(共19张PPT)
培优拓展(十五)隐形圆问题
在解决某些解析几何问题时,题设条件看似与圆无关,但通过对题目条件的分析、转化后,会发现满足条件的点的轨迹是一个圆,进而可得出圆的方程,再利用圆的知识求解,我们一般称这类问题为隐形圆问题.
角度一 利用圆的定义或几何性质确定隐形圆
例1(1)已知圆C:x2+y2-4x=0,点A(-1,0),B(1,2),则圆C上使得|PA|2+|PB|2=12成立的点P有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
C
解析 如图,假设圆C上存在点P,设P(x,y),圆C的方程可化为(x-2)2+y2=4,圆心为(2,0).
|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,整理得
x2+(y-1)2=4,点P的轨迹是以(0,1)为圆心,2为半径的圆.
(2)舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具,如图,O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处的铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动.当点D在滑槽AB内做往复移动时,带动点N绕O转动,点M也随
之而运动.若ON=DN=1,MN=3,AB=4,则|MA|的最小值为 .
解析 以滑槽AB所在的直线为x轴,O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).
[对点训练1](2024江苏徐州一模)已知点A(1,0),B(5,0),若 ≤4,则点P到直线3x-y+1=0距离的最小值为 .
角度二 由圆周角的性质确定隐形圆
例2(2024浙江嘉兴二模)已知圆C:(x-5)2+(y+2)2=r2(r>0),A(-6,0),B(0,8),若圆C上存在点P使得PA⊥PB,则r的取值范围为( )
A.(0,5] B.[5,15] C.[10,15] D.[15,+∞)
B
解析 由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆,设为圆M.
因为A(-6,0),B(0,8),故圆M:(x+3)2+(y-4)2=25.
依题意知圆M与圆C至少有一个公共点.
因为C(5,-2),M(-3,4),则|CM|= =10,由|r-5|≤|CM|≤5+r,解得5≤r≤15.故选B.
[对点训练2]在平面直角坐标系xOy中,点A(-6,-2),B(4,-2),直线kx-y+8k-2 =0(k∈R)上存在点M(x0,y0)满足∠AMB=90°,则实数k的一个可能取值
是 .
角度三 阿波罗尼斯圆
例3(2024湖南岳阳模拟)数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为“阿波罗尼斯圆”,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),动点M满足|MA|=2|MO|,得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与圆C恒有公共点,则实数b的取值范围是( )
C
解析 设点M(x,y),
因为|MA|=2|MO|,
所以(x+2)2+y2=4x2+4y2,
所以动点M的轨迹为阿波罗尼斯圆C:3x2+3y2-4x-4=0,
又直线l:y=k(x-1)+b恒过点(1,b),
若对任意实数k直线l:y=k(x-1)+b与圆C恒有公共点,所以点(1,b)在圆C的
B(共12张PPT)
培优拓展(十六)椭圆的第二、第三定义
椭圆是最重要的圆锥曲线之一,除了教材中学习的定义外,还有两种重要定义,我们一般称为第二定义和第三定义.
第二定义:平面内到定点距离与到定直线(定点不在定直线上)距离之比为常数e(0第三定义:平面内与两定点连线的斜率之积为常数λ(λ<0且λ≠-1)的动点的轨迹为椭圆(不含两定点).
椭圆第二定义在处理焦半径与椭圆外线段(距离)和最值问题时有很大优势,第三定义则适用于快速解决椭圆的中点弦、中心弦问题.如能合理利用椭圆的第二、第三定义,能使很多问题变难为易,迎刃而解.
角度一 第二定义
方法技巧
椭圆的第二定义
B
角度二 第三定义
例2已知A,B是椭圆 =1(a>b>0)长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值
为1,则椭圆的离心率为 .
解析 如图所示,连接MB,因为M,N关于x轴对称,所以kMB=-kBN=-k2.
A
y米
P2
F
0
F
X
P
I
y
M
A
B
0
X
W
目方法技巧
由椭圆的第三定义可得：若A,B是椭圆上关
于原点对称的两点，P是椭圆上异于A,B的，点，若
kPA,kPB都存在，则(1)若椭圆的焦点在x轴上，则
pA·kpB=e2一1=一%2；(2)若椭圆的焦点在y
轴上，则kpA·kps=一2（a>b>0).
y米
P
Q
A
B
0
X(共11张PPT)
培优拓展(十七)椭圆、双曲线的垂径定理
在培优拓展(十六)中我们介绍了椭圆的第三定义,并由其得出:若A,B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上异于A,B的点,若kPA,kPB都存在,当椭圆的焦点在x轴上时,则kPA·kPB=e2-1=- .如图,取弦PB的中点M,由三角形中位线性质知OM∥PA,所以有kOM·kPB=e2-1=- ,这个结论我们称之为椭圆的垂径定理.类比也可得出双曲线的垂径定理.
角度一 椭圆垂径定理的应用
角度二 双曲线的垂径定理的应用
例2已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是双曲线E的一个焦点,过点F的直线与双曲线E相交于A,B两点,且AB的中点坐标为M(-12,-15),则E的方程为( )
C
[对点训练2]已知双曲线x2- =1上存在两点M,N关于直线l:y=x+m对称,且线段MN的中点Q在抛物线y2=9x上,则m的值为 .
0或-4
y中
P
M
B
X
A
目方法技巧
若AB是椭圆
6=1(a>b>0)的不平行
于对称轴的弦，M(xo,yo)为线段AB的中，点，则
根据椭圆的垂径定理有oM·AB=e2一1=
得方法技巧
y
若AB是双曲线
=1(a>0,6>0)的不
平行于对称轴的弦，M(xo,yo)为线段AB的中
b2
点，则koM·bAB=e2一1=
a(共25张PPT)
培优拓展(十八)圆锥曲线中非韦达定理的应用
在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,我们常联立方程组,利用韦达定理整体代入来解决;但是有些情况(如有些定点、定值、定线问题),我们发现把韦达定理整体代入并不能完全消除两根,一般把这类问题称之为“非对称韦达定理”.
角度一 两根之比型(如 )
角度二 系数不等型(如λx1+μx2=m,其中λ≠μ,m≠0)
(1)求椭圆的方程;
(2)已知P(0,1),A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点A作斜率为k1的直线交椭圆于E,连接EP并延长交椭圆于F,记直线BF的斜率为k2,若k1=3k2,求直线EF的方程.
(2)由(1)可知,上焦点F(0,2),且直线l的斜率存在,
设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线l的方程为y=kx+2,
角度三
得方法技巧
方法一将1
=一2取倒数相加，得到
y2
y2
,这样处理将不对称式转化为对称式，就
5
可以将韦达定理的结果整体代入了
方法二是利用条件y1=一2y2,得到y1十y2
与
y1y2的关系
(y十y2)”=
y1y2
然后税可以用
韦达定理处理了.
方法三是利用y1=一2y2与y1十y2y1y2的
表达式，代入消元求解
得方法技巧
4k
利用韦达定理中隐含着2kx1x2=
2k2+1
x1十x2的关系，代入消元得到(1一)（x1十
2k+2
1+2k2
)=0,从而求得=1.
具方法技巧
对于分式上下不对称型，方法一是根据韦达定
理y1十y2,y1y2的表达式，把y1y2转化为y1十
y2;方法二保留y1y2不动，y1和y2中消去y2保
留y1,化简得定值.
