(共21张PPT)
突破1 圆锥曲线中的最值、范围问题
考点一 构造不等式求最值、范围
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设斜率为k(k≠0)的直线l过点F,交椭圆C于A,B两点,记线段AB的中点为N,直线ON交直线x=3于点M,直线MF交椭圆C于P,Q两点,求∠MFA的大小,并求四边形APBQ面积的最小值.
[对点训练1]双曲线C: (a>0,b>0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B,D两点,且△ABD是直角三角形.
(1)求双曲线C的方程;
(2)M,N是双曲线C右支上的两动点,设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2,求点A到直线MN的距离d的取值范围.
即y1y2+2(x1+1)(x2+1)=0,
即y1y2+2(my1+n+1)(my2+n+1)=0,
整理得(2m2+1)y1y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0,代入根与系数的关系得,3(n2-1)(2m2+1)-12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2-1)=0,化简得n2-4n-5=0,解得n=5或n=-1(不满足题目条件,舍去),则直线MN的方程为x-my-5=0,得
考点二 构造函数求最值、范围
例2(2024浙江金华模拟)在直角坐标系xOy中,圆Γ的圆心P在y轴上(P不与O重合),且与双曲线Ω: (a>0,b>0)的右支交于A,B两点.已知|PA|2+|PB|2=|OA|2+|OB|2.
(1)求Ω的离心率;
(2)若Ω的右焦点为F(2,0),且圆Γ过点F,求|FA|+|FB|的取值范围.
由圆Γ的圆心P在y轴上,设P(0,m)(m≠0),
因为|PA|2+|PB|2=|OA|2+|OB|2,
化简得m(y1+y2)=m2,由m≠0,得y1+y2=m,由圆Γ的圆心为P,弦AB中点为M,所以MP⊥AB,
(2)如图,由Ω的右焦点为F(2,0),得c=2,由(1)知,c= a,所以有a=b= ,故双曲线的方程为x2-y2=2.
由双曲线方程可知,x1>1,x2>1.
设圆Γ的方程为x2+(y-m)2=r2,由圆Γ过点F(2,0),
则4+m2=r2,则圆Γ的方程可化为x2+y2-2my-4=0,
消去x化简得y2-my-1=0,Δ=m2+4>0,
[对点训练2](2024四川南充二模)如图,已知四边形ABCD的四个顶点都在抛物线x2=4y上,且A,B在第一象限,AC∥x轴,抛物线在点A处的切线为l,且BD∥l.
(1)设直线CB,CD的斜率分别为k和k',求k+k'的值;
(2)P为AC与BD的交点,设△BCD的面积为S1,
△PAD的面积为S2,若tan∠BCA=2,求 的取值范围.(共27张PPT)
突破2 圆锥曲线中的定点、定值问题
考点一 定点(定直线)问题
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与直线NA2交于P.证明:点P在定直线上.
(2)证明 (方法一)(ⅰ)当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=k(x+4),设M(x1,y1),N(x2,y2),y1>0.
(方法二)由于直线MN与双曲线左支交于M,N两点,∴直线MN的斜率不为0.
(1)求C的方程;
(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.
∵直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点,且过A(-2,0),
∴设直线AP的方程为y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,设直线AQ的方程为
y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,
∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).
又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,
综上,线段MN的中点为定点(0,3).
(方法二)设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ斜率存在,故设直线PQ:y=k(x+2)+3.
考点二 定值问题
例2(2024广东深圳模拟)在平面直角坐标系中,已知F1(-1,0),F2(1,0),Q为动点,且|F2Q|=4,线段F1Q的垂直平分线交线段F2Q于点P,设P的轨迹是曲线C,射线PF1,PF2分别与C交于A,B两点.
(1)求C的方程;
解 (1)由已知得|PF1|=|PQ|,且|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|=|QF2|=4>|F1F2|=2,
所以点P的轨迹是以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆,且2a=4,2c=2,
所以a=2,c=1,b2=a2-c2=3,
[对点训练2](2024湖南岳阳三模)已知动圆P过定点F(0,1)且与直线y=3相切,记圆心P的轨迹为曲线E.
(1)已知A,B两点的坐标分别为(-2,1),(2,1),直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,证明:k1-k2=1;
(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)是轨迹E上的两个动点且x1x2=-4,设线段MN的中点为Q,圆P与动点Q的轨迹Γ交于不同于F的三点C,D,G,求证:△CDG的重心的横坐标为定值.
(2)显然直线MN的斜率存在,如图,设直线MN的方程为y=kx+b,k,b∈R,联立
消去y并整理得x2+4kx+4b-8=0,
因为Δ>0,所以x1x2=4b-8,
又x1x2=-4,所以b=1,
所以x2+4kx-4=0,直线MN的方程为
y=kx+1,x1+x2=-4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=-4k2+2,
所以线段MN的中点坐标为Q(-2k,-2k2+1).
得x4+(4-2n)x2+4mx=0,
设C,D,G的横坐标分别为c,d,g,
因为C,D,G都异于F,
所以c,d,g都不为零,
故关于x的方程x3+(4-2n)x+4m=0的根为c,d,g,
令(x-c)(x-d)(x-g)=0,
即有x3-(c+d+g)x2+(cd+dg+gc)x-cdg=0,
所以c+d+g=0,
故△CDG的重心的横坐标为定值.(共22张PPT)
突破3 圆锥曲线中的证明、探索性问题
考点一 证明问题
例1(2024福建漳州一模)已知过点F1(-1,0)的直线l与圆F2:(x-1)2+y2=16相交于G,H两点,线段GH的中点为E,过线段GF1的中点F且平行于EF2的直线交GF2于点P,记点P的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)若A,B为轨迹C上的两个动点且均不在y轴上,点M满足
(λ,μ∈R),其中O为坐标原点,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①点M在轨迹C上;
②直线OA与OB的斜率之积为- ;
③λ2+μ2=1.
(1)解 如图,由题意可知,圆F2:(x-1)2+y2=16的圆心为F2(1,0),半径r=4,由题意可知,直线GH斜率不为0,即P不在x轴上,因为E为GH的中点,则GH⊥EF2,又因为FP∥EF2,则GH⊥FP,即FP为线段GF1的中垂线,则|PG|=|PF1|,可得|PF1|+|PF2|=|PG|+|PF2|=|GF2|=4>2=|F1F2|,由椭圆定义可知,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且不包含长轴的两端点,则a=2,c=1,可得
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左、右两个顶点分别为A1,A2,T为直线l:x=1上的动点,且T不在x轴上,直线TA1与C的另一个交点为M,直线TA2与C的另一个交点为N,直线MN与x轴的交点为P,直线l与MN的交点为Q,证明:
则lMN:x=my+4,所以点P坐标为(4,0).
考点二 探索性问题
且左焦点F到渐近线的距离为 .过点F作直线l1,l2分别交双曲线E于A,B和C,D,且线段AB,CD的中点分别为M,N.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)若直线l1,l2斜率的乘积为- ,试探究:是否存在定圆T,使得直线MN被圆T截得的弦长恒为4 若存在,请求出圆T的标准方程;若不存在,请说明理由.
(2)如图,由(1)知F(-3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线l1:y=k1(x+3),l2:y=k2(x+3),
则kMT=kNT,所以M,T,N三点共线.
综上,直线MN过定点T(2,0).
所以存在定圆T:(x-2)2+y2=4,使得直线MN被圆T截得的弦长恒为4.
此时直线MN:x=2也经过点(2,0).
故直线MN过定点T(2,0).
所以存在定圆T:(x-2)2+y2=4,使得直线MN被圆T截得的弦长恒为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C交于不同的M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列.椭圆C上是否存在一点P,使得四边形OMPN为平行四边形 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
