3.4 第2课时 圆周角定理的推论2，3课件(共33张PPT) 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

(共33张PPT)
北师版·九年级下册
第2课时 圆周角定理的推论2，3
问题 1 什么是圆周角？
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
●O
B
A
C
D
E
问题 2 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .
即 ∠ABC = ∠AOC.
一半
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
O
复习导入
求图中角x的度数
·
A
O
B
70°
x
x =_____
C
·
O
A
B
C
D
120°
x
x =_____
35°
120°
圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
复习导入
求图中角x的度数
复习导入
求图中角x的度数
·
A
O
B
60°
x
x =_____
C
·
O
A
B
C
D
20°
x
x =_____
D
60°
E
F
30°
50°
复习导入
求图中角x的度数
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.
探究新知
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
·
O
A
B
C
解：（猜想）直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°.
证明：∵BC为直径，
∴∠BOC＝180°，
∴
如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
解：弦 BC 是直径.
连接 OC、OB，
注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.
∴ BC 是⊙O 的一条直径.
∴ B、O、C 三点在同一直线上.
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝180°.
∵圆周角∠A＝90°，
A
B
O
C
归纳总结
∵ BC 为直径，
∴∠BAC = 90°.
几何语句：
∵∠BAC = 90°，
∴ BC 为直径 .
几何语句：
推论 直径所对的圆周角是直角.
A
B
O
C
A
B
O
C
推论 90° 的圆周角所对的弦是直径.
AB 为直径
∠ADB = 90°
1. 如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径和弦，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数.
∠ACD = 25°
∠B = 25°
∠BAD
= 90°-∠B
= 65°
链接中考
解：∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°.
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°，
∴∠B = 25°.
∴∠BAD = 90°-∠B = 65°.
1. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD 是 ⊙O 的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.
故选 C.
C
A
B
O
C
练一练
(1) 如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？
2
圆内接四边形及其性质
A
B
O
C
D
解：∠BAD 与∠BCD 互补.
∴∠BAD 与∠BCD 互补.
∴∠BAD +∠BCD = 180°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD = 360°，
∵AC 为直径，
∴∠ABC = 90°，∠ADC = 90°.
(2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
A
B
O
C
D
解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立.
∴∠BAD 与∠BCD 互补.
∴∠BAD +∠BCD = 180°.
∵∠1 +∠2 = 360°，
连接 OB，OD，
则
1
2
·
O
D
B
C
A
·
O
D
B
C
A
这两个四边形ABCD有什么共同的特点？
归纳总结
四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
归纳总结
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
推论 圆内接四边形的对角互补.
根据以上讨论你能发现什么结论？
几何语句：
∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD = 180°
（圆内接四边形的对角互补）.
想一想
如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？
·
O
D
B
C
A
E
解：∠A =∠DCE
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD = 180°.
∵∠BCD+∠DCE = 180°，
∴∠A =∠DCE.
链接中考
2.如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ，则 ∠BOD 的度数为 ( )
A. 138°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
C
随堂练习
1. 小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
2. 如图，⊙O的直径AB =10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长.
·
O
B
C
A
解：∵AB为直径，
∴∠BCA = 90°.
在Rt△ABC中，
∠ABC=30°，AB=10，
∴ .
3. 在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4∶5，求∠C的度数.
·
O
D
B
C
A
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C = 180°.
∵∠A∶∠C = 4∶5，
∴ .
即∠C的度数为100°.
基础练习
1. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数.
解：连接 BC.
∵AB 是 ⊙O 直径，
∴∠ACB = 90°.
∴∠B = ∠D = 26°.
∴∠CAB = 90° - 26° = 64°.
3. 如图，四边形 ABCD 内接⊙O ，
∠ABC = 135°，AC = 4，则⊙O 的半径为( )
A. 4 B.
C. D.
2. 如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ，∠DAC = 25°，
求∠BAC 的度数 ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 50°
C
B
4. 如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论.
能力提升
解：△BDE 为等腰直角三角形.
证明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC.
∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC.
∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE，
∠DBE =∠DBC +∠CBE，
∴ ∠BED =∠DBE.
∴ BD = ED.
∵ AB 为直径，
∴ ∠ADB = 90°.
∴ △BDE 是等腰直角三角形.
圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
课后作业
P83-84
1、2、3、4
【教材P83 第1题】
知识技能
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数.
解：在⊙O中，∵∠BOD=80°，
∴ （圆周角定理）.
又∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
【教材P84 第2题】
解：如图所示，连接BD.
∵∠ACD=∠ABD,∠ACD=15°
∴∠ABD=15°.
又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.
在Rt△ADB中，
∠BAD=90°-∠ABD=90°-15°=75°.
3.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F，且∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数.
【教材P84 第3题】
解：如图所示，∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∠1=∠2=∠A，
∴∠EDC+∠CBF=180°-∠ADC+180°-∠ABC
=360°-180°=180°
∴∠E+∠1+∠2+∠F=180°，
∴2∠A+∠E+∠F=180°.
又∵∠E=40°，∠F=60°，∴2∠A=80°,∠A=40°.
4.如图，⊙O1与⊙O2都经过A,B两点，且点O2在⊙O1上.点C是
上的一点（点C不与A，B重合)，AC的延长线交⊙O2于点P，连接
AB，BC，BP.
(1)根据题意将图形补充完整;
(2）当点C在 上运动时，
图中大小不变的角有哪些
（将符合要求的角都写出来）
【教材P84 第4题】
数学理解
解:(1)由题意可画图.
(2)大小不变的角有
∠APB, ∠ ACB,
∠ BCP, ∠ CBP共四个.