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5.2.1.3三角函数线---自检定时练--学生版
【1】知识清单
①空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
②单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
③向量的正交分解:由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
单选题
1．设向量、、不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4.已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（ ）
A． B． C． D．
5.在长方体中，若，即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四棱锥的底面为平行四边形，为上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7.如图，在四面体中，，，.点，分别为棱，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在下列命题中，错误的有（ ）
A．若共线，则所在的直线平行；
B．若所在的直线是异面直线，则一定不共面；
C．若三向量两两共面，则三向量一定也共面；
D．已知三向量不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
10．设是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．，，两两共面，但，，不可能共面
B．若，，则
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．，，不一定能构成空间的一个基底
11．已知是空间的一组基底，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．在上的投影向量为 D．一定能构成空间的一组基底
填空题
12．在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，，，，，用基底表示向量 .
13．在四面体中，点为的重心， ，，分别为，，的中点，且，则实数 .
14．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 ．
解答题
15．如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，.
(1)试用，，表示；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
16．如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）．
(1)以为基底表示；
(2)求的最小值．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B C C A A D D ABC AC BCD
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】(1) (2)
16.【答案】(1) (2)-1
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1.2空间向量基本定理-----自检定时--详解版版
1．设向量、、不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合空间向量的运算，利用空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，因为，所以，、、共面，
所以，不能作为空间的一个基底，A不满足；
对于B选项，因为，所以，、、共面，
所以，不能作为空间的一个基底，B不满足；
对于C选项，设、、共面，
则存在、使得，
所以，、、共面，与题设条件矛盾，故假设不成立，
所以，、、不共面，即能作为空间的一个基底，C满足；
对于D选项，因为，所以，、、共面，
所以，不能作为空间的一个基底，D不满足.
故选：C.
2．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量基底的概念逐个判断即可.
【详解】∵是空间的一个基底，
易知不共面，不共面，不共面，
而，
∴中三个向量是共面的，不能作为基底，
故选：B
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】根据空间共面向量定理逐一分析判断即可.
【详解】对于A，由于，则，，共面；
对于B，由于，则，，共面；
对于C，由于不存在实数，使得，则，，不共面；
对于D，由于，则，，共面.
故选：C.
4.已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量基底的定义直接判断.
【详解】由可作为空间的一组基底，
则，，不共面，
当时，假设存在使，则，无解，
即，，不共面成立，A选项错误；
当时，由A分析同理可知不存在使，即，，不共面成立，B选项错误；
当时，，即，，共面，不可作为基底，C选项正确；
当时，假设存在使，则，无解，
即，，不共面成立，D选项错误；
故选：C.
5.在长方体中，若，即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性与空间向量的基本定理即可求解
【详解】因为，
所以向量在单位正交基底下的坐标为，
故选：A
6．如图，四棱锥的底面为平行四边形，为上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，用表示出即可.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：A
7.如图，在四面体中，，，.点，分别为棱，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，再结合平面向量运算法则即可求解.
【详解】，
.
故选：D
8．在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于基向量、、的表达式
【详解】连接，因为为的重心，则，如下图所示：
因为为的中点，则，
所以，，
所以，
.
故选：D.
9．在下列命题中，错误的有（ ）
A．若共线，则所在的直线平行；
B．若所在的直线是异面直线，则一定不共面；
C．若三向量两两共面，则三向量一定也共面；
D．已知三向量不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
【答案】ABC
【分析】根据向量共线、共面的判定与性质逐一判断正误.
【详解】对于A，若共线，则有可能在同一条直线上，A错误；
对于B，即使所在的直线是异面直线，也可以通过平移的方式使得向量共面，B错误；
对于C，如图所示，
在四面体P-ABC中，向量两两共面，但三个向量并不共面，C错误；
对于D，由空间向量的基本定理可知D正确；
故选：ABC.
10．设是空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．，，两两共面，但，，不可能共面
B．若，，则
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．，，不一定能构成空间的一个基底
【答案】AC
【分析】AC选项，根据基底的定义以及空间向量基本定理可得；B选项，，不一定垂直；D选项，判断出，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底.
【详解】A选项，由基底的定义可知，，，不能共面，，，两两共面，A正确；
B选项，，，但，不一定垂直，B错误；
C选项，根据空间向量基本定理，对空间任一向量，总存在有序实数组，
使，C正确；
D选项，设，故，无解，
故，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误.
故选：AC
11．已知是空间的一组基底，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．在上的投影向量为 D．一定能构成空间的一组基底
【答案】BCD
【分析】A选项，与共线，与共线，根据基底概念得到不共线，故A错误；B选项，假设x，y，z不全为0，推出矛盾，故假设不成立，B正确；C选项，根据投影向量的公式得到C正确；D选项，设，得到方程组，无解，故不共面，一定能构成基底.
【详解】A选项，与共线，与共线，
为一组基底，故不共线，故不可能成立，故A不正确；
B选项，是空间的一组基底，故三个向量不共面且两两共面不共线，
假设x，y，z不全为0，不妨设，，此时有，故，矛盾；
不妨设，此时，故共线，矛盾；
若三者均不为0，即，此时共面，矛盾，
综上，假设不成立，故，B正确．
C选项，在上的投影向量为，C正确．
D选项，设，则，
即，无解，
故不共面，一定能构成空间的一组基底，D正确．
故选：BCD．
填空题
12．在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，，，，，用基底表示向量 .
【答案】
【分析】应用空间向量加减数乘的几何意义，将用表示出来，即可得答案.
【详解】.
故答案为：
13．在四面体中，点为的重心， ，，分别为，，的中点，且，则实数 .
【答案】3
【分析】以为基底，将均用基底表示出来，利用表示的唯一性即可求出k的值．
【详解】如图，连接，
则，
故，
而，故．
故答案为：3．
14．如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 ．
【答案】
【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可；
【详解】为中点，连接，，
有，
是的重心，则在上，且，
即，则有，
所以，
可得，则．
故答案为：.
解答题
15．如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，.
(1)试用，，表示；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的线性运算可求解；
（2）求得与可求直线与直线所成角的余弦值.
【详解】（1）
（2）根据题意可设设，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
16．如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）．
(1)以为基底表示；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）利用空间向量基本定理得到，；
（2）设，得到，求出，当时，取得最小值.
【详解】（1）由题意可得
，
所以
；
（2）设，
因为
，
所以
，
故当时，取得最小值，最小值为．
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