2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版）
第一讲 圆
（导图+知识精讲+高频易错点+十大考点讲练+难度分层练）
知识与技能
结合生活实际，通过观察、操作等活动，认识圆及圆的对称性，理解圆心和半径的作用。
能够准确说出圆的各部分的名称（如圆心、半径、直径），并理解半径和直径之间的关系（如直径是半径的2倍，半径是直径的一半）。
掌握用圆规画圆的方法，并能够根据给定半径或直径画出相应的圆。
了解并掌握圆的周长和面积的计算方法，并能用其解决简单的实际问题。
过程与方法
通过动手实验、拼摆操作等实践活动，探索并掌握圆的周长和面积的计算方法，体会“化曲为直”的数学思想。
结合欣赏与绘制图案的过程，体会圆在图案设计中的应用，发展学生的想象力和创造力。
重点：理解圆的特征，包括圆心、半径、直径及其相互关系。
认识圆是轴对称图形，并理解其对称性的意义。
掌握圆的周长和面积的计算方法，并能应用其解决简单的实际问题。
难点：
理解圆的特征，特别是如何通过实际操作体会圆的特征。
体验数学与日常生活的联系，理解直径所在的直线是圆的对称轴。
理解圆周率的意义，以及其在计算圆的周长和面积时的重要性。
体会“化曲为直”的数学思想，理解其在解决圆相关问题时的应用。
考点一：圆及其性质 4
考点二：圆的认识与圆周率 6
考点三：扇形的认识 7
考点四：圆、圆环的周长 9
考点五：画圆 10
考点六：不规则图形周长的求解 13
考点七：圆、圆环的面积 15
考点八：扇形的面积 18
考点九：有关圆的应用题 20
考点十：组合图形的面积 22
基础夯实优选题专练 24
培优优选题专练 30
知识点01：圆的认识
1、圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条线段围成的平面图形)
2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O 表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。
3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变； 要旋转一周。
4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的 2 倍。(d=2r,r=d÷2)
5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。
6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
7、正方形里最大的圆: 两者联系：边长=直径画法：
画出正方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
8、长方形里最大的圆: 两者联系：宽=直径画法：
画出长方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。
知识点02：扇形的认识
1.圆上两点间的曲线是弧；
2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形；
3.顶点在圆心的角叫作圆心角；
4.在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
知识点03：圆的周长
1、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数(速度)=车轮的周长÷转数
2、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母π(读 pài)表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592453……我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值 3.14。π>3.14
3、如果用 C 表示圆的周长，那么 C=πd 或 C = 2πr
4、求圆的半径或直径的方法： d=C÷π r =C÷ π÷2= C÷2π
5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。C 半圆= πr+2r C 半圆= πd÷2+d
6、常用的 3.14 的倍数：
3.14÷2=6.28 3.14÷3=9.42 3.14÷4=12.50 3.14÷5=15.7
3.14÷6=18.84 3.14÷7=21.68 3.14÷8=25.12 3.14÷9=28.24
知识点04：圆及圆环的面积
1、圆的面积公式：S=πr 。 圆的面积是半径平方的π倍。
2、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面 积相等(即S 长方形=S 圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=c/2=πr)。
即：S 长方形= a ÷ b S 圆 = πr ÷ r=πr
注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。
C 长方形=2πr+2r=C 圆+d
3、半圆的面积和周长。S 半圆=πr ÷2 C 半圆=C/2+d
4、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数， 面积的倍数=半径的倍数的平方
5、周长相等的平面图形中，圆的面积最大； 面积相等的平面图形中，圆的周长最短。
6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法 分配律进行简便计算。S 圆环=πR －πr =π(R －r )
7、常用的平方数：
11 =121 12 =144 13 =169 14 =196 15 =225 16 =250
17 =289 18 =324 19 =361 20 =900
1. 直径的长度是半径的2倍这一关系的前提条件是在同圆或等圆中。
2. 通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。
3. 对称轴是直线，圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径。
4. 圆心角必须具备两个条件：其一，顶点在圆心上；其二，角的两边是圆的半径。
5. 3.14只是圆周率的近似值。回答“圆的周长是它直径的多少倍”时，应该说是π倍，而不是3.14倍。
6. 圆周率是一个固定不变的数，不随圆的大小而改变。
7. 求半圆的周长时，容易只计算出圆周长的一半，而忽略了直径。
8. 半径扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，圆的面积就扩大到原来的几倍的平方或缩小到原来的几分之一的平方。
9. 周长和面积是两个不同的概念，它们的意义不同，单位不同，不能进行比较。
10. 在计算圆的面积时，不要把r2计算成r÷2，r2等于r÷r。
11. 在一个大圆内随意剪去一个小圆不一定能形成圆环。
12.任何一个环形，已知内圆直径和环宽，求外圆直径，应用内圆直径加上2个环宽；已知外圆直径和环宽，求内圆直径，应用外圆直径减去2个环宽。
13.求圆环的面积时不能用环形的宽度的平方乘3.14。
考点一：圆及其性质
【精讲题】（2023秋 黄岩区期末）用如图方法测量圆的直径，依据是
A．直径是半径的两倍。 B．圆是轴对称图形。
C．直径是圆内最长的线段。 D．圆心确定圆的位置。
【思路点拨】根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，在圆中直径最长；由此解答即可。
【规范解答】解：直径长度是半径的2倍，与本题测量圆的直径无关。
圆是轴对称图形，与本题测量圆的直径无关。
根据直径的含义可知：直径是圆内最长的线段，两端都在圆上的线段中，直径最长。故此本选项符合题意。
圆心确定圆的位置，与本题测量圆的直径无关。
故选：。
【考点剖析】此题考查了圆的认识知识，明确直径的含义，是解答此题的关键。
【精练题01】（2023秋 奈曼旗期末）卡塔尔世界杯于2022年11月21日至12月18日举行，这是世界杯首次在中东国家境内举行。卡塔尔世界杯的主体育场名为“卢赛尔体育场”，可以同时容纳4万人，远观整个体育场像是沙漠中的一只金碗。特别需要注意的是，这座美丽的“沙漠金碗”是由中国铁建国际集团承建的。许多体育场都会把观众席设计成围绕球场一周的圆形，这样的设计应用的是圆形特征中的
A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小
C．同圆中直径是半径的2倍 D．同圆中的半径都相等
【思路点拨】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；半径决定圆的大小，在同一个圆内有无数条半径，同一个圆内所有的半径都相等。
【规范解答】解：许多体育场都会把观众席设计成围绕球场一周的圆形，这样的设计应用的是圆形特征中的同圆中的半径都相等。
故选：。
【考点剖析】掌握圆的特征是解题的关键。
【精练题02】（2024 莲湖区模拟）看图填空。
（1）长方形的长是 12 。
（2）长方形的宽是 。
（3）长方形的周长 。
【思路点拨】长方形的宽是一个圆的直径，长方形的长是三个大小相等的圆的直径，据此解答。
【规范解答】解：长方形的长：
长方形的宽：
长方形的周长：
故答案为：12，4，32。
【考点剖析】本题考查了圆的特征及长方形的特征。
考点二：圆的认识与圆周率
【精讲题】（2024 金水区）如图，以点为圆心的圆内画出三角形。如果是，这个三角形一定是等边三角形。做出这样判断的依据是
A．圆的周长是直径的倍 B．圆有无数条对称轴
C．同一个圆半径都相等 D．同一个圆直径是半径的2倍
【思路点拨】根据图示，和都是从圆心出发，到圆上一点的连线，即圆的半径；同一个圆的半径相等，所以，所以这个三角形是等腰三角形，如果是，这个三角形一定是等边三角形；据此解答即可。
【规范解答】解：在以点为圆心的圆内画出三角形。如果是，这个三角形一定是等边三角形。做出这个判断运用了同一个圆的半径都相等。
故选：。
【考点剖析】此题考查了圆的认识，结合同一个圆的半径都相等以及等腰三角形、等边三角形的特征，解答即可。
【精练题01】（2023秋 汇川区期末）下面说法正确的是
A．百分数可以表示部分与整体的关系，百分数不能超过
B．六（1）班有50人，星期一有2人病假未到，出勤率为
C．把一个圆沿直径平均分为两个半圆，半圆的面积是圆面积的一半，半圆的周长也是圆周长的一半
D．数学上用圆周率表示圆的周长与它的直径的比值，圆周率是一个无限不循环小数
【思路点拨】结合百分数的意义和认识以及半圆的面积和周长以及圆周率知识，逐一分析解答即可。
【规范解答】解：．百分数表示一个数是另一个数百分之几的数，可以表示部分与整体的关系，百分数能超过，所以本选项说法错误。
．
六（1）班有50人，星期一有2人病假未到，出勤率为，所以本选项说法错误。
．把一个圆沿直径平均分为两个半圆，半圆的面积是圆面积的一半，半圆的周长是圆周长的一半加直径的长，所以本选项说法错误。
．数学上用圆周率表示圆的周长与它的直径的比值，圆周率是一个无限不循环小数，所以本选项说法正确。
故选：。
【考点剖析】本题考查了百分数的意义和认识以及半圆的面积和周长以及圆周率知识，结合题意分析解答即可。
【精练题02】（2023秋 乌拉特前旗期末）如图，是圆上一点，把圆在直尺上无滑动地滚一周后，点的位置一定在 6 和 之间，你的理由是什么？
【思路点拨】根据图示，圆的半径是1厘米，根据圆的周长公式求出圆的周长，结合题意解答即可。
【规范解答】解：（厘米）
答：点的位置在6和7之间。因为圆的半径是1厘米，把圆在直尺上无滑动地滚一周后，滚动的距离是6.28厘米。
故答案为：6；7。
【考点剖析】本题考查了圆的周长公式的灵活运用知识，结合题意解答即可。
考点三：扇形的认识
【精讲题】（2023秋 定州市期末）下面 的涂色部分是扇形。
A． B． C．
【思路点拨】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，据此判断即可。
【规范解答】解：涂色部分是扇形。
故选：。
【考点剖析】此题考查了平面图形的定义，要熟练掌握。
【精练题01】（2023 鼓楼区模拟）如图所示，兰兰把一张圆形纸片连续对折3次，打开后会形成 8 个小扇形，每个小扇形的圆心角为 。
【思路点拨】一个圆形的圆心角是920度，兰兰把一张圆形纸片连续对折3次，那么就把圆形平均分成8个大小相等的扇形，也就是把920度平均分成8份，其中的一个扇形的圆心角是45度。
【规范解答】解：
因此兰兰把一张圆形纸片连续对折3次，打开后会形成8个小扇形，每个小扇形的圆心角为。
故答案为：8，45。
【考点剖析】本题考查了扇形的特征及圆心角的认识。
【精练题02】（2023秋 增城区期末）如图，钟面的分针从“12”走到“3”，形成的以圆为弧的扇形的圆心角是 90 度；钟面的分针从“3”走到“9”，形成的以圆为弧的扇形的圆心角是。
【思路点拨】一个圆的圆心角是920度，钟面的分针从“12”走到“3”，形成的以圆为弧的扇形，利用920度乘即可求出圆心角的度数；同理解答第二题。
【规范解答】解：
因此钟面的分针从“12”走到“3”，形成的以圆为弧的扇形的圆心角是90度；钟面的分针从“3”走到“9”，形成的以圆为弧的扇形的圆心角是。
故答案为：90，。
【考点剖析】本题考查了扇形的认识。
考点四：圆、圆环的周长
【精讲题】（2024 易县）从一张面积为的正方形纸上剪一个最大的圆，这个圆的周长为 。
A．12.50 B．8 C．16
【思路点拨】在一个面积为的正方形纸片上剪下一个最大的圆，则这个最大的圆的直径就是这个正方形的边长，即正方形的边长是4厘米，再根据圆的周长公式进行解答。
【规范解答】解：因为4的平方是16，所以正方形的边长是4厘米，也就是圆的直径是4厘米；
（厘米）
答：这个圆的周长是12.50厘米。
故选：。
【考点剖析】抓住正方形内最大圆的特点，得出这个圆的直径等于正方形的边长是解决此类问题的关键。
【精练题01】（2024 市北区）化曲为直是一种重要的数学转化思想。如图，直径是的圆从点出发，沿直线（单位：向右滚动一圈到达点，那么点大约在哪里？请你先算一算，并在图中用“1”表示出点的位置。
【思路点拨】直径是的圆从点出发，沿直线（单位：向右滚动一圈到达点，点的位置距离点的距离是直径1厘米的圆周长的1倍。根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出圆周长的1倍，据此确定点的位置。
【规范解答】解：
（厘米）
作图如下：
【考点剖析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【精练题02】（2024 镇江模拟）如图，两个半圆的直径分别是8厘米、4厘米，阴影部分的周长是多少厘米？
【思路点拨】由题意可知，求直径厘米圆的周长的一半加上直径8厘米和4厘米圆的周长的一半即可得到答案。
【规范解答】解：
（厘米）
答：阴影部分的周长是37.68厘米。
【考点剖析】本题考查了圆的周长公式的应用。
考点五：画圆
【精讲题】（2024 城关区）如图有、两点。先想一想：怎样确定圆心、半径，画出的圆能经过、两点，再用圆规画出两个不同的圆，要使每个圆都经过、两点。
【思路点拨】法一，连接，找到的中点，以为圆心，以长度的一半为半径（即或的长）画圆，则该圆必经过、两点；
法二：连接，过的中点作一条垂线垂直于，取该条垂线上的任意一个点作为圆心，连接（或，则以（或为半径画圆，则该圆必经过、两点。
【规范解答】解：法一，连接，找到的中点，以为圆心，以长度的一半为半径（即或的长）画圆，则该圆必经过、两点。如下图所示：
法二：连接，过的中点作一条垂线垂直于，取该条垂线上的任意一个点作为圆心，连接（或，则以（或为半径画圆，则该圆必经过、两点。如下图所示：
【考点剖析】此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即可画圆。
【精练题01】（2024 长沙模拟）第七届世界军人运动会的会徽名为“和平友谊纽带”，由五角星、和平鸽、彩带以及数字7等元素共同构成。其中“五角星”突出了军队和军人的特征。
（1）以右上图五角星的五个顶点为圆心，以五角星每条边的长度为半径，画五个圆（已经画出一个，请你画出另外4个）。
（2）如果五角星每条边的长度为2厘米，那么这五个圆组成图形的周长是多少厘米？
【思路点拨】（1）画圆的步骤如下：①把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；②把有针尖的一只脚固定在五角星的一个顶点上，即圆心；③把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
（2）如图所示，要求这五个圆组成图形的周长，也就是5个半圆的周长之和，根据圆的周长，代入相应数值计算即可解答。
【规范解答】解：（1）画出的五个圆如图所示：
（2）
（厘米）
答：这五个圆组成图形的周长是31.4厘米。
【考点剖析】本题考查了学生的作图能力及圆的周长公式的应用。
【精练题02】（2023秋 龙海区期末）填一填，画一画。
（1）在方格图中，以三角形其中一个顶点为圆心画一个圆，使另外两个顶点都在圆上。
（2）如果三角形的三个顶点都要在圆上，这个圆的圆心应该在哪里？请在图中用点表示。
【思路点拨】（1）根据圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆的半径都相等，结合题意以为圆心，以4个格为半径，画圆解答即可。
（2）同理，以的中点为圆心，以的一半长度为半径，画圆解答即可。
【规范解答】解：（1）在方格图中，以三角形其中一个顶点为圆心画一个圆，使另外两个顶点都在圆上。如图：
（2）如果三角形的三个顶点都要在圆上，这个圆的圆心在图中用点表示，如图：
【考点剖析】本题考查了圆的画法，结合题意分析解答即可。
考点六：不规则图形周长的求解
【精讲题】（2021秋 奉化区期末）①号图形是由2个相同的小半圆、1个中半圆、1个大半圆组成，②号是由正方形和多个半圆组成。①号、②号阴影部分图形的周长相比
A．①号周长长 B．②号周长长 C．周长一样长 D．无法确定
【思路点拨】图①的周长大圆周长的一半三个小圆周长的一半，图②的周长圆周长的一半；根据圆的周长公式：，将数据代入公式解答即可。
【规范解答】解：图①的周长：
设三个小半的直径分别为，，
图②的周长：
所以①号、②号阴影部分图形的周长一样长。
故选：。
【考点剖析】本题考查与圆有关的计算，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的半圆的周长。
【精练题01】计算如图图形的周长．（单位：厘米）
【思路点拨】（1）根据半圆的周长，代入数据计算即可解答；
（2）观察图形可知，这个图形的周长等于半径2厘米的半圆弧长与直径2厘米的圆的周长之和，据此计算即可解答问题．
【规范解答】解：（1）
（厘米）
答：图形的周长是25.7厘米．
（2）
（厘米）
答：周长是12.50厘米．
【考点剖析】此题主要考查圆的周长公式的灵活应用．
【精练题02】（2022 建华区）按要求计算。
（1）求4个阴影部分的周长和。（四个圆的半径均为
（2）求陀螺的体积。（两个圆锥的底面直径均为
【思路点拨】（1）因为四边形的内角和是，通过图形图形可知，阴影部分4个扇形的圆心角之和是，根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出4个扇形的弧长再加上4个扇形的半径的长度。
（2）根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：（1）
（厘米）
答：4分阴影部分的周长和是28.50厘米。
（2）
（立方厘米）
答：陀螺的体积是169.50立方厘米。
【考点剖析】此题主要考查扇形的周长公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
考点七：圆、圆环的面积
【精讲题】（2024 西秀区）如图，圆的面积与长方形的面积相等，如果长方形的长是，圆的周长是
A． B． C． D．
【思路点拨】观察图形可知：长方形的宽圆的半径；因为圆的面积；长方形的面积，圆的面积与长方形的面积相等，所以，由此可以求出半径，再利用圆的周长公式即可计算出圆的周长。
【规范解答】解：设圆的半径为厘米，则长方形的宽是厘米，根据题干分析可得：
，则：
所以圆的周长是：（厘米）
答：圆的周长是20厘米。
故选：。
【考点剖析】此题主要考查长方形的面积公式、圆的面积公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【精练题01】（2024 沾化区模拟）按要求画一画，填一填。（假设每个小正方形的面积是1平方厘米）
（1）画一个图形，使它的面积的计算式是。
（2）计算出环形的面积。
【思路点拨】（1）要想面积的计算式是，可以考虑是三角形，三角形的底是2厘米，高是4厘米，利用三角形的面积底高，作出图形即可。
（2）环形的面积大圆的面积小圆的面积，代入数据计算即可。
【规范解答】解：（1）如图：
（2）
（平方厘米）
答：环形的面积是15.7平方厘米。
【考点剖析】本题考查了图形的面积，解决本题的关键是熟练运用环形的面积公式。
【精练题02】（2024 淮安模拟）一种钢管的横截面如图，它的内圆半径是2厘米，外圆半径是4厘米，它的横截面面积是多少？
【思路点拨】观察发现钢管的横截面是个圆环，圆环的面积大圆的面积小圆的面积；计算时可以运用乘法分配律：，据此解答。
【规范解答】解：
（平方厘米）
答：它的横截面面积是37.68平方厘米。
【考点剖析】本题考查的是圆环面积的计算，熟记公式是解答关键。
考点八：扇形的面积
【精讲题】（2023秋 新田县期末）下面说法正确的是
A．一杯牛奶1升，喝了，还剩升。
B．圆心角是50度的扇形比圆心角是90度的扇形面积大。
C．黄金的纯度达到。
D．一个圆周长与它直径的比值是3.14。
【思路点拨】．把这杯牛奶的体积看作单位“1”，喝了，还剩下，用这杯牛奶的体积，求出还剩牛奶的体积，进行解答；
．根据扇形的面积可知，扇形的面积的大小与扇形的圆心角的度数和半径的大小有关，半径相同的情况下，圆心角越大，扇形的面积越大，据此解答；
．根据生活经验可知，黄金的纯度达不到，据此解答；
．一个圆周长与它直径的比值是，据此解答。
【规范解答】解：．
（升
一杯牛奶1升，喝了，还剩升。原题干说法正确；
．在半径相等的情况下，圆心角是50度的扇形比圆心角是90度的扇形面积大；原题干说法错误；
．根据生活经验可知，黄金的纯度达不到，原题干说法错误；
．一个圆周长与它直径的比值是，不是3.14，3.14是一个近似值；原题干说法错误。
说法正确的是一杯牛奶1升，喝了，还剩升。
故选：。
【考点剖析】本题主要考查扇形的面积，分数的意义，求比值和化简比，百分数的意义等。
【精练题01】（2023秋 瑞安市期末）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是按照一定规律画出圆心角是的扇形圆弧。如图，若第1步中扇形的半径是，那么第5步所画的新扇形面积是 。
A． B． C． D．
【思路点拨】根据题意可知，第一步画的扇形半径是1厘米，第二步画的扇形的半径是1厘米，第3步画的扇形的半径是厘米，第4步画的扇形的半径是厘米，第5步画的扇形的半径是厘米，根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：
答：第5步所画的新扇形面积是。
故选：。
【考点剖析】此题主要考查圆的面积公式、扇形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【精练题02】（2024 长沙模拟）求阴影部分的面积。
【思路点拨】观察图形可知，阴影部分的面积等于半径为的圆的面积的，根据圆的面积公式：，据此进行计算即可。
【规范解答】解：
答：阴影部分的面积是。
【考点剖析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记公式是解答关键。
【精练题03】（2021秋 逊克县期末）思考并实践。
（1）请在右侧空白处画一个半径是3厘米的圆，并标出圆心“”
（2）在圆中画出一个圆心角是的最大扇形，标出圆心角度数，并把扇形涂上阴影。
（3）请你根据学过的知识，求出这个扇形的面积。
【思路点拨】（1）以为圆心，以3厘米为半径画圆。
（2）在圆中画出一个圆心角是的最大扇形，标出圆心角度数，并把扇形涂上阴影。
（3）利用扇形面积公式计算出这个扇形的面积。
【规范解答】解：（1）（2）如图。
（3）
（平方厘米）
答：这个扇形的面积是4.71平方厘米。
【考点剖析】本题考查了圆的及扇形的画法及扇形面积的计算，需准确画图，熟练掌握扇形面积公式。
考点九：有关圆的应用题
【精讲题】（2024 禅城区模拟）小明骑的自行车车轮直径是80厘米，每分钟转200周，从家到学校有3千米，小明骑行需要的时间大约是 （得数保留整数）
A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．15分钟
【思路点拨】首先根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出自行车车轮的周长，用自行车车轮的周长乘每分钟转的周数求出每分钟行驶的速度，然后根据时间路程速度，列式解答即可。
【规范解答】解：80厘米米
3千米米
（分钟）
答：小明骑行需要的时间大约是12分钟。
故选：。
【考点剖析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，以及路程、速度、时间三者之间的关系及应用，关键是熟记公式。
【精练题01】（2024 商洛模拟）一只大钟，它的分针长90厘米。这根分针的尖端转动一周所走的路程是 251.2 厘米，从1时到2时分针扫过的面积是 平方厘米。
【思路点拨】根据生活经验可知，分针1小时转一圈，根据圆的周长公式：，圆的面积公式：，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：（厘米）
（平方厘米）
答：这根分针的尖端转动一周所走的路程是251.2厘米，从1时到2时分针扫过的面积是5024平方厘米。
故答案为：251.2，5024。
【考点剖析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【精练题02】（2023秋 海港区期末）儿童乐园要修建一个圆形旋转木马场地，木马旋转范围的直径是，周边还要留出宽的小路，并在外侧围上栏杆。
（1）需要多长的围栏？
（2）小路的面积是多少平方米？
【思路点拨】（1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答。
（2）小路的面积是环形，根据环形面积公式：，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：（1）
（米
答：需要314米长的围栏。
（2）（米
（米
（平方米）
答：小路的面积是28.24平方米。
【考点剖析】此题主要考查圆的周长公式、环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
考点十：组合图形的面积
【精讲题】（2024 江汉区）下列图形中的空白部分与阴影部分，周长相等但面积不相等的是
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据图示，观察图形，认真分析每个选项中阴影部分的周长和面积，即可进行正确解答。
【规范解答】解：观察图可知：阴影部分的周长与空白部分的周长都是大圆周长的一半加上小圆的周长，面积都是大圆面积的一半，所以空白部分和阴影部分的周长和面积都相等，不合题意；
观察图发现：，。
空白部分的周长，阴影部分的周长，，，所以：，即空白部分和阴影部分的周长不相等。
空白部分的面积高，阴影部分的面积高，它们的高都是大三角形的高，所以高也相等，这两部分的面积相等。即空白部分和阴影部分的周长不相等，面积相等，不合题意；
空白部分的周长边长弧线的长度；阴影部分的周长边长弧线的长度；所以空白部分与阴影部分周长相等；
观察发现空白部分的面积小于正方形面积的一半，而阴影部分的面积小于正方形面积的一半，所以它们的周长相等，面积不相等，符合题意；
观察可知，空白部分的周长小于阴影部分的周长，空白部分的面积小于阴影部分的面积，所以它们的周长不相等，面积不相等，不符合题意。
故选：。
【考点剖析】此题考查了周长、面积的意义和大小比较知识，以及圆的周长公式、圆的面积，三角形的周长公式、三角形的面积公式及应用，结合题意分析解答即可。
【精练题01】（2023秋 沙坡头区期末）太极图被称为“中华第一图”，如图所示的正方形内是太极图，已知正方形的边长为，则正方形面积与涂黑色部分的面积比为 。
A． B． C． D．
【思路点拨】依据题意结合图示可知，正方形的边长等于圆的直径，涂黑色部分的面积等于圆的面积的一半，利用正方形的面积边长边长，圆的面积半径半径，计算正方形面积与涂黑色部分的面积比。
【规范解答】解：圆的半径：（厘米）
正方形的面积：（平方厘米），涂黑色部分的面积：（平方厘米）
正方形面积与涂黑色部分的面积比为：
故选：。
【考点剖析】本题考查的是组合图形的面积的应用。
【精练题02】（2024 长沙模拟）求如图阴影部分的面积。（单位：厘米）
【思路点拨】（1）阴影部分的面积长方形的面积半圆的面积，又因半圆的直径等于长方形的长，半圆的半径等于长方形的宽，于是利用长方形和圆的面积公式即可求解。
（2）阴影部分的面积大圆的面积两个小圆的面积，又因大圆的半径等于小圆的直径，利用圆的面积公式即可求解。
【规范解答】解：（1）
（平方厘米）
答：阴影部分的面积是6.88平方厘米。
（2）
（平方厘米）
答：阴影部分的面积是92.25平方厘米。
【考点剖析】解答此题的关键是弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积和或差求出
基础夯实优选题专练
1．（2024六上·深圳期末）四只蚂蚁耗时1分钟，分别沿着长方形、正方形、圆和等边三角形走一圈，谁走的速度更快？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【规范解答】解：甲：（3+0.5）÷2
=3.5÷2
=7（cm）
乙：2÷4=8（cm）
丙：3.14÷2=6.28（cm）
丁：2÷3=6（cm）
8＞7＞6.28＞6，乙走的速度最快。
。
【思路点拨】长方形的周长=（长+宽）÷2，正方形的周长=边长÷4，圆的周长C=πd，等边三角形的周长=边长÷3，分别求出四只蚂蚁1分钟走的路程，再对比，走的最远的速度最快。
2．（2024六上·龙岗期末）图中阴影部分的面积是（ ）
A．5.78m2 B．6.86m2 C．8.32m2 D．9.42m2
【答案】D
【规范解答】解：5÷2-3.14÷22÷4
=10-3.14
=6.86（m2）
。
【思路点拨】阴影部分的面积是长方形面积减去长方形内空白部分的面积，空白部分是半径2米的圆的面积除以4。
3．（2024六上·英山期末）如下图，从A到B沿大半圆走近，还是沿小半圆走近？正确答案是（ ）。
A．沿大半圆走近 B．沿小半圆走近
C．一样近 D．无法判断
【答案】A
【规范解答】解： 设小圆的直径为d1、则大圆的直径为2d1，
沿小半圆走的路线长度为：πd1÷2÷4=2πd1；
沿大半圆走的路线长度为：π（2d1）÷2÷2=2πd1；
两条路的长度一样长。
。
【思路点拨】 根据题意可知，分别设大圆的直径为d1、则大圆的直径为2d1，利用圆的周长公式C=πd分别求出半圆弧长，再对比两条路径的长度。
4．（2024·育才）半径为2厘米的圆，它的周长和面积相等。
【答案】错误
【规范解答】解：圆的周长是长度单位，圆的面积是面积单位，周长和面积是不会相等的，原题说法错误.
故答案为：错误
【思路点拨】周长和面积是两个不同的概念，表示的意义不同，带的单位也不同，因此二者无法比较大小.
5．用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按下面三种方式裁剪出不同规格的圆片。剪完圆片后，第三种裁剪方式剩下的废料最多。（ ）
【答案】错误
【规范解答】解：假设正方形的边长是6
方式一圆片面积：π÷()2=9π；
方式二圆片面积：π÷()2=9π；
方式三圆片面积：π÷()2=9π；
三种方式原片的面积相等，剩下废料的面积也相等，因此该说法错误。
故答案为：错误。
【思路点拨】假设正方形的边长是6，据此根据圆面积=π÷半径2分别求出三种方式圆片的面积，比较即可。
6．（2023六上·期末）圆的面积越大，圆的周长就越大。（ ）
【答案】正确
【规范解答】解：圆的面积越大，圆的半径就越大，圆的半径越大，圆的周长就越大。因此，原题说法正确。
故答案为：正确。
【思路点拨】根据圆面积=半径2÷3.14可知，圆面积越大，半径越大；根据圆周长=半径÷2÷π可知，半径越大，圆周长就越大进行判断。
7．（2024六上·仙居期末）要画一个周长是12.50厘米的圆，圆规两脚之间的距离是 厘米。这个圆的面积是 平方厘米。
【答案】2；12.50
【规范解答】解：圆规两脚之间的距离：12.50÷3.14÷2
=4÷2
=2(厘米)；
圆面积：3.14÷22
=3.14÷4
=12.50(平方厘米)。
故答案为：2；12.50。
【思路点拨】画圆时，圆规两脚之间的距离是圆的半径，圆半径=圆周长÷π÷2；圆面积=π÷半径2；据此解答。
8．（2024六上·郓城期末）在停车场的出入口都有起落杆。这根起落杆完成一次升起运动（如图），起落杆最远端（A点）运动了 m。
【答案】6.28
【规范解答】解：4÷2÷3.14÷4
=8÷3.14÷4
=6.28（m）
故答案为：6.28。
【思路点拨】起落杆运动的长度是一个半圆的弧长，等于“起落杆的长度÷2÷π÷2”，据此作答即可。
9．（2024六上·印江期末） 某钟面上分针长8cm，经过1小时后，它的尖端走过的路程是 cm，它扫过的面积是 cm2。
【答案】50.24；200.96
【规范解答】解：走过的路程：2÷3.14÷8=50.24(cm)；
扫过的面积：3.14÷82=200.96(cm2)；
故答案为：50.24；200.96。
【思路点拨】1小时，分针转动一周，因此，经过1小时后，它的尖端走过的路程是以8cm为半径的圆的周长，圆周长=2÷π÷半径；扫过的面积是以8cm为半径的圆的面积，圆面积=π÷半径2，据此解答。
10．（2024六上·天台期末）已知O1、O2分别为圆心，求阴影部分的面积。
【答案】解：42÷3.14÷4
=50.24÷4
=12.50（平方厘米）
（4÷2）2÷3.14÷2
=4÷3.14÷2
=12.50÷2
=6.28（平方厘米）
12.50-6.28=6.28（平方厘米）
【思路点拨】阴影部分的面积=大圆的面积÷4-小圆的面积÷2，其中圆的面积=πr2。
11．（2024六上·蒲城月考）计算下面图形阴影部分的周长与面积。（单位；dm）
【答案】解：周长：
3.14÷20÷2
=62.8÷2
=125.6（dm）
面积：
20÷2=10(dm）
3.14÷102÷2
=314÷2
=157（dm ）
20÷20-157
=900－157
=243（dm ）
157÷3-243
=471-243
=714（dm ）
【思路点拨】看图可知：阴影部分的周长就是4个半径相等的半圆弧的长度之和，也就是2个等圆的周长之和，并且圆的直径就是正方形的边长，因此周长=圆周率÷直径÷2；
通过观察不难发现：阴影部分的面积被分成了两部分即3个半圆的面积和正方形的部分面积。直径÷2=半径，半圆的面积=圆周率÷半径的平方÷2，正方形的部分面积=边长÷边长－半圆面积，阴影部分的面积=半圆的面积÷3-正方形的部分面积。
12．（2024六上·罗湖期末）太极图在中国传统文化中含义深邃，其形状为阴阳两鱼相抱在一起，象征两极和合。已知整个圆的周长是62.8厘米，请问：阴鱼（即阴影部分）的面积是多少平方厘米
【答案】解：62.8÷3.14÷2
=20÷2
=10(厘米)
102÷3.14÷2
=200÷3.14÷2
=314÷2
=157(平方厘米)
答：阴鱼（即阴影部分）的面积是157平方厘米。
【思路点拨】由图可知，阴鱼的面积等于阳鱼的面积等于整圆面积的一半。因此，现根据圆周长求出半径，半径=圆周长÷π÷2；再根据圆面积=π÷半径2，求出整圆面积，再除以2就是阴鱼面积。
13．（2024六上·蒲城月考）民生广场有一个直径为18米的圆形水池。如果沿水池边缘向外修一条宽2米的健身步道（图中阴影部分），健身步道的面积是多少平方米？
【答案】解：18÷2=9（米），9+2=11（米）
3.14÷（112-92）
=3.14÷（121－81）
=3.14÷90
=125.6（平方米）
答：健身步道的面积是125.6平方米。
【思路点拨】 如图，水池直径÷2=水池半径（r)，r-步道路宽=外圆半径（R），
圆环的面积=π（R2－r2）。
培优优选题专练
14．（2023六上·钱塘期末）图形m和n的面积比与其它三个选项不同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【规范解答】解：A项：设图形m边长为a，则m的面积为a2，n的面积为πa2，比为a2：πa2；
B项：设图形m长为2a，宽为a ( m的长为n所在圆的直径，宽为n所在圆的半径）
则m面积为2a2 ，n的面积为πa2；比为a2：πa2；
C项：设图形m的边长为a，则m的面积为a2，n的面积为π÷（a）2，比为a2：πa2；
D项：设图形m所在的圆的半径为a，m的面积为πa2，n的面积为a2，比为πa2：a2。
。
【思路点拨】圆的面积=π÷半径2，长方形的面积=长÷宽，正方形的面积=边长÷边长，据此写出面积比。
15．（2023六上·江汉期末）将一个边长1 cm的等边三角形沿水平线滚动（如图所示），B点从开始到结束所经过的路线的总长度是（ ）cm。
A．π B．π C．π D．π
【答案】A
【规范解答】解：因为是等边三角形，所以每个角都是90°。
90°÷2÷920°
=120°÷920°
=
2÷1÷π÷÷2=π(cm)
。
【思路点拨】由题意可知，从开始到结束经过两次翻动，B点经过的路线是两段以三角形边长为半径的圆上的一段弧长，每段弧长长度相等，所对应的圆心角都是两个90°，据此求出B点经过的路程占以三角形边长为半径的整圆的分率，根据圆周长=半径÷2÷π求出整圆的周长，再乘上对应的分率即可求出B点经过的路程。
16．（2023六上·合川期末）要剪一个面积是12.50cm2的圆形纸片，至少需要面积是（ ）cm2的正方形纸片。
A．12.50 B．13 C．16 D．18
【答案】A
【规范解答】解：12.50÷3.14=4（平方厘米）
4÷2÷2
=2÷2
=4（厘米）
4÷4=16（平方厘米）。
。
【思路点拨】至少需要正方形纸片的面积=边长÷边长；其中，边长=圆的直径。
17．（2023六上·钱塘）下图A、B两阴影部分的面积相等。
（1）A、B两阴影部分的面积和是 cm。
（2）比较A、B两部分阴影部分的周长，则CA CB（填“>”或者“<”）。
【答案】（1）471
（2）＞
【规范解答】解：（1）3.14÷102÷
=3.14÷200÷
=314÷
=235.5（cm2）
235.5÷2=471（cm2）
（2）235.5÷10=23.50（cm）
阴影部分A的周长：
3.14÷10÷2÷+10÷2
=47.1+20
=67.1（cm）
阴影部分B的周长：
3.14÷10÷2÷+23.50+10+（23.50-10）
=15.7+23.50+10+13.50
=92.25+10+13.50
=49.25+13.50
=62.8（cm）
67.1＞62.8， CA＞CB。
故答案为：（1）471；（2）＞。
【思路点拨】（1）阴影部分A的面积等于圆面积的，据此列式计算，已知A、B两阴影部分的面积相等，直接乘2即可得到两个阴影部分的面积和；
（2）根据题意，分别求出两个阴影部分的周长，再对比即可。
18．（2023六上·蕉岭月考）把一张周长为12.50cm的圆形纸片沿一条直径剪成两个半圆，周长增加了 cm，每个半圆的面积是 。
【答案】8；6.28平方厘米
【规范解答】解：12.50÷3.14=4（厘米）
4÷2=8（厘米）
4÷2=2（厘米）
3.14÷22÷2
=3.14÷4÷2
=12.50÷2
=6.28（平方厘米）。
故答案为：8；6.28平方厘米。
【思路点拨】周长增加的长度=圆的直径÷2；其中，圆的直径=圆的周长÷π，每个半圆的面积=π÷半径2÷2。
19．（2023六上·巴中月考）雨点打在水面荡开层层的波纹。已知水池的池面是长5米、宽4米的长方形，当波纹到池边时，形成的最大整圆的周长是 m，面积是 m ，剩余部分的面积是 m 。
【答案】12.50；12.50；7.44
【规范解答】解：4÷2=2（米）
3.14÷4=12.50（米）
3.14÷22
=3.14÷4
=12.50（平方米）；
5÷4-12.50
=20-12.50
=7.44（平方米）。
故答案为：12.50；12.50；7.44。
【思路点拨】圆的周长=π÷直径；圆的面积=π÷半径2。其中，圆的直径=长方形的宽，剩余部分的面积=长方形的长÷宽-圆的面积。
20．（2023六上·月考）如图，淘气和笑笑以相同的速度同时从A点去往B点，淘气沿着大半圆走，笑、笑沿着两个小半圆走， 到达B点。（选填“淘气先”“笑笑先”“他们同时”）
【答案】他们同时
【规范解答】解：
π÷（a-b）÷2
πa÷2-πb÷2=π÷（a-b）÷2，则路程相等，他们同时到达B点。
故答案为：他们同时。
【思路点拨】淘气走的路程=①的路程=π÷（a-b）÷2，笑笑走的路程=②的路程=πa÷2-πb÷2=π÷（a-b）÷2，然后比较大小。
21．（2023六上·大方月考）先按要求操作，再计算。
（1）在方框中画一个周长为18.84 cm的圆。
（2）在所画圆中，画两条相互垂直的直径。
（3）依次连接这两条直径的四个端点得到一个小正方形。
（4）这个圆的面积是多少？小正方形的面积是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：3.14÷32 =28.24(cm2)
6÷3÷÷2=18(cm2 )
答：这个圆的面积是28.24 cm2；小正方形的面积是18 cm2。
【思路点拨】（1）周长是18.84cm的圆，直径是6cm，所以以正方形的边长为直径在正方形中画一个最大的圆即可；
（2）在这个圆中画出两条直径，使这两条直径互相垂直；
（3）根据要求画出圆内部的正方形；
（4）圆面积公式：S=πr2，根据公式计算圆面积。把小正方形看作两个等腰直角三角形来计算面积，三角形的底是6cm，高是3cm。
22．（2023六上·杭州）计算阴影部分的周长和面积。
【答案】解：周长：3.14÷3÷2÷4
=18.84÷4
=60.36 (厘米)
面积：3÷2=6（厘米）
3.14÷32÷÷4-（6÷6-3.14÷32）
=3.14÷32÷÷4-6÷6-3.14÷32
=3.14÷32÷2-36
=50.52-36
=92.52（平方厘米）
【思路点拨】阴影部分的周长=圆的周长÷4，其中，圆的周长=π÷半径÷2；
阴影部分的面积=圆的面积÷÷4-正方形的边长÷边长-空白圆的面积，其中，圆的面积=π÷半径2。
23．（2023六上·丰城月考）一个半径为20米的圆形喷水池，在它周围修一条宽1米的环形花带，如果每平方米植花25棵，每棵成本为4元，这条环形花带共需投资多少元？
【答案】解：20-1＝21（米）
3.14÷（212－202）
＝3.14÷（441－900）
＝3.14÷41
＝128.74（平方米）
128.74÷25÷4＝12874（元）
答：这条环形花带共需投资12874元。
【思路点拨】根据求环形面积的公式，外圆面积－内圆面积＝环形面积，已知内圆半径是20米，环宽是1米，先求出外圆半径，再利用环形面积计算公式“S=π(R2 r2)”，求出环形花带的面积；用环形花带的面积乘每平方米植花的数量，得到植花的总数量，再乘每株的单价，即得到一共投资多少钱。
24．（2023六上·杭州期末）如右图，已知正方形的边长是10cm，阴影部分的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？
【答案】解：周长：3.14÷10+10
=31.4-10
=41.4 (米)
面积：10÷10-3.14÷52
=200-78.5
=21.5 (平方米)
答：阴影部分的周长是31.4米，面积是21.5平方米。
【思路点拨】阴影部分的周长=圆的周长-直径；其中，圆的周长=π÷直径；
阴影部分的面积=正方形的边长÷边长-π÷半径2。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版）
第一讲 圆
（导图+知识精讲+高频易错点+十大考点讲练+难度分层练）
知识与技能
结合生活实际，通过观察、操作等活动，认识圆及圆的对称性，理解圆心和半径的作用。
能够准确说出圆的各部分的名称（如圆心、半径、直径），并理解半径和直径之间的关系（如直径是半径的2倍，半径是直径的一半）。
掌握用圆规画圆的方法，并能够根据给定半径或直径画出相应的圆。
了解并掌握圆的周长和面积的计算方法，并能用其解决简单的实际问题。
过程与方法
通过动手实验、拼摆操作等实践活动，探索并掌握圆的周长和面积的计算方法，体会“化曲为直”的数学思想。
结合欣赏与绘制图案的过程，体会圆在图案设计中的应用，发展学生的想象力和创造力。
重点：理解圆的特征，包括圆心、半径、直径及其相互关系。
认识圆是轴对称图形，并理解其对称性的意义。
掌握圆的周长和面积的计算方法，并能应用其解决简单的实际问题。
难点：
理解圆的特征，特别是如何通过实际操作体会圆的特征。
体验数学与日常生活的联系，理解直径所在的直线是圆的对称轴。
理解圆周率的意义，以及其在计算圆的周长和面积时的重要性。
体会“化曲为直”的数学思想，理解其在解决圆相关问题时的应用。
考点一：圆及其性质 4
考点一：圆的认识与圆周率 5
考点三：扇形的认识 6
考点四：圆、圆环的周长 6
考点五：画圆 7
考点六：不规则图形周长的求解 8
考点七：圆、圆环的面积 9
考点八：扇形的面积 11
考点九：有关圆的应用题 12
考点十：组合图形的面积 13
基础夯实优选题专练 14
培优优选题专练 14
知识点01：圆的认识
1、圆是由一条曲线围成的平面图形。(以前所学的图形如长方形、梯形等 都是由几条线段围成的平面图形)
2、画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O 表示;连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r 表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d 表示。在同一个圆里，有无数条半径和直径。在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。
3、用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动;两脚间的距离必须保持不变； 要旋转一周。
4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的 2 倍。(d=2r,r=d÷2)
5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径。
6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。所以要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。
7、正方形里最大的圆: 两者联系：边长=直径画法：
画出正方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。
8、长方形里最大的圆: 两者联系：宽=直径画法：
画出长方形的两条对角线;以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。
知识点02：扇形的认识
1.圆上两点间的曲线是弧；
2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形；
3.顶点在圆心的角叫作圆心角；
4.在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
知识点03：圆的周长
1、车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。 每分前进米数(速度)=车轮的周长÷转数
2、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母π(读 pài)表示。π是一个无限不循环小数。π=3.141592453……我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值 3.14。π>3.14
3、如果用 C 表示圆的周长，那么 C=πd 或 C = 2πr
4、求圆的半径或直径的方法： d=C÷π r =C÷ π÷2= C÷2π
5、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。C 半圆= πr+2r C 半圆= πd÷2+d
6、常用的 3.14 的倍数：
3.14÷2=6.28 3.14÷3=9.42 3.14÷4=12.50 3.14÷5=15.7
3.14÷6=18.84 3.14÷7=21.68 3.14÷8=25.12 3.14÷9=28.24
知识点04：圆及圆环的面积
1、圆的面积公式：S=πr 。 圆的面积是半径平方的π倍。
2、圆的面积推导：圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面 积相等(即S 长方形=S 圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=c/2=πr)。
即：S 长方形= a ÷ b S 圆 = πr ÷ r=πr
注意：切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。
C 长方形=2πr+2r=C 圆+d
3、半圆的面积和周长。S 半圆=πr ÷2 C 半圆=C/2+d
4、大小两个圆比较，半径的倍数=直径的倍数=周长的倍数， 面积的倍数=半径的倍数的平方
5、周长相等的平面图形中，圆的面积最大； 面积相等的平面图形中，圆的周长最短。
6、求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积，还可以利用乘法 分配律进行简便计算。S 圆环=πR －πr =π(R －r )
7、常用的平方数：
11 =121 12 =144 13 =169 14 =196 15 =225 16 =250
17 =289 18 =324 19 =361 20 =900
1. 直径的长度是半径的2倍这一关系的前提条件是在同圆或等圆中。
2. 通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。
3. 对称轴是直线，圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径。
4. 圆心角必须具备两个条件：其一，顶点在圆心上；其二，角的两边是圆的半径。
5. 3.14只是圆周率的近似值。回答“圆的周长是它直径的多少倍”时，应该说是π倍，而不是3.14倍。
6. 圆周率是一个固定不变的数，不随圆的大小而改变。
7. 求半圆的周长时，容易只计算出圆周长的一半，而忽略了直径。
8. 半径扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，圆的面积就扩大到原来的几倍的平方或缩小到原来的几分之一的平方。
9. 周长和面积是两个不同的概念，它们的意义不同，单位不同，不能进行比较。
10. 在计算圆的面积时，不要把r2计算成r÷2，r2等于r÷r。
11. 在一个大圆内随意剪去一个小圆不一定能形成圆环。
12.任何一个环形，已知内圆直径和环宽，求外圆直径，应用内圆直径加上2个环宽；已知外圆直径和环宽，求内圆直径，应用外圆直径减去2个环宽。
13.求圆环的面积时不能用环形的宽度的平方乘3.14。
考点一：圆及其性质
【精讲题】（2023秋 黄岩区期末）用如图方法测量圆的直径，依据是
A．直径是半径的两倍。 B．圆是轴对称图形。
C．直径是圆内最长的线段。 D．圆心确定圆的位置。
【精练题01】（2023秋 奈曼旗期末）卡塔尔世界杯于2022年11月21日至12月18日举行，这是世界杯首次在中东国家境内举行。卡塔尔世界杯的主体育场名为“卢赛尔体育场”，可以同时容纳4万人，远观整个体育场像是沙漠中的一只金碗。特别需要注意的是，这座美丽的“沙漠金碗”是由中国铁建国际集团承建的。许多体育场都会把观众席设计成围绕球场一周的圆形，这样的设计应用的是圆形特征中的
A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小
C．同圆中直径是半径的2倍 D．同圆中的半径都相等
【精练题02】（2024 莲湖区模拟）看图填空。
（1）长方形的长是 。
（2）长方形的宽是 。
（3）长方形的周长 。
考点一：圆的认识与圆周率
【精讲题】（2024 金水区）如图，以点为圆心的圆内画出三角形。如果是，这个三角形一定是等边三角形。做出这样判断的依据是
A．圆的周长是直径的倍 B．圆有无数条对称轴
C．同一个圆半径都相等 D．同一个圆直径是半径的2倍
【精练题01】（2023秋 汇川区期末）下面说法正确的是
A．百分数可以表示部分与整体的关系，百分数不能超过
B．六（1）班有50人，星期一有2人病假未到，出勤率为
C．把一个圆沿直径平均分为两个半圆，半圆的面积是圆面积的一半，半圆的周长也是圆周长的一半
D．数学上用圆周率表示圆的周长与它的直径的比值，圆周率是一个无限不循环小数
【精练题02】（2023秋 乌拉特前旗期末）如图，是圆上一点，把圆在直尺上无滑动地滚一周后，点的位置一定在 和 之间，你的理由是什么？
考点三：扇形的认识
【精讲题】（2023秋 定州市期末）下面 的涂色部分是扇形。
A． B． C．
【精练题01】（2023 鼓楼区模拟）如图所示，兰兰把一张圆形纸片连续对折3次，打开后会形成 8 个小扇形，每个小扇形的圆心角为 。
【精练题02】（2023秋 增城区期末）如图，钟面的分针从“12”走到“3”，形成的以圆为弧的扇形的圆心角是 度；钟面的分针从“3”走到“9”，形成的以圆为弧的扇形的圆心角是。
考点四：圆、圆环的周长
【精讲题】（2024 易县）从一张面积为的正方形纸上剪一个最大的圆，这个圆的周长为 。
A．12.50 B．8 C．16
【精练题01】（2024 市北区）化曲为直是一种重要的数学转化思想。如图，直径是的圆从点出发，沿直线（单位：向右滚动一圈到达点，那么点大约在哪里？请你先算一算，并在图中用“1”表示出点的位置。
【精练题02】（2024 镇江模拟）如图，两个半圆的直径分别是8厘米、4厘米，阴影部分的周长是多少厘米？
考点五：画圆
【精讲题】（2024 城关区）如图有、两点。先想一想：怎样确定圆心、半径，画出的圆能经过、两点，再用圆规画出两个不同的圆，要使每个圆都经过、两点。
【精练题01】（2024 长沙模拟）第七届世界军人运动会的会徽名为“和平友谊纽带”，由五角星、和平鸽、彩带以及数字7等元素共同构成。其中“五角星”突出了军队和军人的特征。
（1）以右上图五角星的五个顶点为圆心，以五角星每条边的长度为半径，画五个圆（已经画出一个，请你画出另外4个）。
（2）如果五角星每条边的长度为2厘米，那么这五个圆组成图形的周长是多少厘米？
【精练题02】（2023秋 龙海区期末）填一填，画一画。
（1）在方格图中，以三角形其中一个顶点为圆心画一个圆，使另外两个顶点都在圆上。
（2）如果三角形的三个顶点都要在圆上，这个圆的圆心应该在哪里？请在图中用点表示。
考点六：不规则图形周长的求解
【精讲题】（2021秋 奉化区期末）①号图形是由2个相同的小半圆、1个中半圆、1个大半圆组成，②号是由正方形和多个半圆组成。①号、②号阴影部分图形的周长相比
A．①号周长长 B．②号周长长 C．周长一样长 D．无法确定
【精练题01】计算如图图形的周长．（单位：厘米）
【精练题02】（2022 建华区）按要求计算。
（1）求4个阴影部分的周长和。（四个圆的半径均为
（2）求陀螺的体积。（两个圆锥的底面直径均为
考点七：圆、圆环的面积
【精讲题】（2024 西秀区）如图，圆的面积与长方形的面积相等，如果长方形的长是，圆的周长是
A． B． C． D．
【精练题01】（2024 沾化区模拟）按要求画一画，填一填。（假设每个小正方形的面积是1平方厘米）
（1）画一个图形，使它的面积的计算式是。
（2）计算出环形的面积。
【精练题02】（2024 淮安模拟）一种钢管的横截面如图，它的内圆半径是2厘米，外圆半径是4厘米，它的横截面面积是多少？
考点八：扇形的面积
【精讲题】（2023秋 新田县期末）下面说法正确的是
A．一杯牛奶1升，喝了，还剩升。
B．圆心角是50度的扇形比圆心角是90度的扇形面积大。
C．黄金的纯度达到。
D．一个圆周长与它直径的比值是3.14。
【精练题01】（2023秋 瑞安市期末）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是按照一定规律画出圆心角是的扇形圆弧。如图，若第1步中扇形的半径是，那么第5步所画的新扇形面积是 。
A． B． C． D．
【精练题02】（2024 长沙模拟）求阴影部分的面积。
【精练题03】（2021秋 逊克县期末）思考并实践。
（1）请在右侧空白处画一个半径是3厘米的圆，并标出圆心“”
（2）在圆中画出一个圆心角是的最大扇形，标出圆心角度数，并把扇形涂上阴影。
（3）请你根据学过的知识，求出这个扇形的面积。
考点九：有关圆的应用题
【精讲题】（2024 禅城区模拟）小明骑的自行车车轮直径是80厘米，每分钟转200周，从家到学校有3千米，小明骑行需要的时间大约是 （得数保留整数）
A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．15分钟
【精练题01】（2024 商洛模拟）一只大钟，它的分针长90厘米。这根分针的尖端转动一周所走的路程是
厘米，从1时到2时分针扫过的面积是 平方厘米。
【精练题02】（2023秋 海港区期末）儿童乐园要修建一个圆形旋转木马场地，木马旋转范围的直径是，周边还要留出宽的小路，并在外侧围上栏杆。
（1）需要多长的围栏？
（2）小路的面积是多少平方米？
考点十：组合图形的面积
【精讲题】（2024 江汉区）下列图形中的空白部分与阴影部分，周长相等但面积不相等的是
A． B．
C． D．
【精练题01】（2023秋 沙坡头区期末）太极图被称为“中华第一图”，如图所示的正方形内是太极图，已知正方形的边长为，则正方形面积与涂黑色部分的面积比为 。
A． B． C． D．
【精练题02】（2024 长沙模拟）求如图阴影部分的面积。（单位：厘米）
基础夯实优选题专练
1．（2024六上·深圳期末）四只蚂蚁耗时1分钟，分别沿着长方形、正方形、圆和等边三角形走一圈，谁走的速度更快？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2024六上·龙岗期末）图中阴影部分的面积是（ ）
A．5.78m2 B．6.86m2 C．8.32m2 D．9.42m2
3．（2024六上·英山期末）如下图，从A到B沿大半圆走近，还是沿小半圆走近？正确答案是（ ）。
A．沿大半圆走近 B．沿小半圆走近
C．一样近 D．无法判断
4．（2024·育才）半径为2厘米的圆，它的周长和面积相等。
5．用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按下面三种方式裁剪出不同规格的圆片。剪完圆片后，第三种裁剪方式剩下的废料最多。（ ）
6．（2023六上·期末）圆的面积越大，圆的周长就越大。（ ）
7．（2024六上·仙居期末）要画一个周长是12.50厘米的圆，圆规两脚之间的距离是 厘米。这个圆的面积是 平方厘米。
8．（2024六上·郓城期末）在停车场的出入口都有起落杆。这根起落杆完成一次升起运动（如图），起落杆最远端（A点）运动了 m。
9．（2024六上·印江期末） 某钟面上分针长8cm，经过1小时后，它的尖端走过的路程是 cm，它扫过的面积是 cm2。
10．（2024六上·天台期末）已知O1、O2分别为圆心，求阴影部分的面积。
11．（2024六上·蒲城月考）计算下面图形阴影部分的周长与面积。（单位；dm）
12．（2024六上·罗湖期末）太极图在中国传统文化中含义深邃，其形状为阴阳两鱼相抱在一起，象征两极和合。已知整个圆的周长是62.8厘米，请问：阴鱼（即阴影部分）的面积是多少平方厘米
13．（2024六上·蒲城月考）民生广场有一个直径为18米的圆形水池。如果沿水池边缘向外修一条宽2米的健身步道（图中阴影部分），健身步道的面积是多少平方米？
培优优选题专练
14．（2023六上·钱塘期末）图形m和n的面积比与其它三个选项不同的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023六上·江汉期末）将一个边长1 cm的等边三角形沿水平线滚动（如图所示），B点从开始到结束所经过的路线的总长度是（ ）cm。
A．π B．π C．π D．π
16．（2023六上·合川期末）要剪一个面积是12.50cm2的圆形纸片，至少需要面积是（ ）cm2的正方形纸片。
A．12.50 B．13 C．16 D．18
17．（2023六上·钱塘）下图A、B两阴影部分的面积相等。
（1）A、B两阴影部分的面积和是 cm。
（2）比较A、B两部分阴影部分的周长，则CA CB（填“>”或者“<”）。
18．（2023六上·蕉岭月考）把一张周长为12.50cm的圆形纸片沿一条直径剪成两个半圆，周长增加了 cm，每个半圆的面积是 。
19．（2023六上·巴中月考）雨点打在水面荡开层层的波纹。已知水池的池面是长5米、宽4米的长方形，当波纹到池边时，形成的最大整圆的周长是 m，面积是 m ，剩余部分的面积是 m 。
20．（2023六上·月考）如图，淘气和笑笑以相同的速度同时从A点去往B点，淘气沿着大半圆走，笑、笑沿着两个小半圆走， 到达B点。（选填“淘气先”“笑笑先”“他们同时”）
21．（2023六上·大方月考）先按要求操作，再计算。
（1）在方框中画一个周长为18.84 cm的圆。
（2）在所画圆中，画两条相互垂直的直径。
（3）依次连接这两条直径的四个端点得到一个小正方形。
（4）这个圆的面积是多少？小正方形的面积是多少？
22．（2023六上·杭州）计算阴影部分的周长和面积。
（2023六上·丰城月考）一个半径为20米的圆形喷水池，在它周围修一条宽1米的环形花带，如果每平方米植花25棵，每棵成本为4元，这条环形花带共需投资多少元？
24．（2023六上·杭州期末）如右图，已知正方形的边长是10cm，阴影部分的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？
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