.现在我们探索三角形的外角及外角的性质.
如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角.
∠DAC是三角形的一个外角，内角BAC与它相邻，内角∠B、∠C与它不相邻.
问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系 (互补)
探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系.请同学们拿出一张白纸，在白纸上画出如教科书图8.27所示的图形，然后把∠ACB、∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD上，使点A、C、B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样.请你用文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系.
由此可知：三角形外角有两条性质：
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
如图：D是△ABC边BC上一点，
则有∠ADC＝∠DAB+∠ABD ，∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD
问：∠ADB＝∠( ) +∠( )
4．探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”的方法.
(1)你能用“三角形的内角和等于180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和呢
(2)你能否从前面的操作中，得到说明三角形外角性质的另一种方法？
5．探索三角形的外角和
(1)与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
(2)探索三角形的外角和是多少？
(3)探索三角形的外角和是360°的证明方法.
二、知识应用
例1如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B=∠BAD， ∠ADC=80 ， ∠BAC=70 . 求：
(1) ∠ B的度数；
(2) ∠ C的度数.
解：(1)∵ ∠ADC是⊿ABD的外角 (已知)
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80
(三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
又∵ ∠B=∠BAD(已知)
(2)∵∠ B+ ∠ BAC+ ∠ C= 180 (三角形的内角和为180 )
∴∠ C= 180 - ∠ B - ∠ BAC (等式的性质)
= 180 -40 -70
=70
三、知识梳理
三角形的内角和与外角和各是多少？
三角形的外角有哪些性质？
四、随堂练习
教科书课后练习1、2、3
1
５
４
1
3
2
3
2
1
４
3
2
５
４
1
５
3
2
A
B
C
E
D
A
B
C
D
E
1第9章 多边形
9.1.1认识三角形
【教学目标】
知识与能力
1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念.
2.会将三角形按角分类.
3.理解等腰三角形、等边三角形的概念.过程与方法
不等式的解集；通过数轴直观表示不等式的解集。体会数形结合的思想，并懂得如何在实际问题中运用它。
情感态度与价值观
通过自主探究体会到不等式与方程的类似与不同之处，感受不等式解法的实际应用，进一步认识到数学是解决实际问题和进行交流的工具。
【教学重点】
三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念.
【教学难点】
三角形的外角.
【教学过程】
一、引入新课
在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题.
本章我们将学习三角形的基本性质.
二、 新知探究
1．三角形的概念：
(1)什么是三角形呢
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.如图：AB、BC、AC是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点.(如点A)三角形约顶点用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC.
A（顶点）
边
B C
(2)三角形的内角，外角的概念：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC.
每个三角形有几个内角
三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻.
A
外角
B C D
与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个 它们之间有什么关系
练习：(1)下图中有几个三角形 并把它们表示出来.
A
D
B C
(2)指出△ADC的三个内角、三条边.
学生回答后教师接着问：∠ADC能写成∠D吗 ∠ACD能写成∠C吗 为什么
(3)有人说CD是△ACD和△BCD的公共的边，对吗 AD是△ACD和△ABC的公共边，对吗
(4)∠BDC是△BCD的什么角 是△ACD的什么角 ∠BCD是△ACD的外角，对吗
(5)请你画出与△BCD的内角∠B相邻的外角.
2．三角形按角分类.
让学生观察以下三个三角形的内角，它们各有什么特点 并用量角器或三角板加以验证.
1 2 3
第一个三角形三个内角都是锐角；第二个三角形有一个内角是直角；第三个三角形有一个内角是钝角.
所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形.
三角形按角分类可分为：
锐角三角形(三个内角都是锐角)
直角三角形(有一个内角是直角)
钝角三角形(有一个内角是钝角)
3．等腰三角形、等边三角形的概念：让学生观察以下三个三角形，它们的边各有什么特点
1 2 3
经过观察，测量可知：第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等(AB＝AC)；第三个三角形的三边都相等.
(1)等腰三角形：两条边相等的三角形叫等腰三角形.
相等的两边叫做等腰三角形的腰，如上图(2)AB、AC是这个等腰三角形的腰.
(2)等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)
问：等边三角形是不是等腰三角形
[等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定都是等边三角形]
三角形按边来分，可分为：
三边都不相等的三角形
只有两边相等的三角形
等边三角形
三、知识梳理
l、三角形的概念，一个三角形有三个顶点，三条边，三个内角，六个外角，和三角形一个内角相邻的外角有2个，它们是对顶角，若一个顶点只取一个外角，那么只有3个外角.
2．三角形的分类：按角分为三类：①锐角三角形，②直角三角形，③钝角三角形.按边分为三类：①三边都不相等的三角形；②等腰三角形.
等边三角形只是等腰三角形中的一种特殊的三角形.
四、随堂练习
1、在△ABC中， ∠A＝40°，∠B＝∠C，则∠C＝ ．
2、如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是（ ）。
3、△ABC中，若∠A＝350,∠B＝650,则∠C＝ ；若∠A＝1200,∠B＝2∠C，则∠C＝ 。
4、三角形三个内角中, 最多有____个直角,最多有____个钝角,最多有____个锐角,至少有____个锐角。
5、三角形按角的不同分类，可分为________三角形，________三角形和________三角形。
6、一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是 三角形。
7、在△ABC中， ∠A－∠B＝36°，∠C＝2∠B，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ 。
8、在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形。
9、已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______.
10、已知△ABC为等腰三角形，①当它的两个边长分别为8 cm和3 cm时，它的周长为_____；②如果它的一边长为4cm，一边的长为6cm，则周长为_____.第9章 多边形
9.1.3三角形的三边关系
【教学目标】
知识与技能
引导学生通过猜想、实验、分析、比较、归纳等数学活动，亲历探索发现三角形三边关系的过程，理解掌握“三角形任意两边之和大于第三边”，
过程与方法
让学生在经历“猜想—实验—探究—发现—运用”的过程中，体验数学与生活密切联系，培养学生勤于思考、乐于探索的良好学习习惯以及有序、周密思考问题的思维品质。
情感态度与价值观
体验探索发现数学奥秘的成功愉悦，感悟数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。
通过学生的讨论，让学生进一步体会集体的作用，培养集体合作的精神。
【教学重点】
理解并掌握三角形三边的关系；
【教学难点】
学生实验活动操作误差的解释、处理，“三角形三边的关系”的拓展——三角形任意两边之差小于第三边。
【教学过程】
一、知识回顾
1．复习——铺垫
师：谁来说说什么是三角形？
（由三条线段围成的图形叫做三角形）。
师：“围成”的意思吗？（板书：围：首尾相连，封闭）
2．猜想——激疑
师出示3根小棒（不出示长度）：
师：猜一猜，这3根小棒能围成一个三角形吗？说说你是怎么想的？
学生发表自己的想法后，请两个学生到黑板亲自动手演示验证——这3根小棒不能围成一个三角形
师：你能简单说说这3根小棒为什么不能围成一个三角形？
师：想一想，3根小棒或3条线段能不能围成一个三角形，与什么有关？
师：这节课我们就一起来研究“三角形三边的关系”（板书课题）
【设计意图：让学生初步感知给定的3条线段能否围成一个三角形，与所给定的3条线段的长度有关，为学生进一步学习“三角形三边的关系”指明探索方向。】
二、新知探究
1．操作——感知
师：为了弄明白三角形三条边之间的关系，老师先让大家做一个实验：
课件出示：现有两根小棒，一根长3厘米，一根长6厘米，再配一根多长的小棒，就能围成一个三角形？
操作要求：
①分组：以4人为一小组，一人记录，两人用小棒搭建三角形，小组长负责指导；
②从1号学具袋中拿出操作材料（长5厘米和8厘米的两根小棒、实验结果记录表）；
③每次从2号学具袋中取出一根小棒，依次与1号学具袋中的两根小棒围一围，看看是否能围成一个三角形；
④把每次实验结果填写在实验记录表中。
学生分组实验，师巡视指导，适时捕捉学生实验过程中生成的有效资源。
2．反馈——交流
师：请各小组汇报、展示实验结果。
实验结果记录表（能围成三角形的画“√”，不能围成三角形的画“×”）
第一边长（厘米） 第二边长（厘米） 第三边长（厘米） 能否围成三角形
5 3 1
2
3
4
5
6
7
8
9
【设计意图：学生已经初步了解三条线段能否围成三角形与所给定的三条线段的长度有关，为了让学生获得更充分的感性认识，为此教师先给学生两根5厘米和3厘米的小棒，让学生通过动手操作得到——当第三根小棒是3、4、5、6、7厘米的时候能围成三角形,当第三根小棒是1、2、8、9、……厘米的时候不能围成三角形，从而为后面的探究活动提供充分的感性材料。】
3．探索——发现——建构
师：请大家把刚才实验的结果分成两类，怎么分？
生回答后师出示下表：
表一：不能围成三角形的。
表二：能围成三角形的。
（1）探究三根小棒不能围成三角形的原因。
①师：同学们通过动手实践，发现3厘米、5厘米和1厘米这3根小棒不能围三角形，咱们再来验证一下。
课件演示：当三根小棒分别是3厘米、5厘米和1厘米的时候，围不成三角形。
师：为什么围不成呢？你会用一个数学关系式表示出它们的关系吗？
引导学生得出：1＋3＜5，所以围不成，并填入表一。
②师：下面我们再来验证一下3厘米、5厘米和2厘米这组小棒。
课件演示：当三根小棒分别是3厘米、5厘米和2厘米的时候，也围不成三角形。
师：为什么围不成呢？你会用一个数学关系式表示出它们的关系吗？
引导学生得出：3＋2＝5，所以围不成，并填入表一。
③师：3厘米、5厘米和8厘米这组小棒也围不成三角形，课件演示后引导学生得出：3＋5＝8，所以围不成，并填入表一。
④师：3厘米、5厘米和9厘米这组小棒也围不成三角形，课件演示后引导学生得出：
3＋5＜9，所以围不成，并填入表一。
师：请大家认真观察表一，说一说什么样的3根小棒或3条线段不能围成三角形？
引导学生说出：两根小棒（线段）的长度的和小于或等于第三根小棒（线段），这样的3根小棒（线段）不能围成一个三角形。
（板书：两条线段之和≤第三条线段→不能围成三角形）
【设计意图：在学生通过实验操作，获得较丰富的感性认识的基础上，引导学生观察比较，并借助课件直观的演示和教师适时、适度的点拨，让学生自主发现不能围成三角形的原因。】
（2）探究三角形三边的关系。
①猜想：
师：两根小棒（线段）之和小于或者等于第三根小棒（线段），这样的三根小棒（线段）不能围成三角形。请同学们猜一猜，什么情况下三根小棒或三条线段一定能围成一个三角形？
生：两根小棒（线段）的和大于第三根小棒（线段）→能围成三角形
（生猜出“两根小棒（线段）的和大于第三根小棒（线段）→能围成三角形”后师板书：两边的和大于第三边→能围成三角形，同时，教师在旁边画上“？”）
②验证猜想：
师：你们的猜想对不对呢？请大家拿出表二，先用数学关系式表示能围成三角形的三根小棒的长度关系，看看谁能从中发现三角形三边的关系，并验证自己的猜想。
生小组讨论、验证，填写表二。
生分组汇报验证过程与结论。
③完善猜想：
质疑：同学们有没有发现（引导学生观察表一），咱们在动手操作的时候得出3厘米、5厘米和1厘米这3根小棒不能围成一个三角形，可是1＋5＞3呀，5＋2＞3呀（师把这两个式子填在表一中），这符合我们刚刚得出的结论啊？怎么回事呢？
下面先请大家把表一填写完整，再与表二比较，看看有什么新的发现？同桌可以互相讨论。
生讨论后汇报、交流，引导学生明确：给定的3条线段或3根小棒，不管哪两条线段（小棒）相加的和都比第三条线段（小棒）大，就能确定这3条线段或3根小棒一定能围成一个三角形。
进一步引导学生抽象出：三角形任意两边的和大于第三边。
师：谁能告诉老师，你是怎么理解“任意”的意思？
（三角形中不管哪两条边相加的和都比第三边大）
【设计意图：1＋5＞3，而1厘米、5厘米和3厘米这3根小棒却围不成三角形，给学生制造矛盾，引发思维冲突，引导学生自觉进行深入、周密的深层次思考，发现只通过一组“两条线段的和＞第三条线段”来判断给定的三条线段能否围成三角形是不全面的，进而明确“给定的3条线段，不管哪两条线段相加的和都比第三条线段大，这样的三条线段才能围成一个三角形”，这样学生对“任意”的理解也就水到渠成了。】
三、知识梳理
通过这节课的学习你有什么收获？还有哪些不明白的？
四、随堂练习
师：刚才大家通过实验、探索，发现了三角形三条边的关系。
1．独立完成课本P86第4题。
师：刚才同学们通过自己的探索，发现了“三角形任意两边的和一定大于第三边”这一数学规律，表现得非常棒，现在你能运用这个结论来判断给出的三条边能否围成一个三角形吗？
逐题出示：
（1） （2）
（3） （4）
生汇报，并说明判断的方法，然后课件演示验证。
师：你们都是这样判断的吗 有没有更快捷的方法呢 能说说为什么吗？
（生：我是先找出较短的两条边比较它们的与剩下的第三条边的大小，如果和大一些，能拼成三角形；如果和相等或小一些，则不能拼成三角形，因为较短的两条边之和如果大于第三条边，则说明任意一条较短的边与最长的一边之和肯定大于第三条边。）
师：是的，所以我们在判断三条边能否围成三角形时往往只要看较短的两条边的和能否大于三条边，这种方法既快又对。
2．生活中的数学
出示：
师： 通过刚才的练习，你们不仅掌握了判断某三条边能否围成一个三角形，并且还找出了最佳的判断方法，可见只要大家肯动脑筋，一定会取得令人满意的结论的。下面请同学们观察小明上学示意图，有几条路可以走？你会选哪条路？请说说你选择的依据？
3、拓展延伸
再次出示3根小棒（标明长度）：
师引导学生换掉其中一根（如把最短的换掉），看看换成多长的才能围成一个三角形，并进一步引导学生悟出其取值范围，从而深化对三角形三边关系的理解。
4分米
2.5分米
1分米
1
5
3
3
5
2
5
8
3
三根小棒
的长度关系
不能围成
三角形的
5
9
3
5
6
3
5
7
3
三角形三边
的长度关系
围成的三角形
3
5
3
3
5
4
5
5
3
7厘米
4厘米
3厘米
3厘米
5厘米
4厘米
5厘米
3厘米
3厘米
2厘米
6厘米
2厘米
4分米
1分米
2.5分米第9章 多边形
9.3.1用相同的正多边形铺设地面
【教学目标】
知识与能力
1、通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形内角和与外角和公式；
2、通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕同一顶点的几个多边形的内角相加等于3600。
过程与方法：
使学生进一步认识到图形在日常生活中的应用。
情感态度与价值观
培养学生独立思考的习惯，与合作交流的意识。
【教学重点】
通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键是什么。
【教学难点】
通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键是什么。
【教学过程】
一、知识回顾
1、什么叫正多边形？
2、多边形的内角和公式是什么？正n边形的内角怎么表示？外角和公式是什么？
二、情境导入
随着人们生活水平的提高，很多家庭都铺上了瓷砖，这在数学上是一门学问，叫做平面镶嵌。即用单一平面图形拼合在一起覆盖一个平面，而图形间没有空隙，也没有重叠。这种用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面无缝隙、又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。其实本章的开头已提出了瓷砖的铺设问题，今天我们进一步来探究用什么样的多边形能拼成一个既不留下空白，又不互相重叠的平面图形，即用什么样的正多边形可以完全镶嵌一个平面？
三、新知探究
（一）动手操作（小组合作，并讨论交流）
请每个学习小组围圈而坐，拿出各自准备好的各种正多边形纸片，并按照下列顺序进行操作：
①、只用正三角形，看能否完全镶嵌桌面？
②、只用正方形，看能否完全镶嵌桌面？
③、只用正五边形，看能否完全镶嵌桌面？
④、只用正六边形，看是否能完全镶嵌桌面？ ……
设问1：同学们通过亲手操作，发现哪些正多边形可以完全镶嵌桌面呢？
设问2：为什么有些正多边形可以镶嵌平面，而有一些却不能，问题的关键在哪儿呢？（围绕一点拼在一起的正多边形的内角相加恰好等于3600 。）
检查展示：可以让具有代表性的小组展示自己的作品
（二）通过计算验证哪些正多边形可以镶嵌平面？
根据上述设问2的答案，我们可以通过计算来判定哪些正多边形可以镶嵌平面，下面请大家动手计算（可以使用计算器），然后填写课本89页表格：
正多边形的边数 3 4 5 6 7 … n
正多边形内角和 …
每个内角的度数 …
能否镶嵌平面 能 能 不能 能 不能
得出结论 围绕同一顶点的几个多边形的内角相加等于3600
四、知识梳理
①．同一种正多边形能进行平面镶嵌的关键是什么？
②．对于任一种正多边形，如何判定它能否进行平面镶嵌？
五、随堂练习
1．课本习题
2．合作探究下列问题（为下一课时做准备）：能否用两种或两种以上的正多边形镶嵌？．你还能发现几种可以镶嵌的正多边形组合呢？并解释每种组合的理由。自己设计一个图案。第9章 正多边形
9.3.2用多种正多边形铺设地面
【教学目标】
知识与能力：
（1）、在实验探究的学习活动中，使学生掌握两种以上的正多边形能够铺满地面。
（2）、在探究的过程中，使学生理解正多边形能够铺满地面的道理。
过程与方法：
（1）、进一步提高学生观察、分析、概括、抽象等能力。
（2）、培养学生动手操作、自主探索、合作学习的能力。
情感态度与价值观：
（1）、通过观察、实验、归纳、推断等学习活动，使学生体验数学活动充满着探索性和创造性，进而培养学生学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心。
（2）、使学生体会到数学与现实生活的密切联系，认识到数学的应用价值。
【教学重点】
通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象能力。
【教学难点】
寻找用哪几种正多边形能铺满地板。
【教学过程】
一、知识回顾
1、在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中取一种，可以铺满地板的有哪些？在同种正多边形中，正三角形；正方形；正六边形可以铺满地板。
2、用同种正多边形瓷砖能不留空隙，不重叠地铺满地板的关键是什么？
围绕一点拼在一起的正多边形的内角之和为360
（模型：正多边形个数×正多边形内角度数=360 ）
叙述：为什么正五边形不能铺满地面？
（正五边形内角为108 ，360 不能整除108 ，所以用正五边形不能铺满地面）
二、新知探究
我们已经研究了用同种正多边形是可以铺满地面的，那么用多种正多边形是否也能铺满地面呢？
1、首先，研究两种正多边形的情况：
从准备的材料中任取两种正多边形进行组合，探讨是否也能铺满地面。
学生活动时适当指导，给予帮助。
提问：正五边形与正十边形围绕一点能拼成360 ，但能扩展到整个平面，即铺满地面吗？
理论验证：
举例：正方形与正三角形组合。
设有x个正方形，y个正三角形，则有
90 x + 60 y = 360 (x、y是正整数) ，则x = 2 , y = 3
学生分组实验探究，归纳总结。
1、哪些正多边形两两组合可以铺满地板？
_________________________________
2、铺满地板的关键是什么？
_________________________________
总结：正方形与正三角形；正六边形与正三角形；正十二边形与正三角形；正八边形与正方形
3、学生讨论、实验，判断正五边形与正十边形是否能扩展到整个平面。
结论：_________________________________
模型：正多边形1个数×正多边形1内角度数 +
正多边形2个数×正多边形2内角度数=360
学生理解运用：
用此种方法解释正六边形与正三角形组合。
（x 、y的解有多种，详细讨论）
2、研究三种正多边形的情况：
从准备的材料中任取三种正多边形进行组合，探讨有哪些组合能铺满地面。
学生分组实验探究，归纳总结。
1、哪三种正多边形组合可以铺满地板？
_________________________________
2、铺满地板的关键是什么？
_________________________________
总结：正六边形、正方形、正三角形；正十二边形、正方形、正六边形；正十二边形、正方形、正三角形
3、研究四种正多边形的情况：
小组讨论，给出理论依据
四种边数少的正多边形：正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们的内角和：
60 +90 +108 +120 =378 >360
故四种以上正多边形不能拼地板。
三、知识梳理
如果几个多边形的内角加在一起恰好能组成一个周角的话，它们就能够拼成一个平面图形。
注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成
周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面。如：正五边形与正十边形的组合。
四、随堂练习
除已归纳的几种组合外，还有哪些不同的组合方法？充分发挥你的聪明才智和丰富的想象力，设计一个多姿多彩的地板图案。第9章 多边形
9.2多边形的内角和与外角和
【教学目标】
知识与能力
掌握多边形内角和及外角和定理，进一步了解转化的数学思想。
过程与方法
经历质疑、猜想、归纳等活动发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．
情感、态度、价值观
通过本节的教学，应该使学生体会转化的数学思维方法，培养学生合作、表达等能力情感。认识到数学的价值。
【教学重点】
多边形内角和定理的探索和应用.
【教学难点】
多边形定义的理解；多边形内角和公式的推导；
【教学过程】
一、知识回顾
1、 多边形定义
师出示一个三角形，问：这是什么图形？它是怎样定义的？
生：三条线段首尾顺次连接而成的图形。
师：以次类推，你能告诉我什么样的图形叫做四边形？五边形？……n边形吗？
这些图形我们都叫做多边形。
2、 多边形记法
3、 凸多边形概念
师：屏幕上的这一类多边形我们称为凸多边形，还有一类如：
我们叫做凹多边形，不在我们今天的研究范围之内。
【这样设计不仅能激起学生的学习欲望，也向学生透露了这节课的教学重点】
二、探究新知
1、 确立研究范围
师：请大家观察这些多边形，结合我们已学过的三角形，大家认为有哪些部分值得我们研究？
生1：多边形的角。
生2：多边形的边。
师：那么今天我们不妨先来研究一下多边形的角。（出示课题：多边形的内角和与外角和）
2、 自主探究多边形的内角和
师：三角形的内角和是多少度？（180度）。那么请你猜测一下这个四边形的内角和是多少度？
生：360度。
师：你是根据什么猜测的？
生：连一条线。
师：怎样连？
生：连接BD。
师：这种线段我们叫做多边形的对角线，它是连接多边形不相邻的两个顶点的线段。那么又为什么要这样连呢？
生：这样四边形的内角和就分成了两个三角形的内角和。
师：很好！这位同学把多边形分割成已经学过的三角形来解决多边形的内角和问题，体现了一种很好的数学思想。【杨老师及时表扬表现优秀的学生，对正确的回答加以肯定，不仅调动学生的学习的积极性，同时也体现了对三维目标的落实】那么是不是对所有的多边形都适用呢？除此以外是否还有其他的分割三角形的方法呢？我们请各小组展开讨论，并完成表格。
附：表格
为了求得n边形的内角和，请试着用分割多边形为三角形的方法，完成表格：
3、 小组讨论，师巡视
4、 组代表发言，交流结果
生1：以多边形一个顶点出发分割三角形，如图：得到n边形的内角和是（n-2）×180度。
生2：看多边形的边数，发现规律：n边形的内角和是（n-2）×180度。
生3：我们组发现这样分割也行（注：以多边形内部一个点出发分割三角形）
这样n边形的内角和是(n×180-360)度。
师：这几组同学从不同的角度出发，给了几种求多边形内角和的方法，想法很好，都能运用创新思维把问题简单化。【 杨老师将问题的探究权完全还给了学生，充分体现课堂以学生为主，培养学生的合作探究能力，语言表达能力，逻辑思维能力，突出了我校实施的“三步骤 五环节”新课堂教学模式的核心，教学目标得到了进一步落实】那么除此以外，还有没有其他的分割方法？……
生4：从多边形的一边出发连线也行。如图：
师：此时n边形的内角和是[（n-1）×180-180]度。
（多媒体显示这几种分割方法后，师进一步归纳小结。）
师：虽然这几种表达方式形式上不同，但经过化简都可以表示成一种形式：（n-2）×180度，而且在分割时我们也应该注意分割出来的三角形必须是不重不漏！【小组讨论可以说是新教材框架中的一个重要部分，教师事先一定要有详细的计划。这也是本堂课暴露缺陷较多的环节。比如：小组内分工要明确，如谁记录，谁发言等等，避免某些小组成员流离于合作之外。教师还应精心策划：讨论如何有效地开展；时间多长；采取何种讨论方法；教师在讨论过程中又该担当何种角色等，这些问题还有待于杨老师在今后的教学过程中进一步完善，这也是我校多数教师存在的一个共性。】
5、 围绕n边形的内角和是（n-2）×180度这个知识点，学生进行编题练习。
生1：12边形与10边形的内角和之差是多少？
生：360度。
生2：一个多边形的内角和为900度，则这个多边形是几边形？
生：七边形。【学生编题时困难较大，好多学困生一时卡壳，教师束手无策，课堂短时进入僵局。出现这一现象是由于杨老师较多的着眼于课堂形式的多样化及学生能力（如：合作、探究、交流等）的培养，而忽视了教学中最重要的知识点的落实。学生练的机会不多，仅有编制习题解答这一部分，对学生来说要求较高。我认为在编题之前教师可先让学生解题，给学生搭好阶梯，教师设计练习时要遵循学生的认知规律，要循序渐进、层层深入，这样才能达到预期的目的】
6、探究多边形的外角和
师：七边形的内角和是900度，那么它的外角和是多少？为什么？
生1：1800度。因为在三角形中，外角和为360度，是内角和的2倍。
生2：360度。
师：与三角形比较没有变化？你是怎么考虑的？
生2：因为它有七个平角，是1260度，减去900度的内角，就是360度。
师：这样看来多边形的边数并没有影响它的外角和度数，这说明 n边形的外角和都为360度【杨老师有些总结性的话过急，这样能限制学生的思维，不能最大限度的发挥学生自主探究的能力】
师用钢笔演示：假设一小朋友在多边形的边界上绕圈子（如图），
每经过一个顶点，前进的方向就要改变一次，改变的角度恰好是这个顶点处的外角，绕了一圈，回到原处，方向与当初出发时一致了，角度的改变量之和当然是360°。【通过直观解释使学生便于理解，加深印象】
7、 用内外角和知识解决问题。
三、知识梳理
1、 上了这堂课后，你有何收获？
2、 上了这堂课后，你还有什么困惑？
注：此时，有一学生举手示意。
生：我又有了一种分割的方法（上来演示），叫做“波浪线”法。
师肯定了这种方法，同时强调分割出来三角形时必须是不重不漏。
四、随堂练习
（1）一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是 。
（2） 边形内角和是四边形内角和的2倍。
（3）已知多边形内角和等于1080 ，求它的边数。
（4）已知多边形每个内角都等于150°，求它的边数及内角和。
（5）一个多边形除了一个内角为130°外，其余各内角的 和为 2030°，求这个多边形的边数。
（6）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形？它的内角和是多少？
