2024-2025学年江苏省无锡市宜兴市宜城中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市宜兴市宜城中学九年级（上）月考
数学试卷（12月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列一元二次方程中，无实数根的是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
3.二次函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4.如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为( )
A. B.
C. D.
5.圆锥的高是，母线长是，则圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
6.已知二次函数，则下列说法错误的是( )
A. 图象与轴的交点坐标是 B. 图象的顶点坐标是
C. 图象与轴的交点坐标是， D. 当时，随增大而减小
7.如图，，，，为上一点，且，在上取一点，使以、、为顶点的三角形与相似，则等于( )
A. B.
C. 或 D. 以上答案都不对
8.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，把扩大到原来的倍，则点的对应点的坐标为( )
A.
B. 或
C. 或
D. ，
9.如图，点为扇形的弧上一个动点，连接、，若，，则阴影部分面积的最小值为( )
A. B.
C. D.
10.二次函数的图象如图所示下列结论：
；
；
方程有两个不相等的实数根；
不等式的解集是．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.关于的一元二次方程有一个根是，写出一个符合条件的一元二次方程______．
12.周髀算经中记载了“偃矩以望高”的方法“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点测得，，，则树高 ______
13.如图，是的直径，弦，垂足为点，，则 ______．
14.年月日上午，举世瞩目的中共二十大召开．非凡十年、沧桑巨变．我国人均从约万元增加到万元新华网假如每一个年里人均增长率不变，则这个人均增长率约为多少？答：______．
15.如图，在平行四边形中，点在边上，：：，连接交于点，则的面积与的面积之比为______．
16.把二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件： ．
17.如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点．当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是______．
18.如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，，二次函数是常数的图象的顶点在线段上，则的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解下列方程：
；
．
20.本小题分
已知关于的方程：．
若该方程有一个根是，求该方程的另一个根；
证明：无论取何值，该方程总有实数根．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
若的外接圆的圆心为，则圆心的坐标为______，的半径为______；
的外接圆与轴的另一个交点坐标是______；
中所对的圆周角是______度，的长度______．
22.本小题分
如图，二次函数图象顶点坐标为，与轴一个交点坐标为．
该函数图象与轴的另一个交点坐标为______；
求这个二次函数的表达式；
当时，的取值范围为______．
23.本小题分
如图，在 中，点在上，．
求证：∽；
若，，求的长．
24.本小题分
如图，在中以为直径作圆，圆心为，交于点，连接，延长至，连接已知，．
求证：是的切线；
若，，求的长度．
25.本小题分
如图，已知，．
请在图中用无刻度的直尺和圆规作图；
在上求作点，使以为圆心的圆经过，两点；
若交于，求作点，使为劣弧的中点不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母
在的条件下，连接交于点，若，，则 ______．
26.本小题分
请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景 某民族服装厂安排名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装件，或“雅”服装件，或“正”服装件．
要求全厂每天加工“雅”服装至少件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
“风”服装：元件；
“正”服装：元件；
“雅”服装：当每天加工件时，每件获利元；如果每天多加工件，那么平均每件获利将减少元．
信息整理 现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数人每人每天加工量件平均每件获利元风雅正
探究任务 任务 探寻变量关系 求、之间的数量关系．
任务 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式．
任务 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
27.本小题分
如图，已知矩形中，是边上一点，将沿折叠得到，连接．
如图，落在直线上时，求证∽；
如图，当时，与边相交时，在上取一点，使，与交于点，
求的值；
当是的中点时，若，求的长．
28.本小题分
已知二次函数图象与轴交于点，与轴交于点、点在点的左侧点是该图象位于第一象限上的一动点．
求该二次函数的表达式；
过点作轴，交于点，
当点在何处时，的值最大，最大值是多少？
若中恰有一个角与相等，求此时点的横坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.答案不唯一
12.
13.
14.这个人均增长率约为
15.：
16.
17.
18.
19.解：，
，
，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，．
20.解：把代入方程：，
得：．
解得：．
由根与系数的关系得，即，
所以；
证明：当即时，该方程是，此时，符合题意．
当，时，，该方程总有实数根．
综上所述，无论取何值，该方程总有实数根．
21.（1）
（2）
（3）或
22.
23.证明： 中，
，
又，
∽；
解：∽，
，
，
．
又，
．
24.证明：，．
，
，
，
，
为直径，
是的切线；
解：为直径，，
，
，，
，
，．
∽，
，即，
，
，
连接，
为直径，
，
，
．
25.
26.解：任务：根据题意安排名工人加工一批夏季服装，
安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，
加工“正”服装的有人，
“正”服装总件数和“风”服装相等，
，
整理得：；
任务：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，
，
整理得：，
，
任务：由任务得，
当时，获得最大利润，
，
，
开口向下，
取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
，
综上：安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
27.证明：延长交于点．
，关于对称，
，
四边形是矩形，
，
，
，
∽；
解：如图，延长交于点，
由折叠可知垂直平分，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
又，，
∽，
；
如图，延长交于点，连接，
是的中点，
，
由折叠可知，，
，
，，
又，
，
，即，
由知∽，
，，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，
由折叠得：垂直平分，
，，
，
，
在中，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
即，
，
，
即．
28.解：把、代入得：
，
解得，
；
由、得直线解析式为，
设，则，
，
，
当是，取最大值，最大值为，
此时，
为时，的最大值为；
Ⅰ当时，如图：
轴，
在中，令得：
，
解得或，
；
Ⅱ当时，过作于，如图：
设，
，，
，，，
，
，
解得增根已舍去，
，
Ⅲ，而，
；
综上所述，中恰有一个角与相等，点的横坐标为或．
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