第6章 一元一次方程
6.2.4解一元一次方程（3）
【教学目标】
知识与能力：
理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列一元一次方程解简单应用题。
过程与方法：
通过合作交流，共同探究中引导学生解决一元一次方程的实际问题、
情感态度与价值观：
通过联系实际问题，激发学生学习兴趣。
【教学重点】
弄清应用题题意列出方程。
【教学难点】
弄清应用题题意列出方程。
【教学过程】
一、知识回顾
1、 什么叫一元一次方程？
2、 解一元一次方程的理论根据是什么？
二、新知探究
探究一：
例1、如图6.2.4（课本第10页）天平的两个盘内分别盛有51克，45克食盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到月盘内，才能两盘所盛的盐的质量相等
先让学生思考，引导学生结合填表，体会解决实际问题，重在学会探索：已知量和未知量的关系，主要的等量关系，建立方程，转化为数学问题。
分析：设应从A盘内拿出盐x，可列表帮助分析。
等量关系；A盘现有盐＝B盘现有盐
完成后，可让学生反思，检验所求出的解是否合理。
(盘A现有盐为5l－3＝48，盘B现有盐为45+3＝48。)
培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。
探究二：
例2. 学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了400块，问初一同学有多少人参加了搬砖
引导学生弄清题意，疏理已知量和未知量：
1．题目中有哪些已知量
(1)参加搬砖的初一同学和其他年级同学共65名。
(2)初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块。
(3)初一和其他年级同学一共搬了400块。
2．求什么 初一同学有多少人参加搬砖
3．等量关系是什么 初一同学搬砖的块数十其他年级同学的搬砖数＝400
如果设初一同学有工人参加搬砖，那么由已知量(1)可得，其他年级同学有(65－x)人参加搬砖；再由已知量(2)和等量关系可列出方程
6x+8(65－x)＝400
也可以按照教科书上的列表法分析
三、知识梳理
本节课我们学习了用一元一次方程解答实际问题，列方程解应用题的关键在于抓住能表示问题含意的一个主要等量关系，对于这个等量关系中涉及的量，哪些是已知的，哪些是未知的，用字母表示适当的未知数(设元)，再将其余未知量用这个字母的代数式表示，最后根据等量关系，得到方程，解这个方程求得未知数的值，并检验是否合理。最后写出答案。
四、随堂练习
教科书第12页习题6.2.2第3、4、5、6题。第六章 一元一次方程
6.2.解一元一次方程
6.2.3解一元一次方程----去分母（2）
【教学目标】
知识与能力：
1、使学生掌握含有分数系数的一元一次方程的解法;
2、对解方程的步骤有整体的了解。
过程与方法：
1、通过去分母解方程,体会数学的“化归”的思想方法；
2、通过归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程的程序化思想方法。
情感态度与价值观：
培养学生自觉探索意识，让学生在解题中享受到成功的喜悦。
【教学重点】
用去分母的方法解一元一次方程
【教学难点】
能正确地运用去分母的方法解方程
【教学过程】
一、情境导入
前面学习了一元一次方程，现在有这样一个问题看同学们能不能解决。
问题（1）：一个数，它的三分之二，它的一半，它的四分之一，加起来共是17，这个数是多少？能不能用方程解决这个问题？
问题（2）：你能尝试解这个方程吗？ （引导学生自主学习，师生共同总结不同的解法。）
问题（3）：不同的解法有什么各自的特点？
直接用分数系数合并同类项
利用等式性质去分母
如果学生不能回答出第二种解法，教师可以引导学生回顾等式性质来帮助解决。
教师引导学生分析并对比两种解法，得到共识：当方程中含有分数系数时，先去分母可以使未知数的系数变为整数，从而解题更加方便、快捷.
教师引出本节课题：解一元一次方程—去分母
本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生能否体会到“去分母”的必要性；
（2）学生是否明确“去分母”的可行性；
二、新知探究
1、学生初步尝试，感受去分母的必要性。
例1 ：解方程
2、学生分小组进行讨论，派代表发言。
例2：解方程
提问（1）第一步要做什么 为什么要这样做
（2）怎样去分母,这有什么根据
（3）去分母后会出现怎样的需要注意的问题
（4）下面还有怎样的步骤 （学生独立完成）
3、师生共同总结：
为了去掉方程中的分母,第一步应该找到这三个分母的最小公倍数。最小公倍数是10;
方程的每一项都乘以10,这是根据等式的基本性质:等式的两边同时乘以或除以一个不为零的数,等式仍成立;
去掉分母后的分子如果是单项式的话应加括号;
接下来还有去括号,移项,合并同类型和系数化1
小结： 通过老师的示例和学生与老师共同的边做边答,不仅能让学生对去分母的方法有更深的印象;而且对解题过程中可能出现的问题也有了深刻的印象;并且理顺了学生解一元一次方程的步骤。
三、知识梳理
现在我们回想一下本节课都学到了哪些内容？
教师指板书共同复述：
去分母的方法：
依据：
解方程过程中需注意：
解方程一般步骤：（教师提醒：需要哪些步骤取决于方程）
最终化成的形式：
四、随堂练习
（1）梯度练习
1、选择题
一元一次方程去括号后得到（ ）
A 3x+5+1=2- 2x+1 B 2(3x+5 ) +1 =2- (2x+1 )
C 2(3x+5 ) +6 =12- 2x+1 D 2(3x+5 ) +6 =12- (2x+1 )
2、解下列一元一次方程
A
B 1+
C 当x等于什么数时，x-的值与7-的值相等？
（2）同学之间交流，找出问题，进行纠正。
（3）提问：
①通过解以上的方程,你能总结出解一元一次方程的步骤吗 你知道每种变形的依据吗
通过解以上的方程，你觉得那些环节是值得同学们需要注意的？
小结：在学生总结出解方程的一般步骤后,说明不同的方程有不同的解法,不能生搬硬套这个步骤。让学生感受学生解题要根据题目特点,选择适合的解题步骤。第六章 一元一次方程
6.2.1方程的简单变形
【教学目标】
知识与能力
1.理解并掌握方程的两个变形规则；
2.使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程；
3.运用方程的两个变形规则解简单的方程．
过程与方法
1.通过实验操作，经历并获得方程的两个变形过程；
2.通过对方程的两个变形和等式的性质的比较，感受新旧知识的联系和迁移；
3.体会移项法则：移项后要变号．
情感态度与价值观
激情参与，全力以赴，体验合作学习的快乐。
【教学重点】
掌握方程的两个变形规则；
【教学难点】
体会移项法则：移项后要变号．
【课前准备】
托盘天平，三个大砝码，几个小砝码．
【教学过程】
一、创设情境
同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．
小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量．
最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．
我们来做这样一个实验，测一个物体的质量（设它的质量为x）．首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量．
二、探究归纳
请同学来做这样一个实验，如何移动天平左右两盘内的砝码，测物体的质量．
实验1：如图(1)在天平的两边盘内同时取下2个小砝码，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量．
实验2：如图(2)在天平的两边盘内同时取下2个所测物体，天平依然平衡，所测物体的质量等于2个小砝码的质量．
实验3：如图(3)将天平两边盘内物体的质量同时缩少到原来的二分之一，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量．
上面的实验操作过程，反映了方程的变形过程，从这个变形过程，你发现了什么一般规律？
方程是这样变形的：
方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变．
方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变．
请同学们回忆等式的性质和方程的变形规律有何相同之处？并请思考为什么它们有相同之处？
通过实验操作，可求得物体的质量，同样通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解．
三、实践应用
例1 解下列方程．
(1)x－5 = 7； (2)4x = 3x－4．
分析：(1)利用方程的变形规律，在方程x－5 = 7的两边同时加上5，即x －5 + 5 = 7 + 5，可求得方程的解．
(2)利用方程的变形规律，在方程4x = 3x－4的两边同时减去3x，即4x－3x = 3x－3x－4,可求得方程的解．
即 x = 12．
即 x =－4 ．
像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项(transposition)．
注 (1)上面两小题方程变形中，均把含未知数x的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边．
(2)移项需变号，即：跃过等号，改变符号．
例2 解下列方程：
(1)－5x = 2； (2) ；
分析：(1)利用方程的变形规律，在方程－5x = 2的两边同除以－5，即－5x÷(－5)= 2÷(－5)(或)，也就是x =,可求得方程的解．
(2)利用方程的变形规律，在方程的两边同除以或同乘以，即(或)，可求得方程的解．
解 (1)方程两边都除以－5，得
x = ．
(2)方程两边都除以，得
x = ，
即x = ．
或解 方程两边同乘以，得
x = ．
注：1.上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为1” .
2.上面两个解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x = a的形式．
例3下面是方程x + 3 = 8的三种解法，请指出对与错，并说明为什么？
(1)x + 3 = 8 = x = 8－3 = 5；
(2)x + 3 = 8，移项得x = 8 + 3，所以x = 11；
(3)x + 3 = 8移项得x = 8－3 ， 所以x = 5．
解 (1)这种解法是错的．变形后新方程两边的值和原方程两边的值不相等，所以解方程时不能连等；
(2)这种解法也是错误的，移项要变号；
(3)这种解法是正确的．
四、知识梳理
本堂课我们通过实验得到了方程的变形规律：
(1)方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；
(2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变．
通过上面几例解方程我们得出解简单方程的一般步骤：
(1)移项：通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边；
(2)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数（或同乘以未知数系数的倒数），得到x = a 的形式．
必须牢记：移项要变号！
五、随堂练习
1.判断下列方程的解法对不对？如果不对，应怎样改正．
(1)9x = －4，得x = ；
(2)，得x = 1；
(3)，得x = 2；
(4)，得y =；
(5)3 + x = 5，得x = 5 + 3；
(6)3 = x－2，得x = －2－3 ．
2.（口答）求下列方程的解．
(1)x－6 = 6； (2)7x = 6x－4；
(3)－5x = 60； (4)．
3.下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？
(1)从7 + x = 13，得到x = 13 + 7；
(2)从5x = 4x + 8，得到5x - 4x = 8
4.用方程的变形解方程：44x + 64 = 328．第六章 一元一次方程
6.3.2实践与探索
【教学目标】
知识与能力
使学生理解用一元一次方程解工程问题的本质规律；通过对“工程问题”的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力。
过程与方法
使学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力。
情感态度与价值观
培养学生独立思考的习惯，与合作交流的意识。
【教学重点】
工程中的工作量、工作的效率和工作时间的关系。
【教学难点】
把全部工作量看作“1”。
【教学过程】
一、知识回顾
1．一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲独做I小时完成全
部工作量的多少
2．一件工作，如果甲单独做。小时完成，那么甲独做1小时，完成
全部工作量的多少
3．工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系
二、新知探究
让学生阅读教科书第19页中的问题6。
分析：1．这是一个关于工程问题的实际问题，在这个问题中，已经知道了什么 小刘提出什么问题
已知：制作一块广告牌，师傅单独完成需4天，徒弟单独做要6天。
小刘提出的问题是：两人合作需要几天完成
2．怎样用列方程解决这个问题 本题中的等量关系是什么
[等量关系是：师傅做的工作量+徒弟做的工作量＝1)
若设两人合作需要x天完成，那么甲、乙分别做了几天 甲、乙的工作效率是多少
本题中工作总量没有告诉，我们把它看成“1”，那么师傅每天完，徒弟每天完成，根据等量关系可得。
＋＝1
解得 x＝2.4(天)
3．你还能提出什么问题 试试看，并解答这些问题。
让学生充分思考，大胆提出问题，互相交流，对于合理的问题，让大家共同解答，对于不合理的问题，让大家探讨为什么不合理 应改为怎样提
4．李老师把两位同学的问题，合起来后，已知条件增加了什么 求什么
[“徒弟先做1天”，也就是说徒弟比师傅多做1天]
5．要解决本题提出的问题，应先求什么7
[先要求出师傅与徒弟各完成的工作量是多少 ]
两人的工效已知，因此要先求他们各自所做的天数，因此，设师傅做了x天，则徒弟做(x+1)天，根据等量关系，列方程
＋=1
解方程得 x＝2
师傅完成的工作量为= ，徒弟完成的工作量为=
所以他们两人完成的工作量相同，因此每人各得225元。
三、知识梳理
1.本节课主要分析了工作问题中工作量、工作效率和工作时间之
间的关系，即 工作量＝工作效率×工作时间
工作效率＝ 工作时间＝
2.解题时要全面审题，寻找全部工作，单独完成工作量和合作完成工作量的一个等量关系列方程。
四、随堂练习
一件工作，甲独做需30小时完成，由甲、乙合做需24小时完成，现
由甲独做10小时；
请你提出问题，并加以解答。
例如 (1)剩下的乙独做要几小时完成
(2)剩下的由甲、乙合作，还需多少小时完成
(3)乙又独做5小时，然后甲、乙合做，还需多少小时完成 第六章 一元一次方程
6.2.2解一元一次方程—去括号（1）
【教学目标】
知识与能力
1．了解一元一次方程的概念。
2．掌握含有括号的一元一次方程的解法。
过程与方法
通过观察、实验、交流、探究等数学活动来探究一元一次方程的解法。
情感态度与价值观
培养学生独立思考的习惯，与合作交流的意识。
【教学重点】
解含有括号的一元一次方程的解法。
【教学难点】
括号前面是负号时，去括号时忘记变号。
【教学过程】
一、知识回顾
1．解下列方程：
(1)5x－2＝8 (2)5+2x＝4x
2．去括号法则是什么 “移项”要注意什么
二、新知探究
探究一：
一元一次方程的概念
前面我们遇到的一些方程，例如44x+64＝328 3+x＝(45+x) y－5＝2y+l 问：大家观察这些方程，它们有什么共同特征
(提示：观察未知数的个数和未知数的次数。)
只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是l，这样的方程叫做一元一次方程。
例1．判断下列哪些是一元一次方程
x＝3x－2 x－3＝－l
5x2－3x+1＝0 2x+y＝l－3y＝5
探究二：
下面我们再一起来解几个一元一次方程。
例2．解方程 (1) －2(x－1)＝4
(2) 3(x－2)+1＝x－(2x－1)
方程(1)该怎样解 由学生独立探索解法，并互相交流
此方程既可以先去括号求解，也可以看作关于(x－1)的一元一次方程进行求解。
第(2)题可由学生自己完成后讲评，讲评时，强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内的每一项，若括号前面是“－”号，注意去掉括号，要改变括号内的每一项的符号。
补充例题：解方程3x－[3(x+1)－(1+4)]＝l
方程中有多重括号，你会解这个方程吗
说明：方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。
三、知识梳理
本节课我们学习了一元一次方程的概念，并学习了含有括号的一元一次方程的解法。用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，并且不要搞错符号。
四、随堂练习
（一）选择题
1.方程4（2-x）-4（x+1）=60的解是（ ）
(A)7. (B) . (C) -. (D)-7.`
2.下列方程的解法中，去括号正确的是（ ）
(A) ，则.
(B)，则.
(C)，则.
(D)，则.
3.解方程时，去分母后，正确的结果是（ ）
(A). (B).
(C). (D).
（二）填空题
1.当x=______时，代数式与的值相等.
2.当a=______时，方程的解等于.
3.已知是方程的解，那么关于x的方程的解是__________.
（三）解方程
1. (x+1)-2(x-1)=1-3x
2．2(x-2)-6(x-1)=3(1-x)第六章 一元一次方程
6.3.1实践与探索
【教学目标】
知识与能力：
让学生通过独立思考，积极探索，从而发现；围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”同时根据计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变化，且长方形的长与宽越接近时，面积越大。
过程与方法：
通过实验操作，经历并获得实际问题的解决思路。感受知识的联系和迁移，让学生初步体会数形结合思想的作用。
情感态度与价值观：
激情参与，全力以赴，体验合作学习的快乐。
【教学重点】
通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题
【教学难点】
找出“等量关系”列出方程。
【教学过程】
一、知识回顾
1．列一元一次方程解应用题的步骤是什么
2．长方形的周长公式、面积公式。
二、新知探究
问题1．用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。
(1)使长方形的宽是长的专，求这个长方形的长和宽。
(2)使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积。
(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗
让学生独立探索解法，并互相交流。第(1)小题一般能由学生独立或合作完成，教师也可提示：与几何图形有关的实际问题，可画出图形，在图上标注相关量的代数式，借助直观形象有助于分析和发现数量关系。
分析：由题意知，长方形的周长始终不变，长与宽的和为60÷2＝30(厘米)，解决这个问题时，要抓住这个等量关系。
第(2)小题的设元，可让学生尝试、讨论，对学生所得到的结论都应给予鼓励，在讨论交流的基础上，使学生知道，不是每道应用题都是直接设元，要认真分析题意，找出能表示整个题意的等量关系，再根据这个等量关系，确定如何设未知数。
(3)当长方形的长为18厘米，宽为12厘米时
长方形的面积＝18×12＝216(平方厘米)
当长方形的长为17厘米，宽为13厘米时
长方形的面积＝221(平方厘米)
∴(1)中的长方形面积比(2)中的长方形面积小。
问：(1)、(2)中的长方形的长、宽是怎样变化的 你发现了什么 如果把(2)中的宽比长少“4厘米”改为3厘米、2厘米、1厘米、0.5厘米长方形的面积有什么变化 猜想宽比长少多少时，长方形的面积最大呢 并加以验证。
通过计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也发生变
化，并且长和宽的差越小，长方形的面积越大，当长和宽相等，即成正方形时面积最大。
实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。
三、知识梳理
本节课同学们认真思考，积极探索，通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会到运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，有些等量关系是隐藏的，不明显，同学们要联系实际，积极探索，找出等量关系。
四、随堂练习
教科书第16页练习1、2。
第l题，组织学生讨论，寻找本题的“等量关系”。
用一块橡皮泥捏出的各种形状的物体，它的体积是不变的。因此等量关系是：圆柱的体积＝长方体的体积。
第2题，先让学生根据生活经验，开展讨论，解这道题的关键是什么 题中的等量关系是什么
通过思考，使学生明确要解决“能否完全装下”这个问题，实质是比较这两个容器的容积大小，因此只要分别计算这两个容器的容积，结果发现装不下，接着研究第2个问题，“那么瓶内水面还有多高”呢 如果设瓶内水面还有x厘米高，那么这里的等量关系是什么
等量关系是：玻璃杯中的水的体积十瓶内剩下的水的体积＝原来整瓶水的体积。从而列出方程第六章 一元一次方程
6.1 从实际问题到方程
【教学目标】
知识与能力
掌握如何设未知。
掌握如何找等式来列方程。
3．了解尝试、代入法寻找方程的解。
过程与方法
经历观察、分析、探究，归纳等过程，以及与他人合作交流的过程，培养学生的主体意识，渗透转化的数学思想
情感、态度、价值观
通过本节的教学，应该使学生体会到数学与实际生活的密切联系，认识到数学的价值。
【重点难点】
重点：1、确定所有的已知量和确定“谁”是未知数x；2、列方程。
难点：1、找出问题中的相等关系。2、使用数学符号来表示相等关系。
【教学过程】
【情景导入】
1．引言：新的学期开始了，我希望大家能更好地学习数学。下面将课本翻到第一页，请看上面的问题，这个问题你们谁能解决
【新知探究】
问题1：
某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？
分析讲解：根据小学所学的列方程，按照问题问“什么”就设这个“什么”为未知数x的方法来解决这个问题。设需租用客车x辆，则客车可以乘坐44x人，加上校车上的64人，就是328人。列方程为：
44x＋64=328
设问：你们谁会解这个方程？请大家自己试一试。
问题2：
在课外活动中，张老师发现同学们的年龄基本上都是13岁。就问同学们“我今年45岁，经过几年你们的年龄正好是我年龄的三分之一？”
提问一些学生找到的相等关系是什么？
要求学生根据相等关系列方程。
设x年后同学的年龄是张老师年龄的三分之一，x年后同学的年龄是(x+13)岁，张老师的年龄是（x+45）岁。列方程为：
X+13=（x+45）
现在我们已经学会了列方程，一般按照“设未知数-找相等关系-列出方程”的步骤进行。下面我们要学习的是如何求出方程的未知数x，相信很多同学关心这个问题。试着输入x＝1，2，3"…代入方程的左右两边，看看哪个数能
让方程左右两边相等，从而找出方程的解x=3。
我们需要更好的解方程的方法，这将在下一节课中讲到。第2节就是告诉我们如何解一元一次方程。学们课后可以好好预习。
【知识梳理】
本节主要是学习分析问题列方程的三个步骤：
1、 确定未知量；
2、 找相等关系；
3、 列方程。
还学习了通过尝试、代入寻找方程的解。这是一个很重要的思想和方法，要记住如何尝试以及如何代入。
【随堂练习】
1.辨别是非
（1）x=2是方程x-10=-4的解-----------------（ ）
（2）x=1与x=-1都是方程x2-1=0的解-------（ ）
（3）方程12(x-3)-1=2x+3的解是x=-4------ （ ）
2.设某数为x,根据下列条件列方程：
（1）某数的７倍比它本身大５；
（2）某数的一半与５的差等于１；
（３）某数增到３倍后再减去６，得８；
（４）某数与３的和的一半，比它的２倍与４的差的三分之一小５．
3．当ｘ＝３时，代数式ａ（１－ｘ）－１２的值是２４，则ａ＝＿＿＿．
4．若关于ｘ的方程mx-2=97的解是最大的两位数，则ｍ＝＿＿＿＿．
5.选择题
（1）在植树活动中，一年级一班有树苗80棵，一年级二班有48棵，要使两个班级的树苗一样多，需从一班调到二班的树苗x棵。则可列方程正确的是（ ）
A.80+X=48-X B.80-X=48+X
C.80-X=48 D.48+X=80
【板书设计】
从实际问题到方程如何确定未知量x；问题问什么，就设什么为未知数x。一定要根据相等关系列方程尝试法、代入法是很重要的数学方法。
