专题16 解二元一次方程组
【典例1】组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解答的关键．
（1）利用加减消元法组即可；
（2）利用代入消元法组即可；
（3）先去分母整理方程组，再利用加减消元法求解即可；
（4）先去分母整理方程组，再利用代入消元法求解即可．
【解题过程】
（1）解：，
得：，则，
将代入②中，得，
∴方程组的解为；
（2）解：
由①得，
代入②中，得，则，
将代入中，得，
∴方程组的解为；
（3）解：整理方程组，得，
得，则，
将代入②，得，
∴方程组的解为；
（4）解：整理方程组，得，
将①代入②中，得，则，
将代入①中，得，
∴方程组的解为．
1．（23+24八年级上·宁夏银川·期中）组：
（1）
（2）
【思路点拨】
本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程点的解法是解题的关键．
（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解题过程】
（1）解：
将①代入②得：
，
解得：，
将代入②得：
，
解得：，
原方程组的解为．
（2）解：
得：
，
解得：，
把代入①得，
，
解得：，
所以方程组的解为．
2．（24+25八年级上·广东深圳·期中）解二元一次方程方程组：
（1）；
（2）
【思路点拨】
此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法：加减消元法和代入消元法．
（1）方程组由得，，再求解即可；
（2）方程组由得：解得，，再求解即可．
【解题过程】
（1）解： ，
得，，
把代入①得，，
解得，，
∴方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得，，
把代入①得，，
解得，，
所以，方程组的解为．
3．（23+24七年级下·辽宁盘锦·期末）组：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解题过程】
（1）解：，
将②代入①，得：
，
解得，
把代入②，得．
所以这个方程组的解是；
（2）解：，
，得③，
，得，
把代入②，得：
，
解得，，
所以这个方程组的解为．
4．（24+25八年级上·山东济南·阶段练习）组：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可．
【解题过程】
（1）解：
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：
整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
5．（24+25八年级上·陕西西安·期中）组：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的常用方法：代入法和加减法是解题的关键．
（1）用代入法求解即可，
（2）先化简，再用加减法求解即可．
【解题过程】
（1）解：，
将②式代入①式，得③，
解得，
将代入②式，得，
∴原方程组的解为
（2）解：，
将②去分母，得，
化简，得③，
③－①，得，
解得，
③－①，得，
解得，
∴原方程组的解为．
6．（23+24八年级上·四川达州·期末）组：
（1）
（2）
【思路点拨】
（1）方程组利用加减消元法求出解即可．
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【解题过程】
（1）解：
，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴；
（2）解：
得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为．
7．（24+25八年级上·重庆·期中）组：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查了解二元一次方程组．
（1）利用加减消元法进行计算，即可解答；
（2）将原方程组进行整理化简可得：，然后利用代入消元法进行计算，即可解答．
【解题过程】
（1）解：，
②2得：③，
②3得：④，
③④得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：将原方程组进行整理化简可得：，
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴原方程组的解为：．
8．（23+24七年级下·全国·单元测试）组：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元的思想方法是解题关键．
（1）利用加减消元法即可解决；
（2）先将原式化为整式后利用加减消元即可．
【解题过程】
（1）解：，
，得，
解得，
把代入，得，
故原方程组的解为；
（2）解：原方程组整理，得，
，得，
解得，
把代入，得，
故原方程组的解为．
9．（2024·广东·模拟预测）组：
（1）
（2）
【思路点拨】
本题考查了解二元一次方程组．
（1）利用加减消元法进行计算即可；
（2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得．
【解题过程】
（1）解：，
，，
解得，
把代入①，，
解得，
∴原方程组的解是；
（2）解：，
化简方程组可得，，
得，，
解得，
将代入②，得，
∴方程组的解为．
10．（23+24七年级下·甘肃平凉·期中）组：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查了解二元一次方程，熟练掌握加减消元法以及代入消元法解二元一次方程是解此题的关键．
（1）利用代入消元法解二元一次方程即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程即可．
【解题过程】
（1）解：
将①代入②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
；
（2）解：
整理得：
②①得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
．
11．（24+25八年级上·山东济南·期中）组：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法组是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法．
（1）运用加减消元法解出的值，再代入解出的值，即可作答；
（2）先去分母，再运用代入消元法解出的值，即可作答．
【解题过程】
（1）解：因为，
所以，得，解得
把代入①，得，解得，
所以方程组的解为；
（2）解：因为
所以整理①得，即
所以整理②得，
把代入，
得，
解得，
把代入，
解得，
所以方程组的解为．
12．（23+24七年级下·全国·单元测试）组
（1）
（2）
【思路点拨】
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：
（1）原方程组化简后，再利用加减消元法求解即可；
（2）原方程组化简后，再利用加减消元法求解即可．
【解题过程】
（1）解∶原方程组化简为，
，得，
把代入①，得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解∶原方程组化简为，
，得，
∴，
把代入①，得，
解得，
∴方程组的解为．
13．（23+24七年级下·山东济宁·阶段练习）组：
（1）
（2）
【思路点拨】
本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握相关运算方法是解答本题的关键．
（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）整理方程组再利用加减消元法进行求解即可．
【解题过程】
（1）解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
不等式组的解集为：；
（2），
方程组整理得：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
不等式组的解集为：．
14．（23+24七年级下·山东聊城·期末）组
（1）
（2）
【思路点拨】
本题考查解二元一次方程组，（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先化简，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解题过程】
（1）解：，
由得，，
解得，
把代入②得，，
解得，
∴是原方程的解；
（2）解：，
化简得，，
由得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴是原方程的解．
15．（23+24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）组：
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路点拨】
本题考查了解二元一次方程组；
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可；
（3）设，则原方程组化为，再利用加减消元法求解即可；
（4）利用加减消元法求解即可．
【解题过程】
（1）解：
得
解得：，
将代入②得，
解得：
∴方程组的解为：
（2）解：
由①得，
得，
解得：
将代入②得，
解得：，
∴方程组的解为：
（3）解：
设，则原方程组化为
得
将代入①得，
解得：
∴
得，
得
∴方程组的解为：
（4）解：
得，
解得：，
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为：
16．（23+24七年级下·广西贵港·期末）组：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【解题过程】
（1）解：得：，③
得④，
得：，
，
把代入②得：，
，
所以方程组的解为．
（2）解：由①得：③ ，
由②得：，
，
④ ，
将④代入③，得：，
，
，
把代入，得，
所以方程组的解为．
17．（23+24七年级下·河南漯河·期中）组：
（1）
（2）
【思路点拨】
本题主要考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（1）由得的值，将的值代入①中得的值，即可解题；
（2）原方程组整理为，由得的值，将的值代入①中得的值，即可解题．
【解题过程】
（1）解：，
由得：，
解得，
将代入①中得，
，
方程组的解为；
（2）解：由整理得，
由得：，
将代入①中得，，
解得，
方程组的解为．
18．（2024七年级下·天津·专题练习）组：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
（1）第一个方程乘，再用加减消元法即可消去得出的值，再代入原方程组即可求出答案；
（2）先对方程组进行去分母，化简后再用加减消元法进行计算求解；
本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解法及步骤是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：；
得；，
得：，
将代入得：，
∴方程组的解为；
（2）可化为；
得：，
解得：，
将代入得：，
∴方程组的解为．
19．（23+24七年级下·重庆沙坪坝·期中）组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
（1）利用加减法解答即可求解；
（2）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解；
（3）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解；
（4）先整理方程组，再利用加减法解答即可求解；
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：，
得，，
∴，
把代入②得，，
∴，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组整理得，
得，，
把代入②得，，
∴，
∴方程组的解为；
得，解得，
将代入②，得，解得，
解得，
即，
解得；
（2）解：，
设，
则原方程组可化为，
得，解得，
将代入②，得，解得，
解得，
即，
解得．
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【典例1】组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解答的关键．
（1）利用加减消元法组即可；
（2）利用代入消元法组即可；
（3）先去分母整理方程组，再利用加减消元法求解即可；
（4）先去分母整理方程组，再利用代入消元法求解即可．
【解题过程】
（1）解：，
得：，则，
将代入②中，得，
∴方程组的解为；
（2）解：
由①得，
代入②中，得，则，
将代入中，得，
∴方程组的解为；
（3）解：整理方程组，得，
得，则，
将代入②，得，
∴方程组的解为；
（4）解：整理方程组，得，
将①代入②中，得，则，
将代入①中，得，
∴方程组的解为．
1．（23+24八年级上·宁夏银川·期中）组：
（1）
（2）
2．（24+25八年级上·广东深圳·期中）解二元一次方程方程组：
（1）；
（2）
3．（23+24七年级下·辽宁盘锦·期末）组：
（1）；
（2）．
4．（24+25八年级上·山东济南·阶段练习）组：
（1）；
（2）．
5．（24+25八年级上·陕西西安·期中）组：
（1）；
（2）．
6．（23+24八年级上·四川达州·期末）组：
（1）
（2）
7．（24+25八年级上·重庆·期中）组：
（1）；
（2）．
8．（23+24七年级下·全国·单元测试）组：
（1）；
（2）．
9．（2024·广东·模拟预测）组：
（1）
（2）
10．（23+24七年级下·甘肃平凉·期中）组：
（1）；
（2）．
11．（24+25八年级上·山东济南·期中）组：
（1）；
（2）．
12．（23+24七年级下·全国·单元测试）组：
（1）
（2）
13．（23+24七年级下·山东济宁·阶段练习）组：
（1）
（2）
18．（2024七年级下·天津·专题练习）组：
（1）；
（2）．
19．（23+24七年级下·重庆沙坪坝·期中）组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组：
（1）；
（2）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
