重庆市渝高中学校2024-2025学年高二上学期期中联合检测 数学试题（含解析）

重庆市渝高中学校2024 2025学年高二上学期期中联合检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
3．椭圆的焦距是2，则m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．不存在
4．已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点是曲线上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知抛物线，圆，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l必过点
B．直线l与圆E必相交
C．圆与圆E有3条公切线
D．当时，直线l被圆E截得的弦长为
10．已知抛物线过点，则（ ）
A．拋物线的标准方程可能为
B．抛物线的标准方程可能为
C．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
11．“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（ ）

A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
D．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
三、填空题（本大题共3小题）
12．过点作圆的切线，则切线方程为 .
13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，若点，则的最小值为 ；
14．若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线．
(1)经过点且与直线平行的直线；
(2)经过点且与直线垂直的直线；
(3)经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线．
16．已知圆C过三点．
(1)求圆C的方程；
(2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程．
17．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，双曲线C的一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点M(1,4)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求直线l的方程．
18．已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，
（i）求证直线过定点；
（ii）求与面积之和的最小值．
19．若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.
(1)证明：椭圆为“质朴椭圆”.
(2)是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
(3)设斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与交于，两点，，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.
参考答案
1．【答案】A
【详解】将直线变形为，即斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，
所以.
故选：A.
2．【答案】D
【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，
又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，即，即，
整理可得，
所以，当且仅当时，等号成立；
因此的最小值为.
故选：D
3．【答案】C
【详解】∵，∴．
当椭圆的焦点在x轴上时，，，．
∴，．
当圆的焦点在y轴上时，，，
∴，∴．
综上，m的值是3或5．
故选：C
4．【答案】C
【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程.
【详解】设圆C的方程为，则圆心，
则有，解之得,
则有圆C的方程为，即
故选：C
5．【答案】B
【解析】在平面直角坐标系中作出曲线，这是一个半圆，的几何意义是半圆上的点与定点连线的斜率，由几何意义易得结论．
【详解】曲线是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，表示半圆上的点与定点连线的斜率，
由图，，当时，直线与半圆相切，
∴，即的取值范围是．
故选：B．
6．【答案】B
【详解】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为，
所以，因为在椭圆上，
所以①，
两式相减，得，
根据，上式可化简为，
整理得，又，所以，即，
所以.
故选：B.
7．【答案】C
【分析】
利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可.
【详解】
如图所示
由题意知，解得
记的右焦点为，即，
由双曲线的定义，得，即
所以，
当且仅当点在线段上时等号成立,
所以的最小值为.
故选：C.
8．【答案】A
【详解】圆，点C与抛物线的焦点重合，设，，所以，，
∴．
①当直线l的斜率不存在时，，∴；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(),
与抛物线方程联立消y，得，
∴．
综上，.
故选：A．
9．【答案】BC
【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长.
【详解】A：由，则必过定点，错；
B：将定点代入圆，有，
故点在圆内，即直线l与圆E必相交，对；
C：由题设且半径为，而且半径为，
所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，对；
D：由题设，则到直线的距离，
故直线l被圆E截得的弦长为，错.
故选：BC
10．【答案】ABD
【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解.
【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确；
对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确；
对于C、D选项，过点A与对称轴平行的直线，以及抛物线在点A处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.
故选ABD.
【规律方法】抛物线的标准方程：
①y2=2px，当p>0时，为开口向右的抛物线；当p<0时，为开口向左的抛物线.
②x2=2py，当p>0时，为开口向上的抛物线；当p<0时，为开口向下的抛物线.
11．【答案】AC
【分析】根据图中几何关系列方程组求出a，c，然后可得b，可判断AB；分离常数，利用反比例函数的性质可判断CD.
【详解】在椭圆中，由图可知，解得，
所以，所以，A正确，B错误；
，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递增，C正确；
，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递减，D错误.
故选：AC
12．【答案】
【详解】由题意可知：圆的圆心为，
因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线，
而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为，
故切线方程为：即.
故答案为：.
13．【答案】5
【详解】抛物线C：y2=4x的准线为x=﹣1．
设点P在准线上的射影为D，
则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，
要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．
当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为4﹣（﹣1）=5．
故答案为5．
14．【答案】
【详解】依题意可得双曲线渐近线方程为，直线与双曲线没有交点，
则，即，
易知，又已知双曲线离心率,
所以双曲线离心率的取值范围为.
15．【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）设所求直线的方程为，
依题意有，解得，
所以所求直线方程为；
（2）设所求直线方程为，
依题意有，解得，
所以所求直线方程为；
（3）联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时；
当直线的截距都不为时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述或.
16．【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解；
（2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解.
【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上，
设圆心坐标，
则，解得．
故其半径．
故圆的方程为：；
（2）设直线l的方程为：，
因为为等腰直角三角形，
∴圆心到直线的距离，即，
解得或－8，所以l：或．
17．【答案】见详解
【解析】解　(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，所以＝2，又焦点(0，c)到直线y＝2x的距离d＝＝1，所以c＝，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝4，b2＝1，所以双曲线C的方程为－x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k，由题知x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，
联立
两式相减得－－x＋x＝0，
即＝(x1＋x2)(x1－x2)，
即＝4，所以4k＝4，解得k＝1，
所以直线l的方程为y－4＝x－1，即x－y＋3＝0，
经检验直线l：x－y＋3＝0与双曲线C有两个交点，满足条件，
所以直线l的方程为x－y＋3＝0.
18．【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）抛物线，
其焦点为，准线方程为，
可得，且，
解得（另一个根舍去），，
则抛物线的方程为；
（2）
（i）
如图，设的方程为，，
联立，可得，
则，又，，
由，可得，解得（另一个根舍去），
所以直线恒过定点；
（ii）由上小问可得，不妨设，
则与面积之和为，
，
当且仅当，时，上式取得等号，
则与面积之和的最小值为．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)不存在实数，理由见解析
(3)为“质朴椭圆”，理由见解析
【详解】（1）由已知椭圆，
即，，
则，
所以焦距，离心率，即，
所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数，
即椭圆为“质朴椭圆”；
（2）椭圆的焦距为，离心率，
若存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”，
则，均为质数，
又，所以，，，，，
即，，，，，
则，，，，，这些数都不是质数，
所以不存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”；
（3）设的右焦点为，
则直线方程为，
设直线与椭圆的交点为，，
联立，
得，，
则，，
，
解得，
则的焦距为为质数，
离心率，其倒数为质数，
所以为“质朴椭圆”.